氣體稀薄效應對微機電系統(MEMS)氣體軸承-轉子系統不平衡響應的影響

楊琴,劉宇陸,張海軍,祝長生

(1.上海大學應用數學與力學研究所, 200072, 上海;2.嘉興學院數理與信息工程學院, 314001, 浙江嘉興;3.嘉興學院機電工程學院, 314001, 浙江嘉興;4.浙江大學電氣工程學院, 310027, 杭州)

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氣體稀薄效應對微機電系統(MEMS)氣體軸承-轉子系統不平衡響應的影響

楊琴1,2,劉宇陸1,張海軍3,祝長生4

(1.上海大學應用數學與力學研究所, 200072, 上海;2.嘉興學院數理與信息工程學院, 314001, 浙江嘉興;3.嘉興學院機電工程學院, 314001, 浙江嘉興;4.浙江大學電氣工程學院, 310027, 杭州)

為研究氣體稀薄效應對微機電系統(MEMS)氣體軸承-轉子系統不平衡響應的影響,給出了MEMS氣體軸承-轉子系統運動方程和MEMS氣體軸承的雷諾方程;利用雙向隱式差分算法,給出了修正雷諾方程的詳細數值求解過程;將轉子運動方程與雷諾方程相結合,采用4階龍格-庫塔方法計算分析了氣體稀薄效應對氣體軸承-轉子系統不平衡響應的影響。研究結果顯示,考慮氣體稀薄效應后,當質量偏心距較大時,MEMS氣體軸承-轉子系統的失穩軸頸轉速較大,表明合適的偏心質量有助于改善系統的穩定性;在相同的質量偏心距下,考慮氣體稀薄效應時氣體軸承-轉子系統在較低軸頸轉速處出現峰值,表明此時不平衡偏心質量對氣體軸承-轉子系統運動的影響增大。

微機電系統;氣體軸承-轉子系統;不平衡響應;稀薄效應;雙向隱式差分算法

作為新興的研究領域,動力微機電系統(MEMS)具有體積小、重量輕、能量密度高的優點[1],近年來受到了國內外研究者的廣泛關注[2]。基于MEMS加工工藝的動力MEMS由5層圓晶片裝配而成,依靠外部壓力氣源驅動,其結構如圖1所示。氣體軸承-轉子系統是動力MEMS的核心部件,因此對其進行動力特性的研究具有重要的應用前景。

圖1 動力MEMS的結構

美國的麻省理工學院集中了大量的人力和物力,針對微氣體軸承-轉子系統進行了理論和試驗研究,分析了微氣體軸承-轉子系統的動力特性,但是在理論分析中沒有考慮氣體稀薄效應[3-6]。在稀薄氣體動力學中,氣體稀薄效應是指氣流在壁面發生速度滑移、溫度躍變和有效黏度變化等現象。本文主要考慮壁面速度滑移因素。基于一階速度滑移邊界,Lee等考慮了溫度的影響,分析了微氣體軸承的剛度和阻尼特性[7]。基于二階速度滑移邊界修正的雷諾方程,張文明等研究了微氣體軸承-轉子系統的穩態性能和穩定性,結果表明滑移邊界可以提高MEMS軸承-轉子系統的穩定性[8-9]。基于Fukui氣體潤滑模型,張小青等分析了微氣體螺旋槽推力軸承-轉子系統的非線性動力特性,結果表明考慮氣體稀薄效應能夠提高微軸承-轉子系統的穩定性[10-12],這與張文明等得出的結論是一致的。針對一階滑移邊界修正的雷諾方程,張海軍等采用有限差分法求解,分析了微氣體軸承-轉子系統動力特性的氣體稀薄效應,表明氣體稀薄效應對轉子系統動力特性有較大影響[13-14]。

盡管國內外對MEMS氣體軸承-轉子系統進行了較多研究,但微尺度下其不平衡響應的氣體稀薄效應還未見報道。為此,本文首先給出了MEMS氣體軸承-轉子系統的運動方程;然后針對MEMS氣體軸承的雷諾方程,采用雙向隱式差分算法,詳細給出了其數值求解過程;隨后將轉子運動方程與雷諾方程相結合,采用龍格-庫塔方法計算了MEMS氣體軸承-轉子系統的不平衡響應,分析了氣體稀薄效應對其不平衡響應的影響。

1 MEMS氣體軸承-轉子系統運動方程

(1)

式中:fx、fy為軸承氣膜承載力;fl為靜態平衡時的外加載荷(包含轉子自身的重量);em為轉子質量偏心距;ω為轉子角速度。為研究方便,假定φ=0°。

圖2 MEMS氣體軸承-轉子系統結構示意圖

(2)

