任意壽命分布下k/N(G)系統定時維修決策模型*

盧雷，楊江平

(空軍預警學院，湖北 武漢　430019)

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任意壽命分布下k/N(G)系統定時維修決策模型*

盧雷，楊江平

(空軍預警學院，湖北 武漢430019)

摘要：針對大型k/N(G)系統維修保障特點，提出了一種定時維修策略。以系統使用可用度為約束條件，以系統期望維修費用率最小化為優化目標，建立了任意壽命分布下k/N(G)系統定時維修優化模型，并提出了一種求解模型的數值迭代算法。實例分析表明，該模型既能計算定時維修策略下k/N(G)系統使用可用度和期望維修費用率，又能確定最佳的定時維修間隔期和最佳的換件維修人數，可為k/N(G)系統預防性維修提供決策支持。

關鍵詞：冗余系統；定時維修；壽命分布；可用度；維修費用率

0引言

為滿足高可用度和高可靠性的要求，大型復雜裝備如艦船、相控陣雷達中越來越多地使用大型k/N(G)系統，例如某型艦載雷達的4個天線陣面均可視為一個3 000取2 700的k/N(G)系統。與其他系統相比，大型k/N(G)系統在維修保障方面具有系統龐大、設備量多、維修任務重等特點。對于這一類系統，科學合理的預防性維修策略將使系統的保障工作簡單、工作量少、保障費用低，并使系統達到較高的戰備完好性水平。針對這類系統，文獻[1-2]研究了部件故障后立即送修這一策略下k/N(G)系統使用可用度模型，部件故障后立即送修策略適用于部件總數較小的k/N系統。對于部件總數很大的k/N系統，如900/1 000(G)系統，若采用這一策略，則會使系統停機時間增加，維修工作量增大。考慮到部件之間存在的維修相關性，多部件成組維修近來受到較多關注。文獻[3]提出了一種D維修策略，D維修策略是指當系統中因部件故障引起的維修工作量超過門限D時才開始對系統進行維修，并以系統期望費用利潤率最大為準則求取最優的D值，但該策略的前提假設為部件壽命服從指數分布，且維修人員數量為1。文獻[4-5]將k/N(G)系統在一個預防維護周期內的故障分為2類，第1類系統故障是指系統發生失效的部件數小于k，第2類系統故障是指系統發生失效的部件數大于k，對于2類故障分別采用小修處理和完全替換處理，但該策略中小修次數較多，維修任務量大，可操作性不強。文獻[6-8]建立了m視情維修策略下k/N(G)系統的使用可用度模型，分析了維修策略參數m、初始備件數量以及維修人員數量對系統使用可用度的影響，m維修策略是指當N個部件中故障部件數量達到m(0

1k/N(G)系統定時維修策略描述

k/N(G)系統由N個相同部件組成，各部件的壽命服從相同的分布且故障發生相互獨立。假設r個人員負責系統的換件維修，且換件維修時保障資源充足。系統采用如下定時維修策略：系統開始工作時,N個部件都正常，當系統運行時間達到T時若仍然正常工作(故障部件數小于N-k+1)，則對系統進行預防性換件維修，更換系統中所有故障部件，預防性換件維修時間假設為tp；而當系統在時間T以前發生故障(故障部件數大于等于N-k+1)，則對系統進行故障換件維修，更換系統中所有故障部件，故障換件維修時間假設為tf；預防性換件維修或故障換件維修完成后，系統重新開始運行。定時維修策略如圖1所示。

定時維修策略的優點是能提前安排維修所需的保障資源，并通過成組批量更換故障部件減少維修工作量，從而提高系統利用率，降低維修費用。

2維修決策建模

2.1符號意義

Ao(T,r)：當預防性維修間隔期為T，換件維修人員總數為r時，系統長期運行的使用可用度；

cf：系統一次故障換件維修所需費用；

cp：系統一次預防性換件維修所需費用；

f(t)：部件壽命概率密度函數；

F(t)：部件壽命分布函數；

Fk(t)：k/N(G)系統壽命分布函數；

k：系統正常工作所需的最低正常部件數量；

L(T,r)：當預防性維修間隔期為T，換件維修人員總數為r時，系統長期運行的期望維修費用率；

MTTF：k/N(G)系統的平均壽命；

N：k/N(G)系統總的部件數；

q(t)：部件失效率函數；

R(t)：部件可靠度函數；

Rk(t)：k/N(G)系統可靠度函數；

tf：系統一次故障換件維修所需時間；

tp：系統一次預防性換件維修所需時間；

μ：單個部件的換件維修率。

2.2模型分析

使用可用度和維修費用率是2個關鍵的維修決策目標[9]。下面，將從這2個方面進行建模分析。

假設k/N(G)系統中任一部件的壽命分布函數為F(t)，密度函數為f(t)，則部件失效率函數q(t)與兩者的關系為[10]

(1)

對式(1)兩邊進行積分，可推導出：

(2)

根據k/N(G)系統的特點：當N個部件中有k個或k個以上部件正常工作時，系統才正常工作，則k/N(G)系統的可靠度為[11]

