基于稀疏孔徑的波前重構算法

王棪 伏瑞敏 廖志波

（北京空間機電研究所，北京 100094）

0 引言

隨著對高分辨率遙感數據需求的迫切性，增大光學遙感器口徑是滿足需求的有效手段。而口徑增大帶來了一系列設計、裝調與檢測問題，其中大口徑光學系統檢測是檢驗裝調精度的關鍵環節，同時也是指導裝調的重要手段，在遙感器光學系統研制過程中具有重要作用。

在大口徑光學系統檢測過程中，一般利用干涉儀和大口徑標準平面鏡組成自準直光路，檢測鏡頭波像差。大口徑標準平面鏡作為參考標準鏡有兩方面要求：1）口徑要大于待測鏡頭入瞳直徑，以實現全口徑全視場測試[1-3]；2）對表面精度有極高的要求[4-5]。隨著相機口徑的逐漸增大，系統測試所使用的標準平面鏡的口徑也隨之增大，大口徑平面鏡制造的難度和成本也隨之呈指數級提高。為了保障大口徑、超大口徑相機裝調的順利實施，在傳統的全口徑檢測手段之外，發展低成本、高效的替代檢測方案成為必需的選擇。子孔徑拼接和稀疏孔徑反演是解決大口徑光學系統檢測的兩種主要方案。

子孔徑拼接雖然只需要一塊小口徑平面鏡[6-8]，但是該技術需要復雜的運動機構，同時測試周期長，效率低，易受到環境的影響。因此，基于測試復雜程度、成本以及兼容性考慮，采用稀疏孔徑反演的光學系統檢測技術成為較優選擇。例如，預計于2018年發射的詹姆斯·韋伯望遠鏡，口徑達6.5m，通過對多種檢測方案的評估，研究團隊最終采用稀疏孔徑反演檢測技術[9-14]；通過大量仿真分析和實驗研究，使得該技術的可行性在相機上得到驗證。國內尚無該項技術應用于大口徑光學系統裝調檢測的研究，僅有針對大口徑元件面形檢測以及大口徑光學系統 MTF測試的一些理論研究[15-16]。當前，我國大口徑光學遙感器的需求方興未艾，大口徑光學系統波前檢測技術的瓶頸亟待突破，因此開展稀疏孔徑檢測技術研究極具工程價值。本文從稀疏孔徑檢測光學系統波前的原理入手，針對波前重構算法建立數學模型，并編制了相關算法，最后利用仿真手段進行了分析和驗證，通過比對稀疏孔徑和全口徑兩類檢測模型測得的Zernike多項式系數和波像差RMS值，證明了算法的可行性。

1 波前重構算法

1.1 稀疏孔徑檢測

稀疏孔徑反演是一種基于自準直檢測的技術，通過搭建由干涉儀、待測光學系統、標準反射鏡構成的光路檢測光學系統的波像差，波像差由Zernike多項式表征[17-18]。根據Zernike多項式系數計算光學系統失調量以指導裝調，其獨到之處在于采用若干塊小口徑平面反射鏡替代一塊大口徑平面反射鏡，按照一定的結構進行排列、安裝組成稀疏孔徑陣列。采用稀疏孔徑陣列檢測反射式光學系統的波像差（如圖1），干涉儀發出球面波通過光學系統次鏡、主鏡變為平面波，經稀疏孔徑陣列反射后回到干涉儀并與參考光形成干涉。采用該技術的優點是：1）與子孔徑拼接相對比，無需多次調整、檢測，只需在檢測前安裝調整各反射鏡進行一次檢測，檢測效率得到明顯提升，且可降低時變因素的干擾；2）避免了制造大口徑標準鏡所帶來的高昂成本、技術風險。由于稀疏孔徑陣列并未覆蓋全口徑，因此采集的信息不完整，需要對檢測結果進行處理以重構整個全口徑的波像差。因此，實現波前（或波像差）重構是稀疏孔徑反演技術的關鍵。本文提出的算法，解決的正是如何由若干組子孔徑的Zernike系數計算全口徑Zernike系數的問題。