其中R為軸頸(轉子)半徑,L為軸承的寬度,p為軸承氣膜壓力,pa為軸承外圍氣體壓力。

2 MEMS氣體軸承的雷諾方程

考慮氣體稀薄效應,基于一階速度滑移邊界,歸一化形式的微氣體軸承雷諾方程[8,18-19]為

(3)

下面求解方程(3)的邊界條件。

(2)對稱性條件:軸承氣膜壓力關于軸向中間斷面對稱,即P(θ,ζ)=P(θ,-ζ)。

(3)周期性條件:軸承氣膜壓力是周期函數,即P(θ,ζ)=P(θ+2π,ζ)。

由于方程(3)是二維非線性偏微分方程,難以用解析方法求解,故通常采用數值方法求解,如有限單元法、有限差分法等。由于有限差分法原理簡單,易于編程實現,應用較為廣泛,所以這里采用交替雙向隱式差分的方法求解。

令S=P2,方程(3)變為

(4)

式中

對時間相關導數項采用隱式差分格式離散

(5)

式中:S(n)表示時刻nτ的S,即S(nτ),假定為已求得的量;S(n+1)表示時刻nτ+τ的S,即S(nτ+τ),假定為待求的量。

將關于θ方向的二階偏導數項作為未知量,而其他的偏導數項作為已知量,則式(4)變為

(6)

式中

對式(6)中的偏導數項采用中心差分格式離散,并簡化整理,得

(7)

式中:i=1,2,…,N-1,其中N為θ方向的網格點數;j=1,2,…,M,其中M為ζ方向的網格點數;Ψ(n)作為已知量,有

令

則式(7)可寫成

(8)

由于在θ方向S(n)具有周期性,因此在θ方向i從1到N-1式(8)都成立。將式(8)寫成矩陣形式

(9)

式(9)為N-1維的線性代數方程組,其系數矩陣為周期三對角形式,可利用追趕法[20]求解。

最后,將關于ζ方向的二階偏導數項作為未知量,而其他的偏導數項作為已知量,有

(10)

式中

類似地,對方程(10)中的偏導數項采用中心差分格式離散并化簡,可得到M-2維的線性代數方程組,其系數矩陣為三對角形式,仍然采用追趕法求解。

這樣經2次差分計算,可求得動態雷諾方程(3)的某一時刻的數值解,進而得到氣體軸承的承載力,然后結合軸頸(轉子)的運動方程(2),采用4階龍格-庫塔方法,計算出軸頸中心的軌跡和速度等數據,用來分析氣體軸承-轉子系統的不平衡響應特性。

3 轉子系統不平衡響應分析

在進行轉子系統不平衡響應分析之前,為了驗證本文數值計算的有效性,選取美國麻省理工學院Piekos的計算結果[4]進行比較。計算中,選取轉子不平衡質量偏心距為0.1 μm,得到轉子運動軸心軌跡及其功率譜,如圖3所示。從圖3可以看出,兩者的分析結果是相似的,均表明轉子系統的運動為概周期運動形式,從而驗證了本文數值計算的有效性。

選取氣體軸承的參數如下:軸頸半徑R=2 mm,軸承長度L=0.4 mm,徑向平均間隙C=10 μm,偏心率ε=0.9,軸承外圍壓力為1.013×105Pa,氣體動力黏度為1.8×10-5N·s/m2。為了更清楚地分析MEMS氣體軸承-轉子系統的不平衡響應,與不考慮氣體稀薄效應(無速度滑移)的情形作對比。

轉子運動功率譜軸心軌跡(a)Piekos的數值計算結果[4]

轉子運動功率譜軸心軌跡(b)本文的數值計算結果圖3 轉子系統不平衡響應分析比較

取質量偏心距em為0.3、0.4、0.5和0.6μm,采用本文方法計算的MEMS氣體軸承-轉子系統的不平衡響應如圖4所示。由圖4可以看出:在不考慮氣體稀薄效應的情況下,當質量偏心距較小時,隨著質量偏心距的增大,轉子系統的失穩轉速增大;當質量偏心距為0.6μm時,轉子的失穩轉速降到了4×105r/min左右,表明合適的質量偏心有助于改善系統的穩定性,而過大的質量偏心會使系統在較低轉速時就發生失穩;在考慮氣體稀薄效應(速度滑移)的情況下,轉子系統的不平衡響應變得復雜,表現為轉速增加過程中出現了2個小的波峰,且波峰隨質量偏心距的增大而增大。

