混合分數布朗運動環境下的冪型亞式期權定價

沈明軒

（安徽工程大學數理學院，安徽 蕪湖241000）

0 引言

期權是一種選擇權，它賦予持有者將來以事先約定的價格購買或出售某種資產的權利.自從1973年Black和Scholes提出著名的B－S期權定價公式以來，期權定價就成為研究熱點之一.同時由于新型期權的不斷出現，對奇異期權的定價成為很多學者研究的對象.亞式期權是一種奇異期權，它是一種到期收益依賴于資產在期權有效期所經歷的價格的算術平均或幾何平均的期權.很多學者在股票價格遵循幾何布朗運動的假設下對亞式期權的定價給予討論［1－2］.但實證研究表明，金融資產價格過程具有自相似性以及長期記憶性等分形特性，而分數布朗運動恰好具有這些性質，因此大批學者采用分數布朗運動所驅動的定價模型研究資產定價［3－5］，文獻［6－7］就考慮了基于分數布朗運動驅動下的亞式期權定價問題.隨著對分數布朗運動理論的深入研究，文獻［8］給出了混合分數布朗運動的相關性質，文獻［9］則在混合分數布朗運動環境下討論了歐式期權的定價.關于亞式期權的定價問題也有許多學者在不同模型下進行研究，如鄭秋紅等在更新過程下研究了亞式期權的定價問題［10］.本文則考慮股票價格服從混合分數布朗驅動下的冪型亞式期權的定價問題，在此定價模型下價格將更符合期權的真實價格，從而給投資者更好的參考價格，有利于投資者在投資中做出正確的決策.

1 模型及假設

分數布朗運動是一種具有自相似性和長期依賴性的連續高斯過程.混合分數布朗運動是由一個布朗運動W（t）與一個分數布朗運動BH（t）的線性組合構成，即Z（t）＝σ1BH（t）＋σ2W（t），其中σ2為任意實數.P.Cheridito證明了在分數布朗運動和布朗運動相互獨立的情況下，當時，σ1BH（t）＋σ2W（t）不是一個半鞅，當時，σ1BH（t）＋σ2W（t）等價于σ2W（t），C.Bender則證明了這個過程在正則策略中是無套利的［11］.本文基于這種策略，并恒假設

設BH（t）是概率空間（ΩH，FH，PH）上參數為H 的分數布朗運動，FHt＝σ（BH（s）：0≤s≤t），W（t）是概率空間（ΩW，FW，PW）上的布朗運動，FWt＝σ（W（s）：0≤s≤t），這里假設BH（t）與W（t）相互獨立.設概率空間（Ω，F，P）＝（ΩH?ΩW，FH?FW，PH?PW）是完備的.假設市場上只有兩種資產，其中一種是無風險資產，價格滿足微分方程

這里r為常數，表示無風險利率.

另一種是風險資產，價格滿足微分方程：

其中σ1，σ2是不為0的常數，且σ2＞0.

在風險中性下有

引理1 隨機微分方程（2）的解為

特別有

引理2［10－11］任意有界的關于FT可測函數的未定權益G∈L2（μ），在t∈［0，T］時刻的價格為

2 混合分數布朗下的冪型亞式期權定價

冪型幾何平均亞式期權其支付函數是股票價格幾何平均的k次冪與執行價格的差，設幾何平均亞式期權執行價格為K，到期日為T，則冪型幾何平均亞式看漲期權的損益函數為相應的冪型幾何平均亞式看跌期權的損益函數為其中k 為事先確定的自然數.

定理1 若股票價格過程滿足方程（2），則具有執行價格為K，到期日為T 的冪型幾何平均亞式看漲期權在任意t∈［0，T］的價格為

其中：

證明 幾何平均亞式看漲期權損益為

令

則

其中：

則由方程（3）可知

令

由于（參見文獻［7］）

故

由等距公式（參見文獻［5－7］）可得

令X（t）＝kY（t）＋kZ（t），則X（t）～N（0，σ2）.這里

令

由引理2可得

注1 當t＝0，σ1＝0，k＝1時，定理1即為文獻［2］的結論.

定理2 若股票價格過程滿足方程（2），則具有執行價格為K，到期日為T 的冪型幾何平均亞式看跌期權，在任意時刻t∈［0，T］的價格為

這里d1，d2的定義如定理1.

推論1 當股票有紅利支付，并且紅利率q為常數時，執行價格為K，到期日為T 的冪型幾何平均亞式看漲期權，在任意時刻t∈［0，T］的價格為

這里

當k＝1時，推論1即為文獻［13］中定理3的結論.

推論2 當股票有紅利支付，并且紅利率q為時間t的可積函數，無風險利率為時間可積函數時，執行價格為K，到期日為T 的冪型幾何平均亞式看漲期權，在任意t∈［0，T］的價格為

其中：

注2 當σ2＝0，k＝1時，推論2即為文獻［7］的定理2.

3 結論

由于亞式期權是按預訂的某種平均計算期權，因此其價格較標準期權便宜，且不易受到人為的操縱，因此更能滿足某些投資者及公司的需求，這就使其成為較受歡迎的幾種新型期權之一.本文在假設股票價格受分數布朗運動和布朗運動共同驅動下，利用擬條件期望的方法得到了具有固定執行價格的冪型幾何平均亞式期權的定價公式，從定價公式可以看出，傳統的布朗運動下的幾何平均亞式期權是其一種特殊情形，從而推廣了傳統的亞式期權定價.本文考慮的是混合分數布朗運動過程驅動下具有固定執行價格的幾何平均亞式期權的定價問題，下一步可以考慮混合分數布朗運動驅動下具有浮動執行價格的幾何平均亞式期權的定價問題，從而解決混合分數布朗運動環境中的幾何平均亞式期權的定價問題.

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