圖1 稀疏孔徑原理Fig.1 The schematic of sparse aperture

1.2 算法數學模型

采用常規手段和稀疏孔徑反演檢測光學系統波像差，實質上都是一個利用采集到的離散點光程差擬合光學系統波像差函數的過程，但兩種手段在數據采集和處理方法上存在不同。采用常規的全口徑標準鏡檢測，是針對全口徑進行數據采樣，得到分布于整個光瞳內若干點的光程差，同時，在以全口徑中心O為原點的坐標系下（如圖2），任一采樣點Q對應坐標（x，y），根據若干采樣點的坐標值和光程差值通過一定算法擬合得到 Zernike多項式表征的波像差函數，即直接得到光學系統的波像差；采用稀疏孔徑檢測，由于標準鏡不再是一塊覆蓋全口徑的標準鏡，而是若干小口徑的反射鏡，因此只在各反射鏡覆蓋到的區域內進行數據采集和處理，對于任意一個反射鏡對應的子孔徑（如圖3），采集該子孔徑區域內的若干點的光程差，同時，在以子孔徑區域中心O'為原點的坐標系下，任一采樣點Q'對應坐標（x'，y'）。根據若干采樣點的坐標和光程差值擬合得到該子孔徑的波像差函數。因此，常規的全口徑檢測得到的是全口徑的波像差，而對于由多塊反射鏡組成的稀疏孔徑陣列，對多個子孔徑進行采樣，檢測得到的是各個反射鏡對應的若干子孔徑的波像差函數，而不是整個光學系統的波像差。因此，需要將各子孔徑波像差函數統一至同一坐標系，把多組子孔徑Zernike系數轉化為一組全口徑Zernike系數，從而得到由Zernike多項式表征的波像差函數，實現光學系統波像差重構。

圖2 全口徑坐標系Fig.2 Coordinate system of full aperture

圖3 子孔徑坐標系Fig.3 Coordinate system of sub-aperture

本文算法采用Fringe Zernike多項式對波像差進行描述，該多項式是標準形式的子集，其每一項有明確物理含義對應不同的像差，包括初級像差和高級像差。由于裝調只考慮初級像差，因此取初級像差的對應項（見表1）構成多項式描述波像差，則光學系統的波像差函數可表示為

式中 (ρ,)θ表示為采樣點極坐標；W(ρ,)θ表示波像差；n為多項式項數；cn表示Zernike多項式第n項系數；Zn表示Zernike多項式（詳見表1）。子孔徑與全口徑間的Zernike系數轉換即在式（1）的基礎上進行。

首先考慮單個子孔徑和全口徑間的Zernike系數的關系，在以全口徑中心O為原點的全口徑坐標系下（如圖2），全口徑波像差為

表1 Zernike系數對應的初級像差Tab.1 Primary aberration corresponding to Zernike coefficients

在以子孔徑中心O'為原點的子孔徑坐標系（如圖3）下，子孔徑波像差為

式中 (ρ′,θ′)為采樣點在子孔徑坐標系下的極坐標；W ′(ρ ′,θ′)表示子孔徑波像差；為子孔徑Zernike多項式系數；為子孔徑Zernike多項式。對于子孔徑內的任意一點Q，其光程差在兩個坐標系下對應的值是恒定的，因此有

結合波像差和Zernike多項式理論推導，可得矩陣k，使得式（5）成立，

結合式（4）~（5），全口徑Zernike系數與單個子孔徑Zernike系數間存在關系：

式中 矩陣k為坐標系的轉換因子。

稀疏孔徑陣列由若干反射鏡構成，對應多個子孔徑，因此在式（6）的基礎上可構建多個子孔徑與全口徑間的Zernike系數轉換關系。假設稀疏孔徑含m塊反射鏡，建立方程：

每個子孔徑對應一個轉換因子 ki（i∈[1，m]）以及一組Zernike系數矩陣Ci（i∈[1，m]），Ci包含對應子孔徑的9項Zernike系數，由若干反射鏡對應的ki、Ci組成矩陣K和C。式（7）中Zernike系數矩陣c，包含9個未知數，其求解流程為：1）檢測若干塊反射鏡對應的子孔徑波像差，得到包含若干組Zernike系數的矩陣C；2）計算各反射鏡對應的轉換因子ki，組成包含若干組轉換因子的變換矩陣K；3）建立方程，求解全口徑Zernike系數矩陣c。