圖4 MEMS氣體軸承-轉子系統的不平衡響應

下面針對質量偏心距em=0.4 μm的情況,進一步分析MEMS氣體軸承-轉子系統的非線性動態特性。

圖5 波峰1處MEMS氣體軸承-轉子系統的軸心軌跡

圖6 波峰1處MEMS氣體軸承-轉子系統的時間歷程

圖7 波峰1處MEMS氣體軸承-轉子系統的功率譜

在圖4所示的波峰1處,軸頸轉速約為4.7×105r/min,MEMS氣體軸承-轉子系統的軸心軌跡、時間歷程和功率譜分別如圖5～圖7所示。從圖中可以看出:考慮氣體稀薄效應(速度滑移)時,軸心軌跡表現為柱狀渦動,功率譜除倍頻成分外,在倍頻附近仍有較大幅值的頻率成分;不考慮氣體稀薄效應(無速度滑移)時,軸心軌跡表現為穩定的渦動,功率譜主要表現為倍頻成分。

在波峰2處,軸頸轉速約為7.2×105r/min,MEMS氣體軸承-轉子系統的軸心軌跡、時間歷程和功率譜如圖8～圖10所示。從圖中可以看出:考慮氣體稀薄效應(速度滑移)時,軸心軌跡表現為“內8字”渦動,功率譜除倍頻成分外,在各倍頻中間仍有較大幅值的頻率成分;不考慮氣體稀薄效應(無速度滑移)時,軸心軌跡表現為穩定的渦動,功率譜主要表現為倍頻成分。

圖8 波峰2處MEMS氣體軸承-轉子系統的軸心軌跡

圖9 波峰2處MEMS氣體軸承-轉子系統的時間歷程

圖10 波峰2處MEMS氣體軸承-轉子系統的功率譜

4 結 論

受氣體稀薄效應的影響,MEMS氣體軸承-轉子系統的動態特性表現出不同的特征。本文采用雙向隱式差分算法求解修正雷諾方程,結合轉子運動方程,詳細地分析了氣體稀薄效應對MEMS氣體軸承-轉子系統不平衡響應的影響,結論如下:

(1)考慮氣體稀薄效應(速度滑移)時,轉子系統的失穩轉速增大,表明系統的穩定性得到了提高,同時在質量偏心距較大的情況下,轉子系統的失穩轉速也較高,表明合適的質量偏心有助于改善系統的穩定性,這與相關文獻的研究結論是一致的;

(2)在相同的質量偏心距下,考慮氣體稀薄效應(速度滑移)時轉子系統在較低轉速處不平衡響應出現了峰值,表明此時不平衡偏心質量對轉子系統運動的影響增大。

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(編輯 葛趙青)

Influence of Gas Rarefaction Effect on Unbalance Response of Micro-Electro-Mechanical (MEMS) Gas Bearing-Rotor System

YANG Qin1,2,LIU Yulu1,ZHANG Haijun3,ZHU Changsheng4

(1. Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;2. College of Mathematics Physics and Information Engineering, Jiaxing University, Jiaxing, Zhejiang 314001, China;3. College of Mechanical-Electrical Engineering, Jiaxing University, Jiaxing, Zhejiang 314001, China;4. College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

To investigate the influence of gas rarefaction effect on the unbalance response of micro-electro-mechanical system (MEMS) gas bearing-rotor system, the motion equation of the MEMS bearing-rotor system and the Reynolds equation of MEMS gas bearing are presented, and the process of solving the modified Reynolds equation using the alternating-direction implicit difference method is given. The motion equation of the rotor and the modified Reynolds equation are combined, and the influence of gas rarefaction effect on the unbalance response of MEMS gas bearing-rotor system is analyzed using the 4th-order Rounge-Kutta method. The study shows that the stability speed of the journal of MEMS rotor system is higher with larger mass eccentricity when the gas rarefaction effect is considered, therefore, a proper eccentric mass of the rotor could improve the stability of MEMS gas bearing-rotor system. With the same eccentric mass, the peak value of unbalance response of MEMS gas bearing-rotor system emerged at the lower rotational speed, which shows that the unbalanced eccentric mass would have much influence on the motion of MEMS rotor system when the gas rarefaction effect is taken into account.

micro-electro-mechanical system (MEMS); gas bearing-rotor system; unbalance response; rarefaction effect; alternating-direction implicit difference method

2014-10-27。

楊琴(1980—),女,博士生;張海軍(通信作者),男,副教授。

國家自然科學基金資助項目(11102071);教育部高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20070335184)。

時間:2015-04-29

10.7652/xjtuxb201507022

TH117.2

A

0253-987X(2015)07-0134-06

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150429.1437.006.html