數學教學中“推理錯位”現象引起的思維虛化

李太敏

一、推理形式的錯位：虛化思維的嚴謹性

1.合情推理的越位——直覺猜想的隨意化

隨著數學課堂教學改革的深入，合情推理在數學教學中的重要性，越來越成為人們的共識，廣大教師也越來越認同波利亞《數學與猜想》中的觀點：“數學的創造過程與其他知識的創造是一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細的證明之前你先得猜測證明的思路，你要先把觀測的結果加以綜合，然后加以模擬，你得一次又一次地嘗試，數學家的創造性成果是論證推理（演繹推理），即證明，但這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜想、合情推理占有適當的位置。”

猜想的確在數學教學中占有重要的地位，但是任何好的東西一旦變成形式，就可能變成壞的。讓學生猜想，并不是無根據的大膽想象，還是要有猜想的依據，更不是瞎猜。如：在一節《橢園的標準方程》的市級公開課中：學生非常活躍，積極參與，互動頻繁，當師生已推導出橢圓在軸上的標準方程后，教師讓學生進行猜想：“如果你是一位數學家，請你大膽猜想焦點在y上的橢圓的標準方程。”

就可以隨意化，有感覺就行的想法，它虛化了思維的嚴謹性，事實上，直覺猜想往往是在邏輯推理思維的多次運用后壓縮簡化的思維過程，略去許多中間環節，其結果是需要邏輯思維或實踐驗證的，這與盲目猜測截然不同，數學家更不會這么做的，對于學生而言，鼓勵盲目猜測，會進一步阻礙嚴謹思維的發展。

2.合情推理的退位——演繹一元化

缺乏合情推理，過份形式化，會使演繹成為無本之木，缺乏合情推理的演繹推理，就會變成演繹一元化，也會虛化思維的嚴謹性，只有合情推理與演繹推理相結合，才是真正嚴密的推理。正如哲學家康德所說的“每當理智缺乏可靠論證的思路時，模擬的這個方法往往可以指引我們前進”，模擬推理（類比猜想等）就是合情推理的一種，推理依據的條件和結論之間的關系不一定具有邏輯性而僅僅依靠直覺猜想，這種非邏輯的推理方式，是建立在人們對事物的直觀認識和直覺思維的基礎上的一種似然推理方式，是對命題真偽的最初判定。如在一次市公開課《橢圓的幾何性質》中，一位老師較好地利用學生的直覺，將直覺與演繹推理較好地融合在一起：師：“如何畫橢圓的圖形？”生：“在第一象限內取五個點。”師：“為啥？”生：“其他象限利用對稱點。”師：“言外之意，橢圓具有對稱性，你的直覺非常好，你還能進行嚴密推理嘛！”

二、推理過程的錯位：虛化思維的深刻性

1.暴露顯微過程的越位——推理過程的細枝末節化

以教材形式呈現的數學教學內容，從其形態來看是外顯的、靜態的，而其背后隱含了知識生長的動態過程。有些細小部分往往具有十分豐富的思想內涵，存在著很大的思維價值，在這些地方，教師要善于“小題大做”，以顯性的知識為線索，通過暴露自己和學生的推理細節再現隱藏在教材背后鮮活的探索發現活動，促使在“顯微”推理暴露過程中提升學生思維的深刻性，引導學生建構合理的數學認知結構。但也不是暴露得越細越好，有些細小推理部分，和主體思維、核心方法關聯不大，是主體推理過程中的細枝末節，不宜將推理過程重點放在這里。如在蘇教版高中數學必修四《兩角和與差的余弦》的內容中，由于余弦的差角公式是推導正弦和（差）角公式、正切的和（差）角公式以及倍角公式的基礎，并且其推理過程具有重要的教育價值，蘇教版教材是利用向量數量積的方法來推導的，不僅推導過程簡捷，也可以更好地揭示向量與三角函數的聯系：在直角坐標系xOy中，

積如何分別利用定義及其坐標表示。而有些老師把重點放在cos（？琢-？茁）為啥是兩個向量夾角余弦的推理過程中，利用大量的時間，反復討論？琢，？茁，？琢-？茁的范圍，事實上由于余弦函數是周期函數又是偶函數，因此只需考慮0≤？琢-？茁≤？仔的情況。？琢-？茁范圍推理分析雖是難點，但只是主體推理過程中的細枝末節，不宜將推理過程重點放在這里，如若糾纏于細枝末節，反而會虛化主體思維的深刻性，影響對主干知識的理解，讓學生顧此失彼。

2.暴露障礙過程的退位——推理過程的選擇化

解決問題的思維方法常可分為三類：學生容易想到也容易實行（易想易行）的方法、學生容易想到但難以實行（易想難行）的方法、學生難以想到但容易實行（難想易行）的方法，老師常習慣于選擇暴露易想易行、難想易行的解決問題的方法，不習慣于暴露易想難行的方法，也就是只選擇暴露經過老師優化后的推理過程與方法。如在橢圓標準方程的推導中，2a，老師一般展示的都是移項平方，事實上，兩邊直接平方到底會怎樣呢？又如點到直線距離的公式推導中，直接求出垂足坐標會怎樣呢？

思維的深刻性體現為在智力活動中要能深入思考問題，要善于概括歸類、善于抓住事物的本質和規律。老師既要展示數學問題解決的思維過程，便于學生深層次的理解與思維方法的借鑒，同時也要將學生認識問題、解決問題的思維曝光，便于教師及時的反饋評價。這樣就要求師生既要暴露成功的推理過程：當時是怎樣想的？有何規律？也要暴露錯誤但是具有價值的推理過程：錯在哪里？當時是怎么想的？問題的根本在哪兒？更要暴露解決問題過程中出現障礙的推理過程：只做了一部分而出現障礙，為什么做不下去了？如何調整思路？只選擇暴露優化后的推理過程，缺乏對易想難行的推理過程的暴露，缺乏對如何優化、為什么要優化的推理過程暴露，只會虛化思維的深刻性，學生不會形成自己的深刻思維，思維處于淺層，而只有嘗試并真正比較后才能對數學方法進行優化。

參考文獻

[1] 史寧中.數學思想概論（第1輯）——數量說數量關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2008.【責任編輯 郭振玲】