基于培養應用型人才的《線性代數》課程教學研究

趙秀蘭，運高謙

（1.黃河科技學院信息工程學院數理部，鄭州 450063；2.鄭州輕工業學院，鄭州 450002）

線性代數是普通高等院校理工類、經管類專業重要的一門基礎理論課，線性代數的理論是計算技術的基礎，同系統工程，優化理論及穩定性理論等有著密切聯系，也是很多后續課程如電路分析、化學、力學、信號與系統、運籌學、經濟學等課程的重要工具。它對于培養學生嚴謹的邏輯推理和抽象思維能力起著不可或缺的作用。隨著信息技術的不斷發展和計算機的普及，線性代數的應用不斷擴展到越來越多的新領域，用代數方法解決實際問題已滲透到各個領域，顯示出其重要性和實用性。目前，人們所遇到的問題牽涉到的變量愈來愈多，處理這種涉及到成百上千變量的復雜問題，當前解決這類問題的有效方案是把變量之間的關系線性化，所以線性代數已成為眾多領域解決涉及較多變量問題的熱門數學工具。線性代數這門課程的特點是概念比較抽象，概念之間聯系很密切。如何講好這門課，培養學生利用線性代數的內容、方法去解決問題，成為數學工作者需要思考的問題。

一、線性代數教學現狀

線性代數在大學數學中占有重要地位，在碩士研究生的入學考試中也占有很大的比例。在教學安排上，線性代數課程一般在大二的上學期開設，課時為32或48學時。內容上，主要有行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、矩陣的特征值與特征向量、二次型。行列式部分以計算為主線，由二元、三元線性方程組引入二階、三階行列式，主要介紹行列式的概念、性質，重點講解行列式的各種計算方法及技巧，最后給出行列式在解線性方程組中的應用——克萊姆法則。矩陣是線性代數中的重要內容，貫穿始終，是研究向量組的線性相關性及線性方程組的解法的有力工具。矩陣部分首先介紹矩陣的概念及一些特殊矩陣，之后給出矩陣的運算，重點講解矩陣的乘法運算，探討矩陣的初等變換及其在矩陣運算中的應用，進一步研究矩陣的內在特性，包括可逆矩陣及矩陣的秩，最后給出分塊矩陣及其運算。線性方程組以矩陣變換法為主，由中學的二元、三元線性方程組引入解n元線性方程組的消元法，介紹如何利用矩陣的初等變換求解方程組，重點討論線性方程組解的存在性，齊次和非齊次線性方程組解的結構。n維向量以討論線性關系為主，介紹n維向量的概念及向量的線性運算，主要講解向量組及其線性組合，結合線性方程組和矩陣知識重點討論向量組的線性相關性及向量組的秩。矩陣的特征值與特征向量以方陣對角化為主，首先介紹矩陣的特征值與特征向量的概念及求解方法，之后引入相似矩陣，重點研究矩陣的對角化問題，特別是實對稱矩陣的對角化。二次型以化標準形為主，介紹二次型及其矩陣表示，重點講解化二次型為標準形的三種方法——配方法、初等變換法和正交線性替換法，最后給出正定二次型的概念及判定方法。目前，線性代數教學內容偏重自身理論體系，重點突出數學的嚴謹性和系統性，教學方法大多以“教師為中心”。另外，線性代數具有自身的特殊性，它既不像微積分可以聯系學生中學已接觸到的函數知識，能做到知識的以舊更新，降低學習的難度，又不像概率論與數理統計有很多實際生活的事例可以選取，以調動學生的積極性。線性代數這門課程，學生在形式上處理的是表格數據這一特殊的數據形式。實質上，線性代數教學內容具有嚴密的邏輯性，很強的抽象性，概念多，定理多且證明方法構造性強，不易理解，計算方法多、計算量大，技巧性又強。基于線性代數概念抽象，知識點環環相扣的特征，這樣，教學內容的要求與教學課時量構成了一對矛盾。在具體教學中，上述問題的存在給任課老師帶來一定的難度，同時使得學生在學習過程中產生畏難情緒。為了進一步提高教育教學質量，就線性代數教學改革進行探索。

二、將線性代數的概念與其幾何背景相融合，精選教學內容

學生學習線性代數過程中通常感覺抽象，主要是因為概念的抽象化。如線性代數教學中遇到的第一個概念行列式，很多學生不明白行列式為什么那樣定義，其實質又是什么；線性相關、線性無關為什么那樣定義，體現的是向量之間的什么關系。如此以來，學生失去了對線性代數學習的興趣，也不利于該課程與學生專業課程的銜接。其實，線性代數中的許多問題都有形象的幾何解釋。如二階行列式計算的是平行四邊形的面積，三階行列式計算的是平行六面體的體積。兩個向量線性相關的幾何意義是這兩個向量共線，三個向量線性相關的體現的幾何意義是它們共面。三維歐氏空間中任意四個或四個以上向量是線性相關的。這樣，在學生熟悉的內容上引出新知識，借助解析幾何為線性代數中的抽象問題提供幾何直觀。不僅幫助學生理解行列式的由來，還激發了學生的學習興趣。對于非數學專業的學生而言，堅持“以應用為目的，以夠用為度”的原則，在教學中結合概念的幾何背景闡述概念，重點介紹行列式的性質和展開定理以及向量組線性相關性的判斷方法，弱化概念本身。

