風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法

任作琳，張儒劍，田雨波

(1.江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)(2.南京郵電大學(xué)海外教育學(xué)院，江蘇南京210046)

智能優(yōu)化算法具有全局的、并行高效的優(yōu)化性能、魯棒性、通用性強(qiáng)、無需問題特殊信息等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、優(yōu)化調(diào)度、運(yùn)輸問題、組合優(yōu)化、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域，并引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1］.美國賓夕法尼亞州立大學(xué)電氣工程系的Bayraktar Z和Werner D H博士以及氣象學(xué)系的 Komurcu M博士在2010年IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium上發(fā)表了名為“Wind Driven Optimization(WDO):A novel nature-inspired optimization algorithm and its application to electromagnetic”的論文［2］，標(biāo)志著風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化 (WDO)算法的誕生.

風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法是一種基于群體的迭代啟發(fā)式全局優(yōu)化算法，該算法是基于對(duì)簡(jiǎn)化的空氣質(zhì)點(diǎn)受力運(yùn)動(dòng)模型的模擬.其核心是研究空氣質(zhì)點(diǎn)在大氣中的受力運(yùn)動(dòng)情況，應(yīng)用牛頓第二定律并結(jié)合理想氣體狀態(tài)方程，推導(dǎo)出空氣質(zhì)點(diǎn)在每一次迭代中的速度和位置的更新方程.該算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，可調(diào)參數(shù)較少，能夠有效跳出局部極值尋找到最優(yōu)極值，可以處理多模和多維問題，也可以處理連續(xù)優(yōu)化問題和離散優(yōu)化問題.

相比于其他智能優(yōu)化算法(如粒子群優(yōu)化算法)該算法更新方程具有實(shí)際的物理意義，其全局搜索能力較強(qiáng)，收斂速度較快，尋優(yōu)效率高，魯棒性強(qiáng)，且可以通過微調(diào)系數(shù)達(dá)到不同的優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，應(yīng)用前景十分廣泛.目前國內(nèi)剛剛開始關(guān)注WDO算法的研究，文中介紹了WDO算法的原理和目前的研究情況，進(jìn)而給致力于研究WDO算法的研究者們提供一些借鑒.

1 風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法

1.1 算法物理基礎(chǔ)

大氣動(dòng)力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律在地球大氣中的應(yīng)用，大氣運(yùn)動(dòng)和經(jīng)典流體力學(xué)的一個(gè)主要區(qū)別是:大氣運(yùn)動(dòng)是處于一個(gè)旋轉(zhuǎn)的地球表面上［3］.

眾所周知，牛頓定律是在一個(gè)無加速度的坐標(biāo)系(即慣性坐標(biāo)系)中處理質(zhì)點(diǎn)加速度與質(zhì)點(diǎn)所受作用力之間的關(guān)系.若將這些定律應(yīng)用于非慣性旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，就必須做一些相應(yīng)的變化與調(diào)整.

在一個(gè)無加速度的慣性坐標(biāo)系(或稱絕對(duì)坐標(biāo)系)中，一個(gè)單位質(zhì)量氣塊運(yùn)動(dòng)的速度矢量以Va表示.按牛頓定律，它的加速度與所受到的力之間的關(guān)系可以表達(dá)為:

式中:下標(biāo)a表示絕對(duì)坐標(biāo)系，F(xiàn)i為作用在氣塊上的力.

首先分析式(1)左端項(xiàng).由于大氣運(yùn)動(dòng)處于一個(gè)旋轉(zhuǎn)的地球表面上，其運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，從絕對(duì)坐標(biāo)系(例如在恒星上)觀察與從地球表面上觀察是不同的，前者稱為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，后者稱為相對(duì)速度和相對(duì)加速度.

