矩陣在數學計算中的應用

于榮格，江瑞

（滄州師范學院數學系，河北 滄州 061001）

行列式和矩陣在高等代數中占據著非常重要的地位，筆者給出矩陣在高等代數的三類不同計算中的應用。

1 計算由幾個向量所生成的子空間的維數

例1：

在P4中求由向量 生成的子空間維數，

其中：

解

矩陣A的秩為3，所以由向量 生成的子空間維數為3。

2 利用矩陣的秩來判定一個方程組是否有解

由[1]中的第四章，我們有下面的定理

引理 1［1］:

（線性方程組可解的判別法）線性方程組

有解的充分且必要條件是：

它的系數矩陣和增廣矩陣有相同的秩。

根據此定理我們可以判斷一個方程組是否有解。

例2：

秩：

所以，由引理1知方程組有解。

3 通過對二次型的矩陣進行合同變換將二次型化成標準形

定義 1［2］：

數域P上n×n矩陣A,B稱為合同的，如果有數域P上n×n矩陣C，使

用初等變換把二次型的矩陣化為對角矩陣，為了保證所得的矩陣與原矩陣合同，我們要成對地進行初等變換，即作一次初等行變換后必須作一次相同的列變換。

設二次型 。對2n×n矩陣進行初等變換，將A化成對角形，并且保證了合同關系。

如果

例3：

解：

二次型 的矩陣為

用合同變換將A化為對角形

［1］ 張 禾瑞，郝 新.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］ 北 京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，2003.