對于工科及經管類的非數學專業的學生學習線性代數，堅持應用為目的。對定理及推論的證明不做要求，只需記住結論，會用即可。對于行列式的計算，不必追求計算技巧去處理復雜抽象的行列式計算。抓住矩陣這一核心概念，將矩陣的初等變換引入到向量的線性相關性、向量組的秩、線性方程組的解、特征值與特征向量、矩陣的相似對角化中。在求逆矩陣方法的掌握上，要求學生掌握利用初等行變換求逆矩陣的方法，利用伴隨矩陣求逆矩陣不做要求。對于“向量空間”這部分抽象性較強的內容，以學生熟知的二維、三維空間的坐標系、坐標之間的轉化出發，將概念推廣到N維空間上，引入維數、基底、基變換等抽象的概念。

三、將線性代數教學內容與實際問題相互滲透，引入應用題型

線性代數是一門抽象性較強的理論課，學生理解起來有一定的難度，因此教師在教學內容的安排上盡量做到由淺入深、由具體到抽象，結合實際應用背景引出相關內容。如在矩陣部分，教材上一般在給出矩陣定義后再定義矩陣的乘法運算，這樣增加了學生的困惑，學生不明白矩陣的乘法運算為什么那樣給出定義，若從實際問題作為切入點引出矩陣的乘法運算，效果會不一樣。例如：

假設某家電超市2014年銷售甲、乙、丙三種家電產品，甲、乙、丙三種產品在每一季度的銷售數量（見表1）。

表1 甲、乙、丙三種產品在四個季度的銷售數量

甲、乙、丙三種商品的銷售價格和利潤（見表2）。

表2 甲、乙、丙三種商品的銷售價格和利潤

該超市2014年的總價格和總利潤（見表3）。

表3 總價格和總利潤

已知，該超市第一季度銷售商品的總價格為：c11=a11b11+a12b21+a13b31，

該超市第一季度銷售這些商品所獲得的總利潤為：c12=a11b12+a12b22+a13b32，

于是，對任意的 i=1，2，3；j=1，2，有：cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j

設矩陣：

這是上述實例所體現的總價格和總利潤的計算過程，可以抽象為矩陣的乘法 C=AB，其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j，i=1，2，3，4；j=1，2。由此學生對矩陣這一表格數據的乘法運算有一直觀印象。過對實際問題的討論，幫助學生理解抽象的代數概念，從而培養學生應用代數知識解決實際問題的能力。例如，在介紹逆矩陣時，結合逆矩陣在保密通信上的應用，舉例：某男生向自己心儀的女生發來一封密信，密信是一線性代數的教學內容中特征值和特征向量是一對很重要的概念。特征值和特征向量往往用來解決實際問題，它們在純粹數學和應用數學的很多領域發揮著重大作用，例如：代數學、函數論、泛函分析等，同時在一些非線性情況下也有著顯著的重要性。所以，對于學習線性代數的學生來說，這兩個概念的掌握很有必要。在介紹特征值、特征向量時，根據特征值和特征向量應用于設計決策分析中的采用AHP（層次分析法）決策，也可以建立研究一個種群的基因變異，基因遺傳等醫學問題的模型，也可結合其在“人口遷移的動態分析模型”中的應用引出；在介紹線性方程組求解時，可以插入“投入產出分析模型”實例，投入產出分析模型就是利用數學的形式反映經濟上投入、產出等問題。這樣，以實例帶出概念，減少數學的抽象性，突出數學的實用性，調動了學生的學習積極性，培養學生對知識的分析能力和應用能力，使學生感受到數學和現實生活密切關聯。

四、將線性代數中的運算與教學軟件相結合，提高學生實踐能力

在線性代數教學中，繁雜的高階行列式、高階矩陣的結算、涉及變量個數比較多的線性方程組的求解以及矩陣的特征值和特征向量的求解是最耗時間和精力的。數學工作者應及時將數學仿真軟件（Mathematica、Matlab軟件）應用于數學課堂，改善傳統教學模式，讓學生體會到數學與計算機的結合，加強學生的數學實踐意識。借助現代計算機技術將教學軟件Matlab引入教學中，通過編寫簡單易掌握的應用程序解決上述問題，這樣既節約了學生大量的計算時間，又提高了學生的科學計算能力和數學實際應用能力，又培養了學生的想象力、創造力，增強了學生學數學用數學的意識。

五、結束語

以上幾個方面，是我們進行線性代數教學改革的思考，將“以老師為中心”轉換為“以學生為中心”，結合學生實際情況，突出教師的主動引導作用，在保持原有課程體系和內容的基礎上，在教學過程中，融入上述方法，抓住知識點之間的內在聯系，溫故而知新，使學生對線性代數的概念及方法有一個深層次的理解，降低學習難度，對激發學生的學習興趣及加強學生運用線性代數知識解決實際問題能力的培養會起一定的作用，進而提高學生的數學素養。

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