設(shè)地球的旋轉(zhuǎn)角速度為Ω，一個(gè)物體或空氣塊的絕對(duì)速度為Va，地球表面上觀察的相對(duì)速度為V，則它們之間的關(guān)系為:

式中r為氣塊的位置矢量，其大小為地心至氣塊重心的距離，方向由地心指向氣塊.式(2)可以表示為:

式中R為氣塊相對(duì)地球轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置矢量.

下述表達(dá)式對(duì)所有矢量普遍成立:

式中A為某一矢量.將式(2)代入式(5):

式(6)中最后一個(gè)等號(hào)右邊第一項(xiàng)為相對(duì)于地球表面的加速度;第二項(xiàng)為科氏(Coriolis)加速度，只有當(dāng)氣塊相對(duì)地表運(yùn)動(dòng)時(shí)(V≠0)才出現(xiàn);第三項(xiàng)為氣塊隨地球旋轉(zhuǎn)而具有的向心加速度，只與氣塊位置(矢量r)有關(guān)，與其是否相對(duì)運(yùn)動(dòng)無關(guān).

下面再分析式(1)右端項(xiàng).在地球表面上，氣塊受到的力有:① 氣塊與地球之間的牛頓萬有引力，可表示為g*;② 由于氣壓空間分布差異引起的氣壓梯度力 －2p/ρ，ρ為空氣密度，p為空氣壓強(qiáng);③由于空氣分子粘性引起的內(nèi)摩擦力ν22V，ν為運(yùn)動(dòng)分子的粘性系數(shù)，22為拉普拉斯算子.于是式(1)成為:

這是在旋轉(zhuǎn)地球上的坐標(biāo)系即非慣性坐標(biāo)系中，氣塊加速度與作用在其上作用力之間的關(guān)系，即非慣性坐標(biāo)系中的牛頓第二定律.其右端前3項(xiàng)仍保持原來的含義;第4項(xiàng)稱為科氏力，在慣性坐標(biāo)系中它本是物體的加速度，在非慣性坐標(biāo)系中把它看成為力，所以稱其為虛擬力.科氏力與地球自轉(zhuǎn)軸垂直，并在北半球指向風(fēng)矢量的右方.第5項(xiàng)也是虛擬力，稱其為離心力.由于這個(gè)力只與位置有關(guān)，不將其作為單獨(dú)的力看待，而是將其與引力項(xiàng)1合并，稱為重力，即

式(10)即是單位質(zhì)量氣塊加速度與作用在其上作用力之間的關(guān)系，亦即非慣性坐標(biāo)系中的牛頓第二定律.

1.2 算法基本原理

地球大氣的成分和結(jié)構(gòu)是很復(fù)雜的，大氣的任一微小部分(空氣微團(tuán))可以作為“點(diǎn)”來處理，稱為空氣質(zhì)點(diǎn)［4］.根據(jù)以上得出非慣性坐標(biāo)系中的牛頓第二定律并結(jié)合理想氣體狀態(tài)方程，可以簡(jiǎn)化模型得出風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法.

1.2.1 速度更新方程

世界氣象組織(WMO)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)大氣的定義中有這樣的描述［2］:假定空氣服從使溫度、壓力和密度與位勢(shì)發(fā)生關(guān)系的理想氣體定律和流體靜力學(xué)方程.其中，大氣處于流體靜力平衡狀態(tài)是指大氣在垂直方向上受到重力和垂直氣壓梯度力的作用并達(dá)到平衡.在建模過程中，研究者并沒有完全模擬大氣運(yùn)動(dòng)，忽略了平流層離心力等微小影響的作用力，簡(jiǎn)化了建模，主要考慮4個(gè)力作用，并且假設(shè)空氣質(zhì)點(diǎn)處于流體靜力平衡狀態(tài)，且滿足理想氣體定律(即理想氣體狀態(tài)方程).又由于地球自轉(zhuǎn)以及不同高度大氣對(duì)太陽輻射吸收程度的差異，使得大氣在水平方向比較均勻，而在垂直方向呈現(xiàn)明顯的層狀分布.所以，大氣運(yùn)動(dòng)中水平運(yùn)動(dòng)對(duì)空氣質(zhì)點(diǎn)的影響強(qiáng)于垂直運(yùn)動(dòng)，在研究WDO算法中，僅需關(guān)注風(fēng)的水平運(yùn)動(dòng).由于研究對(duì)象是無限小的空氣質(zhì)點(diǎn)，可以假設(shè)空氣質(zhì)點(diǎn)為單位體積.雖然研究大氣運(yùn)動(dòng)是在三維的世界里，但是算法應(yīng)用可以映射到解決多維的問題中.

