KdV方程的簡(jiǎn)單行波解研究

羅廣輝，黃 英

(1.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昆明 650091;2.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南楚雄 675000）

1895年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家Korteweg和他的學(xué)生de Vries在對(duì)孤波進(jìn)行全面分析后建立了KdV方程

隨著非線(xiàn)性現(xiàn)象研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)有一大類(lèi)描述非線(xiàn)性作用下的波動(dòng)方程或方程組，在長(zhǎng)波近似和小振幅假定下，均可歸納為著名的KdV方程(1），例如等離子體的磁流波、離子聲波、非諧振晶格的振動(dòng)、液氣混合物中的壓力波以及低溫下非線(xiàn)性晶格的聲子波包的熱激發(fā)等等［1，2］.1965年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Kruskal和Zabusky利用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)通過(guò)數(shù)值計(jì)算詳細(xì)研究了KdV方程兩波相互作用的全過(guò)程，發(fā)現(xiàn)孤波的形狀和速度保持不變而具有彈性散射性質(zhì)，并將這種穩(wěn)定的孤波稱(chēng)為孤子，從此，一個(gè)研究非線(xiàn)性發(fā)展方程精確波解的熱潮在學(xué)術(shù)界蓬勃地開(kāi)展起來(lái)［2，3］.方程(1）作為一個(gè)典型的孤子方程，它的精確解自然會(huì)引起研究者的極大關(guān)注［4，5，6，7，8，9］.然而，這些解都是通過(guò)非常復(fù)雜的方法計(jì)算出來(lái)的，它們的結(jié)構(gòu)都比較復(fù)雜，如果把這些解作為計(jì)算多波解的初始解的話(huà)，計(jì)算量會(huì)非常大，使我們下一步的研究工作無(wú)法進(jìn)行，所以，我們不禁把目光投向結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的兩個(gè)經(jīng)典行波解。

1 KdV方程的精確行波解

根據(jù)研究資料［2］，我們知道，1895年，Korteweg和de Vries用直接積分法建立起KdV方程(1）的Jacobi橢圓余弦波解

對(duì)于上述行波解，我們不敢斷言它們是新的，畢竟KdV方程(1）是著名的孤子方程，關(guān)于它的研究很多，但這些解可能會(huì)隨著不同的研究方法零星地出現(xiàn)在各種研究資料中，而我們卻通過(guò)簡(jiǎn)單直接的猜測(cè)－待定系數(shù)法把它們集中展現(xiàn)給感興趣的研究者，如果把它們作為初始解去研究多重波解的話(huà)，這將會(huì)是一個(gè)好的開(kāi)始，因?yàn)檫@些行波解的結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單.

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