采用代數建模方法的自適應觀測器設計

韓冬,劉俊

(清華大學自動化系, 100084, 北京)

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采用代數建模方法的自適應觀測器設計

韓冬,劉俊

(清華大學自動化系, 100084, 北京)

針對伴有未知輸入的一類線性時不變系統,當觀測器匹配條件不滿足時,研究了自適應觀測器的設計問題。通過將未知輸入劃分為匹配未知輸入和不匹配未知輸入兩部分,并假設不匹配未知輸入可以表述為一個動態系統,從而可得一個滿足匹配條件的增廣系統;對于該增廣系統討論了自適應觀測器的存在條件,給出了自適應觀測器的設計方法,這種自適應觀測器不僅可以觀測原系統的狀態,還可以重構、匹配未知輸入。將該設計方法應用于一類機器人系統,雖然系統未知輸入初值和觀測器重構的未知輸入初值相差很大,但是觀測器重構的未知輸入值能夠很快地跟蹤上系統實際的未知輸入值;雖然這是一種有界誤差跟蹤,但是誤差可以控制在很小的范圍內,并不影響實際應用。仿真結果表明,所提方法是有效的。

自適應觀測器;代數建模;增廣系統;未知輸入重構

自適應觀測器不僅可以跟蹤系統的狀態,還可以重構系統的未知輸入,因而受到廣泛的關注[1-3]。但是,文獻[1-3]中的自適應觀測器存在的充要條件之一是系統必須滿足未知輸入和可測輸出之間的秩條件(也稱為觀測器匹配條件),而許多實際系統無法滿足匹配條件。針對一類不滿足匹配條件的線性時不變系統,文獻[4]在文獻[3]工作的基礎上,通過設計輔助輸出使得匹配條件得以滿足。但是,輔助輸出是不可測的,所以只能先通過設計高階滑模微分器獲取輔助輸出的估計值,然后用這些估計值代替輔助輸出的真實值,這使得觀測器設計過程較為復雜。

對于一類不滿足匹配條件的線性時不變系統,本文給出了一種不同于文獻[4]的自適應觀測器的設計方法。首先,通過使用代數建模的方法,將未知輸入中不滿足匹配條件的部分表述為一個動態系統,從而得到一個包含原系統和未知輸入子系統的增廣系統,這樣的一個增廣系統是滿足匹配條件的;然后,證明了構建增廣系統并不會破壞設計自適應觀測器所需的其他充要條件;最后,針對該增廣系統,設計了自適應觀測器,用于狀態觀測和未知輸入重構。相比于文獻[1-3],當系統即使不滿足匹配條件時,本文所提方法依然可以設計自適應觀測器,用于觀測狀態和未知輸入重構;相比于文獻[4],本文所提自適應觀測器設計方法比較簡單、易于實現。但是,本文所提方法必須假設未知輸入中不滿足匹配條件的部分是確定的,且可以表述為自治動態系統的響應,這就需要對該部分故障有充分的了解,從而獲取其統計特性。

1 系統描述和問題陳述

考慮線性時不變系統

(1)

引理1[5]如果條件:①{A,E,C}的不變零點位于復平面的左半開平面;②rankE=rank(CE)(稱為觀測器匹配條件[6])成立,則對于某個正定陣Q∈Rn×n,存在矩陣L∈Rn×p、F∈Rq×p和正定陣P∈Rn×n使得

成立。

當式(1)滿足引理1中的條件時,根據文獻[3]可設計自適應觀測器,即

(2)

引理2[3]基于引理1中的條件,對給定的σ1,σ2>0,如果存在正定陣G∈Rq×q使得

成立(*為缺省值),則

(3)

使得ex(t)、ed(t)一致最終有界,式(3)中Γ>0是學習率。

當引理1中的任意一個條件無法滿足時,都無法設計式(2)、式(3)表示的自適應觀測器。當式(1)滿足引理1中的條件①,但是不滿足條件②時,受文獻[7-9]的啟發,基于文獻[4]輔助輸出的估計值,給出了自適應觀測器的設計方法,但獲得輔助輸出估計值的過程比較復雜。針對一類不滿足匹配條件的線性時不變系統,文獻[10-11]提出了降維和滑模觀測器的設計方法,解決匹配條件不滿足的主要手段是對不匹配未知輸入進行代數建模。雖然系統的未知輸入通常是不確定的,但是有一部分未知輸入可以根據統計特性獲知未知輸入的數學模型。

本文希望基于對部分未知輸入進行代數建模的方法,使得系統在滿足引理1的條件①,但是不滿足條件②的情況下,可以設計自適應觀測器,故作出如下假設。

假設1 系統滿足引理1中的條件①,但rank(E)≠rank(CE)。

2 自適應觀測器的設計

式(1)可以描述為

(4)