簡(jiǎn)化的牛頓第二定律及理想氣體定律方程式如下:

式中:a為加速度，ρ為空氣質(zhì)點(diǎn)的密度，F(xiàn)i為作用在空氣質(zhì)點(diǎn)上的力，P為壓強(qiáng)，R為理想氣體常數(shù)，T為溫度.

由大氣動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，影響風(fēng)吹動(dòng)的主要力有4個(gè)，分別是:①啟動(dòng)空氣質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的氣壓梯度力FPG，其方向由高壓區(qū)指向低壓區(qū);②與FPG作用相反的摩擦力FF;需要指出的是，由于摩擦力的方程式較復(fù)雜，故在推導(dǎo)速度更新方程時(shí)應(yīng)用另一種簡(jiǎn)化的表達(dá)方式;③ 垂直指向地心的重力FG，在物理學(xué)三維坐標(biāo)系中假設(shè)地球的中心為直角坐標(biāo)系的中心，那么可以認(rèn)為重力是使空氣質(zhì)點(diǎn)移向坐標(biāo)系原點(diǎn)的力，相似的將三維問題映射到N維中，重力代表指向坐標(biāo)系中心的力;④ 地球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科氏力Fc，它代表在每一次迭代中，空氣質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前所在維度中的速度和位置受其他任一維度的影響.4個(gè)力具體簡(jiǎn)化方程如下:

式中:－2P為氣壓梯度，負(fù)號(hào)說明沿梯度下降方向;δV為空氣粒子的有限體積;α為摩擦系數(shù)，u為風(fēng)速度矢量，g為重力加速度矢量，Ω為地球旋轉(zhuǎn)角速度矢量.

由于研究對(duì)象為無限小的空氣質(zhì)點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化模型令δV=1，同時(shí)為了便于公式的推導(dǎo)，假定Δt=1，得到式(18):

將式(12)代入式(18)得到:

式中Pcur為當(dāng)前位置空氣質(zhì)點(diǎn)的壓力數(shù)值，將式(19)左右兩邊同時(shí)除以，得到:

在風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法中，空氣質(zhì)點(diǎn)速度和位置的每一次迭代都會(huì)發(fā)生改變，來探索新的搜索空間.因此，速度變量可以表示為Δu=unew－ucur，其中ucur為當(dāng)前迭代中空氣質(zhì)點(diǎn)的速度，unew為下一次迭代中空氣質(zhì)點(diǎn)的速度.式(14)中，摩擦力的計(jì)算應(yīng)用的是當(dāng)前迭代速度值ucur，那么式(20)可以改寫為:

根據(jù)重力定義，在一維坐標(biāo)系［－1，1］范圍中(圖1a))表示空氣質(zhì)點(diǎn)的重力FG，則矢量g可以表示為g=|g|(0－xcur).

