基于受約束正則方法的奇異期權定價

【摘要】本文研究一種對奇異期權定價的非參數方法，避開了傳統期權定價方法對資產價格分布假設和波動率假設等難題，并且不同于其他非參數方法從期權歷史交易價格出發為新期權定價，本文直接用標的資產的價格為期權定價。因此，即使在期權市場不完善，期權價格不可靠、不可得，甚至不存在的情況下，也能為期權有效定價。此外，本文將正則定價方法和隱含二叉樹方法有效結合，擴展到為奇異期權的定價問題上，并在傳統的正則定價方法中加入了價格敏感因素作為約束條件，以提高該方法的定價精度。

【關鍵詞】正則方法 ?約束條件 ?隱含二叉樹 ?期權定價

一、標的資產的價格路徑

奇異期權是路徑依賴期權，因此，為奇異期權定價需要考察標的資產在期權期限內的價格演變過程。本文采用離散時間定價方法，假設奇異期權的到期時刻為T，當前時刻為t，將時間段T-t分為N個時間間隔，用τ表示觀測時刻，τ=t1，t2，…，tN-1，T。考察M條股票價格路徑，則每一條都由N+1個價格元素組成，即當前價格St和在N個觀測時刻的價格：{S■，S■■，S■■，...，S■■，S■■，？坌i=1，2，…，M}.所以，標的資產收益的相應地由下式表示：

S■■=S■R■■

S■■=S■■R■■=S■R■■ n=2，3，...，N （1）

R■■表示第i條樣本路徑（？坌i=1，2，…，M），τ時刻對應的資產收益率。一般的，樣本路徑的數量M，明顯大于期權執行時刻的數量N。

進一步地，假設每一條股票價格樣本路徑服從相等的真實世界概率分布■（i）=■，？坌i=1，2，…，M。標準正則方法僅假定標的資產的到期收益服從均勻分布，而為奇異期權定價時需要考慮的是整條價格變化路徑，因此這里假定的是M條標的資產價格樣本路徑服從均勻分布。這里的■是經驗分布函數，以概率收斂于真實分布π，是 ?π的一個逼近。

二、最優等價鞅測度

正則定價方法的核心是將真實世界的概率測度轉換為風險中性概率測度。所求的風險中性概率■*（i），？坌i=1，2，…，M必須滿足等價鞅測度（EMM）的性質，即：

■■π■=1 ？坌j=1，2，…，N （2）

完備市場存在唯一的等價鞅測度，可以直接用風險中性定價方法來為期權定價。但本文研究的是從標的資產歷史交易價格出發的非參數方法，現實的資本市場是不完備市場的，即存在多個符合約束條件的等價鞅測度。因此，找出其中最優的等價鞅測度■*，作為為奇異期權定價所需的風險中性概率是本方法的關鍵所在。本文根據Stutzer（1996）的相對熵方法，最優等價鞅測度就是在概率轉換中信息丟失最少的那一個等價鞅測度，可以通過最小化真實概率和風險中性概率的Kullback-Leibler距離來求得：

■*=■D（π*，■）=■π■log■ （3）

其中，■■π■log■就是π■和■的Kullback-Leibler距離公式。

三、最優約束條件

期權的實際交易價格中，隱含了為新期權定價所需要考慮的價格敏感因素，如期權市場的交易限制、期望期權回報，以及在不完全市場中的市場風險價格等。Gray和Newman（2005），Gray、 Edwards和Kalotay（2007）等學者的研究表明，如果同標的相應期權是被準確定價的，將其歷史交易價格作為約束條件，加入到新期權的定價公式中，可以提高定價精度。所以，本文在為奇異期權定價時，可以考慮加入同標的的相對應的歐式、美式期權價格，或同時加入這兩種期權的交易價格作為約束條件，排除相應的奇異期權是為了防止循環計算。

假設以相應的歐式期權價格C■作為約束條件，由于約束期權的價格是在當前時刻t之前被觀測到的，因此以t-1表示觀測時刻。則在為奇異期權定價時，就需要估計一個拉格朗日乘數向量γ*=（γ1，γ2）：

γ*=■■expγ■■-1+γ■■-C■■（4）

其中，S■■和r■■是約束期權被觀測時，即t-1時刻的標的資產價格和無風險利率，X■■和T■■為約束期權執行價格和到期期限。

此時，最優等價鞅測度為：

■■■=■ （5）

四、正則隱含二叉樹為奇異期權定價

通過受約束的正則方法，得到了風險中性概率■*，作為隱含二叉樹的終期結點概率。構造一棵步數為n，結點個數為m的隱含二叉樹，對應的結點概率為Pi，j，其中i（i=1，2，...n）為步數，j（j=1，2，...m）為結點，則：

Pi-1，j=■[（i-j）Pi，j+（j+1）Pi，j+1] （6）

特別的，最后一步

Pn-1，j=■[（n-j）■*j+（j+1）■*i，j+1]

相應的，從結點（i-1，j）向上運動的轉移概率：

Pi-1，j=■ （7）

對應結點的收益率為：

Ri-1，j=[Pi-1，jRi，j+1+（1-Pi-1，j）Ri，j]/r （8）

由式（6）（7）（8）即可構造出一棵隱含二叉樹，應用新構造的樹形就能為期權定價。

五、結論

用Stutzer（1996）提出的正則方法計算風險中性概率，并加入約束條件以提高計算精度，將求得的風險中性概率作為樹形的終端節點概率，結合相應節點的標的資產收益率，由后往前求出樹形的路徑概率和其他結點的收益率，從而構造出一棵隱含二叉樹，就能用構造的樹形為各種奇異期權定價。

參考文獻

[1]Stutzer M.A simple nonparametric approach to derivative security valuation[J].Journal of Finance，1996，51：1633-1652.

[2]Rubinstein M E.Implied binomial trees[J].Journal of Finance，1994，49：771-818.

[3]Liu Q，Guo S.Canonical Distribution，Implied Binominal Tree，and the Pricing of American Options[J].The Journal of Futures Markets，2013，33：183-198.

作者簡介：賀靖軒，女，福州大學經濟與管理學院金融學專業，碩士研究生，研究方向：資產定價。