(3)

k/N(G)系統的累積失效函數為

(4)

k/N(G)系統的平均壽命為

(5)

如果令相鄰2次系統開始運行的時間間隔為一個周期，令X為一個任意的周期中k/N(G)系統正常工作的時間(系統中失效部件數量≤n-k+1的時間)，則一個周期的長度為

(6)

所以，一個周期的期望長度E(Y)為

(7)

式中：E[tf]為系統故障換件的期望維修時間；E[tp]為系統預防性換件的期望維修時間。

當換件維修人員總數r小于需換件維修的部件數量時，E[tf]和E[tp]可分別表示為

(8)

(9)

式中：μ為單個部件的換件維修率。

使用可用度是系統的能工作時間與能工作時間、不能工作時間的和之比[12]。k/N(G)系統長期運行的使用可用度可表示為

(10)

同理，可得出一個周期的期望費用E(C)為

(11)

所以，系統長期運行的維修費用率為

(12)

2.3維修決策模型

根據以上的分析，以定時預防性維修間隔期T和換件維修人員數量r為決策變量，以系統可用度為約束條件，系統期望維修費用率最低為優化目標，建立定時維修策略下k/N(G)系統維修決策模型如下：

(13)

式中：Aaccept為最低可接受使用可用度值。

2.4數值迭代算法

為了要求在系統發生故障前(系統中故障部件數超過N-k)對系統進行定時預防性維修，所以定時維修間隔期T一般小于系統的平均壽命MTTF。同時，為避免因換件維修人員過多而導致的資源閑置，所以換件維修人數r一般小于系統故障停機時部件失效總數N-k。

在上述約束條件下，為求解最佳的定時維修間隔期T和最佳的換件維修人數r，提出了維修決策模型的迭代求解方法，如圖2所示。

3實例分析

某大型相控陣雷達天線陣面由1 000個相同的收發通道組成，當陣面通道的故障數>100個時，雷達無法完成正常的探測。因此，該天線陣面可視為一個900/1 000(G)的k/N(G)系統。已知條件有：μ=2個/h，cf=10 000元，cp=2 500元，Aaccept=0.95。

實驗1部件壽命服從威布爾分布

根據建立的維修決策模型，利用數值迭代算法可求出威布爾壽命分布下使期望維修費用率L(T,r)最小化且滿足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)組合，如表1所示。

實驗2部件壽命服從指數分布

假設系統中各項部件的壽命服從參數為λ的指數分布，λ=0.000 3次/h。利用Matlab軟件進行仿真，可以得出不同(T,r)組合下的期望維修費用率曲線，如圖4所示。

同樣，可求出指數壽命分布下使期望維修費用率L(T,r)最小化且滿足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)組合，如表1所示。

由圖3和圖4可知：無論部件壽命服從威布爾分布或指數分布，系統期望維修費用率L(T,r)并不隨著預防性維修間隔期T和維修人員數量r單調變化，而是存在一個最優的(Toptimal,roptimal)組合使系統長期運行期望維修費用率最小化且滿足使用可用度約束要求。同時，結合表1可知，通過模型計算和迭代算法求解可找出最優的(Toptimal,roptimal)組合。

4結束語

本文建立了任意壽命分布下k/N(G)系統定時維修決策模型，主要結論有以下幾點：

(1) 模型適用于部件壽命服從任意分布(威布爾分布、指數分布等)的k/N(G)系統，通用性較強。

(2) 與目前多數維修決策模型只考慮一種優化目標不同，本文的模型同時考慮了可用度和維修費用率2個優化目標，屬于多目標維修決策優化模型。

(3) 本文的模型既可用來計算定時預防性維修策略下k/N(G)系統的可用度和維修費用率，也可利用數值迭代算法確定最優的定時維修間隔期和維修人員數量，可為k/N(G)系統預防性維修策略和維修人力資源的優化提供決策支持。

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Time Based Maintenance Optimization Model fork/N(G) System with Various Lifetime Distributions

LU Lei，YANG Jiang-ping

(Air Force Early Warning Academy, Hubei Wuhan 430019, China)

Abstract:A time based maintenance policy for large-scalek/N(G) system is presented. This policy is provided by the maintenance and support characteristic ofk/N(G) system. On the basis of the policy, a maintenance optimization model is established. The model minimizes system maintenance cost rate under the condition of system operational availability. Then, a numeric iteration algorithm is proposed to solve the model. Example shows that the model can computek/N(G) system operational availability and system maintenance cost rate, and meanwhile the model can obtain the optimal maintenance interval time and the optimal number of maintenance personnel. This research provides decision supporting for the preventive maintenance of large-scalek/N(G) system.

Key words:redundancy system; time based maintenance; lifetime distribution; availability; maintenance cost rate

收稿日期：2014-02-13；
修回日期：2014-04-13

基金項目：國防科研基金項目(KJ2011196)

作者簡介：盧雷(1985-)，男，湖北武漢人。博士生，主要研究方向為裝備綜合保障建模與仿真。

通信地址：441100湖北省襄陽市南漳縣城關鎮樊灣村張華超市E-mail：lulei61588772@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.023

中圖分類號：TH165.3；N945.2

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-01-0135-05