相似的由圖1b)，F(xiàn)PG方向?yàn)榭諝赓|(zhì)點(diǎn)從高壓區(qū)指向低壓區(qū)，即從當(dāng)前位置指向最優(yōu)壓力點(diǎn)，那么 －2P可以表示為－2P=|Popt－Pcur|(xoptxcur)，Pcur為空氣質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前位置的壓力值，Popt為種群中目前為止找到的最優(yōu)壓力值，xcur為當(dāng)前位置，xopt為最優(yōu)位置.式(21)中g(shù)和 －2P可以認(rèn)為是由矢量圖(圖1a)和b))表示的兩個(gè)矢量，并非物理定義的表達(dá)式，這樣做的目的是為了簡(jiǎn)化方程，將式(21)中g(shù)和－2P寫成標(biāo)量與方向乘積形式，那么可以改寫為:

圖1 一維坐標(biāo)系中重力和氣壓梯度力Fig.1 Illustration of the gravitational force and the pressure gradient force in a one dimensional coordinate system

由科氏力Fc定義可知，它代表在每一次迭代中，空氣質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前所在維度中的速度受其他任一維度的影響，這個(gè)速度用uoctuhrerdim來表示.文獻(xiàn)［2］為了簡(jiǎn)化方程定義設(shè)置了常數(shù)c=－2|Ω|RT，使得式(22)可以表示為:

文獻(xiàn)［2］中用式(23)作為速度更新方程，會(huì)因?yàn)橐雺毫χ?Pcur和Popt)而使更新后的速度變得非常大，從而降低WDO算法的可操作性.相對(duì)于式(23)中使用的真實(shí)壓力值，可以用i表示在所有空氣質(zhì)點(diǎn)中的一個(gè)降序排列，用來替換式子中的壓力值(Pcur和Popt)，而在xopt最優(yōu)位置時(shí)壓力值最小，可設(shè)為1，那么式(23)可以改寫為:

綜上所述，式(24)為最后改進(jìn)的速度更新方程，第一項(xiàng)表示在沒有其它力作用在空氣質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，摩擦力會(huì)使其速度在原路徑上減小.可以使用固定的摩擦系數(shù)α，也可根據(jù)具體問題選擇自適應(yīng)的摩擦系數(shù)α，實(shí)驗(yàn)證明α一般取［0.8，0.9］.第二項(xiàng)表示空氣質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置按常數(shù)g成比例向坐標(biāo)系中心靠近，實(shí)驗(yàn)證明其取值范圍為［0.6，0.7］.由于重力的存在，一定程度上避免了空氣質(zhì)點(diǎn)困在或跳出搜索邊界，提高了全局搜索能力，加快了收斂速度.第三項(xiàng)促使空氣質(zhì)點(diǎn)移向最大壓力點(diǎn)即全局最優(yōu)位置，一般系數(shù)RT在［1.0，2.0］范圍內(nèi).第四項(xiàng)模擬了科氏力，提供了其它維對(duì)當(dāng)前維內(nèi)空氣質(zhì)點(diǎn)速度的影響，增強(qiáng)了算法的魯棒性，一般認(rèn)為c取［0.05，3.6］.

1.2.2 位置更新方程

WDO算法是基于大氣中空氣質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的優(yōu)化方法，每一次迭代過程中都要更新空氣質(zhì)點(diǎn)的速度和位置.已知速度更新方程式(24)，不難得出位置更新方程如下:假設(shè)時(shí)間間隔為Δt=1.

對(duì)于每一維中的空氣質(zhì)點(diǎn)，其搜索位置范圍可以根據(jù)具體問題進(jìn)行設(shè)定，其更新速度也具有一定的范圍，可以簡(jiǎn)單將速度值大小作如下判斷:

式中umax為速度邊界值.

1.3 算法流程

為了描述方便清晰，表1列出了風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法中用到的各個(gè)術(shù)語.

