電荷體系在變化外電場中的能量(勢能）與受力

景義林

(安陽師范學院物理與電氣工程學院，河南安陽 455000）

文獻［1］分析了一定電荷分布的電荷體系在不變外電場(即當電荷體系在外電場中的位置發生變化時，外電場的分布情況和產生外電場的電荷分布情況不變）中的能量，即一定電荷分布的電荷體系在不變外電場中的勢能。這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中的能量(勢能）就是電荷體系與外電場的相互作用能。但在實際中，一般情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中的位置發生變化時，外電場的分布情況和產生外電場的電荷分布情況會隨之而發生變化，這里，我們把這種外電場簡單稱之為變化外電場，如一定電荷分布的電荷體系周圍是導體或帶電導體，這時，電荷體系所處的外電場就是導體上的電荷所產生的電場，當電荷體系相對導體的位置發生變化時，導體或帶電導體的電荷分布情況及其所產生的電場就會隨之而發生變化。那么，這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中的能量(勢能）等于什么呢?還等于電荷體系與外電場的相互作用能嗎?本文擬分析這個問題，并根據勢能分析研究電荷體系的受力情況。

1 一定電荷分布的電荷體系所受變化外

電場的電場力也是保守力系，故一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中也具有勢能

先來說明一點。點電荷在導體或帶電導體周圍時，所受導體或帶電導體電場的電場力是保守力。

眾所周知，點電荷在電荷分布一定的帶電體所產生的靜電場中所受電場力是保守力，但當點電荷在導體周圍(導體由于靜電感應，要產生感應電荷）或帶電導體周圍的靜電場中時，對應于點電荷所在的每一個位置，都對應著導體或帶電導體的一個確定的不同的電荷分布。因此，點電荷相對于導體或帶電導體位于不同位置時，對應的導體或帶電導體的靜電場嚴格說來并非同一個靜電場，但通過下面的分析，我們可以知道，電荷所受導體或帶電導體靜電場的電場力依然是保守力。

當點電荷位于導體或帶電導體周圍某一位置(位矢為X）時，點電荷所受導體或帶電導體電場的電場力及其旋度

一定電荷分布的電荷體系可看作是由相對位置一定的許多元電荷組成的。由此可知，當一定電荷分布的電荷體系在外電場中的位置發生變化時，即使產生外電場的電荷分布情況和外電場的分布情況發生變化，電荷體系所受外電場的電場力也是保守力系，電荷體系在這樣的變化外電場中也具有勢能。

2 一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中的能量(勢能）

兩個電荷體系的能量，涉及到以下幾種:兩個電荷體系的總能，兩個電荷體系的自能，兩個電荷體系的相互作用能，一電荷體系在另一電荷體系電場中的能量即勢能。其中，兩個電荷體系的相互作用能是兩個電荷體系的總能與兩個電荷體系的自能之差。

為了研究一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中的能量(勢能），我們來看當一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中從一位置移動到另一位置時，電荷體系在外電場中的能量(勢能）的增量。按照勢能的定義，在外電場中，當電荷分布一定的電荷體系從一位置移動到另一位置時，電荷體系在外電場中的能量(勢能）的增量等于外力所做的功。與文獻【1】所述情況——即一定電荷分布的電荷體系在不變外電場中的情況不同的是，這里，當一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中從一位置移動到另一位置時，不僅一定電荷分布的電荷體系與產生變化外電場的電荷體系的相互作用能要發生變化，而且由于產生外電場的電荷分布情況和外電場要發生變化，故產生外電場的電荷體系的自能也要發生變化，這個能量的變化必然也是由于外力做功的緣故。因而外力做的功等于兩電荷體系相互作用能的增量與產生外電場的電荷體系自能的增量。故這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中位于某一位置時，電荷體系在外電場中的能量(勢能）等于兩電荷體系的相互作用能與產生外電場的電荷體系的自能之和。

3 一定電荷分布的電荷體系在外電場中的受力

一定電荷分布的電荷體系在另一電荷體系電場中的能量(勢能）知道了，那么，根據勢能，我們即可求該電荷體系所受另一電荷體系電場的作用力了。

電荷分布一定的電荷體系的自由度是6，電荷體系的位置可用6個廣義坐標來描述。設用電荷體系(剛體）上某一點(參考點）的直角坐標x、y、z和過該點與電荷體系固連的某一有向直線與x、y、z軸的夾角 α、β、γ 為描述體系的廣義坐標。則電荷體系在另一電荷體系電場中的勢能

4 舉例

一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中的勢能

Ws1為產生變化外電場的電荷體系的自能，Wi為兩電荷體系的相互作用能。舉兩個特殊的例子。

例1 點電荷q距半徑為R0的接地導體球的球心為r，分析點電荷所受作用力。

解:這一例題中，電荷體系——接地導體球的電荷分布不僅隨它與另一電荷體系——點電荷q之間距離變化而變化，而且它的帶電量也隨二者之間距離的變化而變化。

根據鏡像法求解靜電場［1］的結果，我們可以求出接地導體球的感應面電荷密度［2］

以上列舉的兩個簡單例子，對于處在變化外電場中的一定電荷分布的電荷體系都是再簡單不過的點電荷。單就這兩個例子來說，這里，我們利用其在外電場中的勢能來求解其受力，似乎有舍近求遠、舍簡就繁的嫌疑，但就一般的一定電荷分布的電荷體系來說，知道了電荷體系在外電場中的勢能，我們就可根據勢能求其在外電場中的受力情況，就可利用拉格朗日方程求其運動規律，這往往要比利用積分法求電荷體系的受力情況、利用牛頓定律求電荷體系的運動規律要簡單得多。

［1］郭碩鴻.電動力學(第二版）［M］.北京:高等教育出版社，1997:91，72，74.

［2］倪忠楚.用電像法求電荷與導體間作用力時應注意的一個問題［J］.物理與工程，2003，13(4）:19 －22.