上述算法的實現是建立在稀疏孔徑的誤差（包括平移和傾斜）得到有效控制的基礎之上，因此，實際應用中，需首先將各反射鏡的平移和傾斜控制在可接受范圍內，減小誤差對計算精度的影響。控制誤差方法主要包括：以大口徑參考球面鏡或者拋物鏡為基準（即參考鏡保持不動），對稀疏孔徑陣列的各反射鏡進行調整，使單個子孔徑的平移、傾斜分量控制在可接受范圍內。而對于離焦，由于檢測光學系統的是平面鏡陣列，其相互間的離焦很小，可以忽略不計。

本算法是一種針對大口徑光學系統裝調的復原全口徑波像差方法，當待測系統口徑達到m級以上，采用稀疏孔徑技術進行檢測，有望在規避諸多技術風險的同時高效地解決問題。

2 仿真及分析

2.1 仿真模型

本文采用的稀疏孔徑檢測模型按照反射鏡數量分為3ACF（auto-collimating flat）結構和4ACF結構。根據轉換因子k和光學系統的遮攔大小進行分析計算，當子孔徑和全口徑半徑的比值為0.33（子孔徑半徑為533mm）和0.39（子孔徑半徑為 635mm）時計算精度較高。按照子孔徑相對位置和半徑大小，將3ACF和4ACF結構再分別細分為三種構型，如圖4~5所示。圖中大圓表示全口徑，小圓表示稀疏孔徑陣列各反射鏡對應的子孔徑，所有結構均為對稱結構，各子孔徑對稱地分布于全口徑內。

對于3ACF結構：結構1與結構2子孔徑半徑相同，為533mm，其中結構1的各子孔徑與全口徑相切，結構2的子孔徑間相對距離更近；結構3中的子孔徑半徑為635mm，各子孔徑與全口徑相切。4ACF結構的3種構型與3ACF結構的類似，反射鏡數量增加為4個。

圖4 3ACF結構Fig.4 3ACF structure

圖5 4ACF結構Fig.5 4ACF structure

利用光學軟件和MATLAB建模分析某口徑為3.2m的反射式光學系統的波像差，驗證算法可行性。首先建立如圖6所示的全口徑檢測模型，為光學系統加入失調誤差，進行全口徑檢測，提取Zernike系數中初級像差的對應項。全口徑檢測完成后，建立多種不同結構的稀疏孔徑檢測模型（圖7為一種包含三塊自準直鏡的稀疏孔徑陣列檢測模型），分別對光學系統進行波像差檢測。利用算法由檢測得到的各反射鏡對應的子孔徑Zernike系數推導全口徑Zernike系數。將兩種方法得到的全口徑系數進行對比，然后由計算得到的全口徑Zernike系數反演全口徑波像差，并與全口徑直接測得的波像差RMS值進行對比，若差值在 0.001λ（λ=656nm，為波長）以內，則算法滿足精度要求。同時若各種結構其重構精度存在差異，則需分析其重構精度差異性的原因。檢測過程中，忽略各反射鏡、標準平面鏡的面形以及稀疏孔徑的結構誤差。