表1 風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法相關(guān)術(shù)語及其描述Table 1 Terminologies used in the wind driven optimization algorithm and its descriptions

風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法的流程如下:

1)初始化群體規(guī)模，設(shè)置最大迭代次數(shù)，相關(guān)參數(shù)(α，g，RT，c)，搜索邊界以及定義壓力函數(shù)(即適值函數(shù));

2)隨機(jī)初始化空氣質(zhì)點(diǎn)，隨機(jī)分配起始速度和位置;

3)計(jì)算當(dāng)前迭代中空氣質(zhì)點(diǎn)的壓力值(適值)，并按照壓力值將種群重新排列;

4)通過式(24)更新空氣質(zhì)點(diǎn)的速度;

5)通過式(25)更新空氣質(zhì)點(diǎn)的位置;

6)若未達(dá)到終止條件，則轉(zhuǎn)3).

最后一次迭代過程中的壓力值被記為最優(yōu)結(jié)果.一般將終止條件設(shè)定為一個(gè)足夠好的壓力值(適應(yīng)值)或達(dá)到一個(gè)預(yù)設(shè)的最大迭代代數(shù).圖2為風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法流程.

圖2 風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法流程Fig.2 Flowchart of the wind driven optimization algorithm

2 算法應(yīng)用

風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法是一種新型的全局優(yōu)化算法，具有較強(qiáng)的魯棒性，尋優(yōu)效率高，既可以解決離散優(yōu)化問題又可以解決連續(xù)優(yōu)化問題.

2.1 WDO算法在電磁學(xué)問題中的應(yīng)用

電磁優(yōu)化問題大多都是非線性、多極值和不可微的復(fù)雜問題，一般的優(yōu)化方法難以達(dá)到全局最優(yōu)［4］.WDO算法因具有較強(qiáng)的全局搜索能力，并且可以處理離散優(yōu)化問題，故可用于優(yōu)化設(shè)計(jì)電磁學(xué)中的問題，目前主要解決三大類問題:天線陣綜合問題，微帶天線設(shè)計(jì)問題以及吸波材料設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)［5］中WDO算法研究了線性天線陣綜合問題，并將WDO算法與粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)、綜合學(xué)習(xí)粒子群算法(comprehensive learning POS，CLPSO)作了比較，實(shí)驗(yàn)證明WDO算法的優(yōu)化效果優(yōu)于PSO算法和較復(fù)雜的CLPSO算法，更加證實(shí)了WDO算法的簡(jiǎn)單易行且高效的特性.文獻(xiàn)［6］中應(yīng)用WDO算法設(shè)計(jì)了兩種微帶天線，分別是E形微帶貼片天線和加載短截線的倒F天線［7］.兩個(gè)應(yīng)用都證明了WDO算法針對(duì)設(shè)計(jì)和解決復(fù)雜的電磁學(xué)問題是一種高效的優(yōu)化工具.在吸波材料設(shè)計(jì)問題上，文獻(xiàn)［2，5，8］應(yīng)用WDO算法設(shè)計(jì)了用于WiFi使用的復(fù)雜的雙面人工磁導(dǎo)體表面材料(double-sided artificial magnetic conducting，DSAMC)，并與應(yīng)用遺傳算法(genetic algorthm，GA)算法設(shè)計(jì)的DSAMC作了比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果突出了WDO算法在電磁優(yōu)化問題上的優(yōu)越性，證明了WDO算法可以很好的解決離散優(yōu)化問題.

2.2 WDO算法在圖像處理問題中的應(yīng)用

在圖像處理方面，WDO算法也表現(xiàn)出了其強(qiáng)大的計(jì)算能力以及高效尋優(yōu)的特性.圖像分割技術(shù)是將圖像分割成具有相似特性區(qū)域的過程，它是圖像分析應(yīng)用于模式識(shí)別和目標(biāo)檢測(cè)的領(lǐng)域中的一個(gè)重要步驟［9］.在衛(wèi)星圖像分割問題中，由于衛(wèi)星圖像的數(shù)據(jù)量大、特征信息豐富、背景復(fù)雜，使得精確分割衛(wèi)星遙感圖像是一項(xiàng)極具有挑戰(zhàn)的任務(wù).若想高效準(zhǔn)確的找出圖像分割合適的閾值就不得不進(jìn)行大量的計(jì)算，而傳統(tǒng)的優(yōu)化方法表現(xiàn)出了局限性.文獻(xiàn)［10］應(yīng)用WDO算法基于卡普爾熵尋找衛(wèi)星圖像分割中的多層次閾值，實(shí)驗(yàn)證明WDO算法對(duì)于解決多層次閾值優(yōu)化問題是十分合適且高效準(zhǔn)確的，為WDO算法在圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用提出了一些方向，比如衛(wèi)星圖像增強(qiáng)，衛(wèi)星圖像分類以及其他衛(wèi)星圖像應(yīng)用等.