為了處理部分未知輸入d2(t),作如下假設。

假設2 未知輸入d2(t)可以表述為自治動態系統的響應。

基于假設2,使用文獻[12]中的代數建模方法,通過選擇合適的矩陣D∈Rδ×δ和H∈R(q-q1)×δ,可得

(5)

由式(4)、式(5)可得

(6)

引理3[10]系統{A,E,C}、系統{Aa,Ea,Ca}的不變零點相同。

不難驗證rank(Ea)=rank(CaEa)=q1成立,所以式(6)所示增廣系統滿足觀測器匹配條件。由引理3可以看出,構建增廣系統并不改變原系統的不變零點的位置。

引理3表明,當假設1成立時,{Aa,Ea,Ca}的不變零點依然位于復平面的左半開平面。由引理1可得以下定理。

定理1 基于假設1、假設2,對于某些正定陣Qa∈R(n+δ)×(n+δ),存在La∈R(n+δ)×p、Fa∈Rq1×p以及正定陣Pa∈R(n+δ)×(n+δ),使得

(7)

成立。

針對增廣系統設計的自適應觀測器為

(8)

由式(6)、式(8)可得

(9)

由引理2可以給出定理2。

定理2 基于假設1、2,對給定的θ1、θ2>0,如果存在正定陣Ga,使得

成立,則

(10)

使得exa(t)、ed1(t)一致最終有界。

根據定理2,重構匹配的未知輸入為

(11)

雖然式(8)～式(10)所示的自適應觀測器和式(2)、式(3)所示的自適應觀測器在形式上相同,但是式(8)～式(10)所示的自適應觀測器可以處理一些不滿足匹配條件的系統,而式(2)、式(3)所示的自適應觀測器只能處理滿足匹配條件的系統。

當式(1)不滿足匹配條件時,文獻[4]提出了基于輔助輸出的自適應觀測器的設計方法。該方法可以避開匹配條件的限制,但是為了獲取輔助輸出的估計值,需要設計高階滑模微分器,使得設計過程比較復雜,并且高階滑模微分器的每一層都容易受到輸出噪聲的干擾。本文所提的基于代數建模的自適應觀測器設計方法雖然必須對部分未知輸入具有先驗知識,但是方法簡單,且易于實現。

3 仿 真

將所提的自適應觀測器設計方法用于一個由直流電機驅動的一個機械手鏈接環節的模型[10]

容易驗證rank(CE)≠rank(E),如此以來,文獻[3]中的自適應觀測器設計方法將不再適用。當部分未知輸入d2(t)是正弦信號sin(x2)時,可將故障矩陣E分解為E1和E2

使用線性矩陣不等式工具箱,可得

圖1給出了匹配未知輸入d1及其重構值。從仿真結果可以看出:雖然系統未知輸入初值和觀測器重構的未知輸入初值相差很大,但是觀測器重構的未知輸入值能夠很快地跟蹤上系統實際的未知輸入值;雖然是有界誤差跟蹤,但是誤差可以控制在很小的范圍內,并不影響實際應用。由此可見,本文所提的基于代數建模方法的自適應觀測器可以很好地重構部分未知輸入信號。

圖1 未知輸入d1(t)及其重構值

4 結 論

本文針對一類伴有未知輸入的線性時不變系統,探討了在觀測器匹配條件不滿足的情況下自適應觀測器的設計問題。通過對部分未知輸入進行代數建模,可以得到一類滿足匹配條件的增廣系統,并證明了在一定的條件下可以對該增廣系統設計自適應觀測器。仿真結果可以看出,本文所提的方法是有效的。

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(編輯 趙煒)

Adaptive Observer Design Based on an Algebraic Modelling Approach

HAN Dong,LIU Jun

(Department of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

This paper studies the problem of designing adaptive observers for linear time-invariant systems with unknown inputs when the observer matching condition is not satisfied. The unknown inputs are divided into two parts: one is matched and the other is mismatched. Under the assumption that the mismatched unknown inputs are deterministic and can be expressed as the response of a fictitious autonomous system, an augmented system consisting of the original system and the mismatched unknown inputs dynamical system is constructed so that the observer matching condition can be satisfied. For the augmented system, the procedure to design this adaptive observer is given, and it is able to not only observe the state of original system but also reconstruct the matched unknown inputs. Such adaptive observer is applied to a kind of robot system and the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

adaptive observer; algebraic modelling; augmented system; unknown inputs reconstruction

2014-11-24。作者簡介:韓冬(1975—),男,博士,助理研究員。基金項目:國家自然科學基金資助項目(61203230)。

10.7652/xjtuxb201507015

TP13

A

0253-987X(2015)07-0088-04