圖6 全口徑檢測Fig.6 Full aperture test

圖7 稀疏孔徑檢測Fig.7 Sparse aperture test

2.2 仿真結果及分析

依據圖4~5所示的稀疏孔徑結構建模，對光學系統波像差進行檢測。

2.2.1 3ACF結構

首先建立全口徑檢測模型，對光學系統進行波像差檢測，獲取全口徑 Zernike系數，然后分別采用三種3ACF結構對光學系統進行波像差檢測，提取各結構中若干子孔徑的Zernike系數，經過算法處理得到全口徑Zernike系數，對比三種稀疏孔徑結構測試和全口徑測試得到的Zernike系數。由于本算法針對的是光學系統裝調，光學系統失調量是利用像散、慧差、球差對應的五項 Zernike系數進行解算的，因此本文著重對這幾項Zernike系數進行分析。圖8為多項式項數為4~9項時三種結構計算得到的Zernike系數與直接測得的全口徑Zernike系數的差值曲線。由圖8可看出，三種結構的重構精度存在差異，其中結構3對應的系數與全口徑系數最為接近。

圖8 Zernike系數對比Fig.8 Comparison of Zernike coefficients

根據測得的Zernike系數反演全口徑波像差，三種結構以及全口徑對應的波像差RMS如表2所示。

表2 3ACF結構對應的波像差RMS值Tab.2 RMS of 3ACF structure

結合圖8和表2可知，三種構型中結構3的波像差RMS值與全口徑差值小于0.001λ，滿足算法精度要求。對比結構 1與結構 2，兩者重構精度因各反射鏡相對位置不同而存在差異；同理，對比結構 1與結構3發現，反射鏡的口徑同樣對重構精度存在影響。因此，波前重構算法的重構精度受反射鏡的口徑和相對位置的影響。

2.2.2 4ACF結構

分別采用圖7所示的三種4ACF結構建模對光學系統進行波像差檢測，獲取全口徑Zernike系數，然后分別采用三種4ACF結構對光學系統進行波像差檢測。三種結構對應的Zernike系數差值曲線如圖9所示，該圖顯示結構3與全口徑值差異最小。

圖9 Zernike系數對比Fig.9 The comparison of Zernike coefficients

根據算法處理得到的三種結構對應的 Zernike系數反演全口徑波像差，并與直接測得的全口徑波像差RMS進行對比，結果見表3。

表3 4ACF結構對應的全口徑波像差RMS值Tab.3 RMS of 4ACF structure

由表3可知，結構3對應RMS差值小于0.001λ，滿足精度要求。與3ACF結構類似，4ACF結構的各對照組也顯示出重構精度的差異，反射鏡的口徑大小和反射鏡間的相對位置均會對重構精度造成影響。

2.2.3 對比分析

對上述仿真結果進行綜合比對發現，利用算法重構全口徑波像差是可行的，但并非所有結構都能滿足精度要求，各個結構的區別在于反射鏡數量、口徑大小、相對位置，因此，檢測特定的光學系統，首先需結合待測系統指標進行分析，明確稀疏孔徑反射鏡數量、口徑、間距，根據這些指標選取合適的反射鏡搭建、調整稀疏孔徑結構使之與待測系統匹配，然后再對光學系統進行檢測。

就本文研究的幾種結構而言，3ACF的結構3和4ACF的結構3均具有較高的重構精度，而在實際使用中，為了縮短稀疏孔徑陣列安裝的時間，提高效率，稀疏孔徑陣列的反射鏡數量越少越好，因此，對于該光學系統而言，采用3ACF的結構3作為稀疏孔徑陣列是最佳方案。

3 結束語

在未來的空間遙感領域，大口徑光學系統將會得到更多的應用，因此研制大口徑光學系統是當下的一個重要課題，同時為保證光學系統具有良好的成像品質，有必要發展和建立一套完善的地面波前檢測方法。本文以大口徑光學系統裝調檢測作為切入點，提出了一種可行的稀疏孔徑波前重構算法，用以實現由若干子孔徑波前重構光學系統波前，是解決常規手段所面臨的效率、成本、技術風險等難題的一種新思路。采用若干反射鏡組成稀疏孔徑標準鏡取代單塊的全口徑反射鏡，降低了制造加工的成本和周期以及潛在的技術風險，同時也無需多次檢測，提升了效率，該技術是突破大口徑光學系統裝調技術瓶頸的一種有效途徑。

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