2.3 WDO算法在其他問題中的應(yīng)用

云計(jì)算是并行計(jì)算、分布式計(jì)算和虛擬技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，是當(dāng)前計(jì)算機(jī)行業(yè)的技術(shù)熱點(diǎn)，任務(wù)調(diào)度是云計(jì)算的核心技術(shù)之一，對(duì)云計(jì)算系統(tǒng)整體性能影響很大［11］.文獻(xiàn)［12］基于微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和WDO算法對(duì)云資源調(diào)度分配方案進(jìn)行了設(shè)計(jì)，其應(yīng)用WDO算法與GA算法結(jié)合法對(duì)云資源分配進(jìn)行優(yōu)化，在每一次迭代中，選擇出最優(yōu)個(gè)體，其余候選解依據(jù)Metropolis準(zhǔn)則進(jìn)行交叉、高斯變異操作，最后將進(jìn)行過GA操作的候選解與最優(yōu)個(gè)體整合得到當(dāng)前迭代結(jié)果.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，WDO算法的全局搜索能力較強(qiáng).

3 總結(jié)與展望

風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法是一種新近提出的全局群智能優(yōu)化算法，該算法具有簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、搜索效率高、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，文中對(duì)算法物理原理以及算法基本原理做出了詳盡的介紹，并將近幾年來國內(nèi)外對(duì)該算法的應(yīng)用研究進(jìn)行了細(xì)致闡述.

目前該算法研究正處于起步和發(fā)展階段，隨著研究的深入，WDO算法必將在理論和實(shí)踐應(yīng)用上取得新的突破，現(xiàn)對(duì)其未來研究提出幾點(diǎn)展望:

在算法理論研究方面:①算法的收斂性研究.對(duì)于任何優(yōu)化算法，收斂性都是一個(gè)基本的研究問題，目前風(fēng)驅(qū)動(dòng)算法還缺少收斂性的理論研究.②算法關(guān)鍵參數(shù)的研究.目前算法參數(shù)的選擇大多依據(jù)經(jīng)驗(yàn)值選取，一些論文中給出了參數(shù)的選取范圍，但針對(duì)不同問題，參數(shù)選取的不合適，則會(huì)大大影響尋優(yōu)結(jié)果.如何根據(jù)具體問題，自適應(yīng)地選取這些關(guān)鍵參數(shù)將是一個(gè)值得深入研究的內(nèi)容.③算法與其他算法或技術(shù)的結(jié)合.為了不斷完善風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法的性能，增強(qiáng)其對(duì)不同問題研究的針對(duì)性，可以將其與成熟的智能優(yōu)化算法或技術(shù)相結(jié)合，增強(qiáng)算法的尋優(yōu)效率，同時(shí)也推進(jìn)了對(duì)風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法的研究.

在算法實(shí)踐應(yīng)用研究方面:開辟風(fēng)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法新的應(yīng)用領(lǐng)域.與其他算法一樣，應(yīng)用是檢驗(yàn)算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，是算法研究的價(jià)值體現(xiàn).雖然WDO算法在電磁學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但其在更豐富的工程應(yīng)用中還未取得和其他智能算法一樣的地位，研究該方法更廣泛的實(shí)際應(yīng)用將有著十分重要的意義.

References)

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