Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間的有界性

周淑娟

（青島大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 青島266071）

Hardy空間的理論是調(diào)和分析的主要內(nèi)容.隨著對Hardy空間的原子和分子刻畫的研究，奇異積分算子在其上的有界性問題有了長足的發(fā)展.由于加權(quán)Hardy空間的原子和分子刻畫的出現(xiàn)，使得對奇異積分算子在加權(quán)Hardy空間上有界性的討論有了更簡潔的方法［1－5］.

文獻(xiàn)［6］定義了高維的Marcinkiewicz積分算子μΩ，并證明了若Ω 滿足球面Sn－1上的Lipγ（0＜γ≤1）條件，那么算子μΩ 是弱（1，1）型和強(qiáng)（p，p）型的，1＜p＜2.文獻(xiàn)［7］得到若Ω 在Sn－1上是連續(xù)可微的，則算子μΩ 是（p，p）型（1＜p＜∞）的結(jié)論.文獻(xiàn)［8］證明了Ω∈H1（Sn－1）時(shí)，μΩ 在Lp（Rn）（1＜p＜∞）上有界.文獻(xiàn)［9］則得到了Marcinkiewicz積分算子μΩ 是從H1（Rn）到L1（Rn）和從H1，∞（Rn）到L1，∞（Rn）有界的結(jié)論.文獻(xiàn)［10］證明了Marcinkiewicz積分μΩ是（Hp，Lp）型和（Hp，∞，Lp，∞）型的算子（0＜p＜1）.文獻(xiàn)［11］研究了Marcinkiewicz積分算子的加權(quán)有界性.

基于以上的研究，本文討論了函數(shù)Ω∈Lipγ（Sn－1）時(shí)，Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間的有界性問題，借助于權(quán)函數(shù)的性質(zhì)及不等式估計(jì)，證明了Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間上是有界的.

1 基本知識和理論

記Sn－1為Rn上的單位球面，其標(biāo)準(zhǔn)Lebesgue測度為dσ，設(shè)Ω 為Rn上的零次齊次函數(shù)，滿足Ω∈L1（Sn－1），且

Marcinkiewicz積分算子μΩ 定義為

其中

稱Ω 滿足Lipγ（0＜γ≤1）條件，是指存在常數(shù)C＞0，對任意的x′，y′∈Sn－1有

Ap（1≤p＜∞）權(quán)函數(shù)的定義參見文獻(xiàn)［12－13］用Lpω（Rn）表 示空 間Lp（Rn，ω（x）dx），且

定義1［1］設(shè)ω∈A∞（Rn），且0＜p≤1.加權(quán)Hardy空間Hpω（Rn）定義為Hpω（Rn）＝｛f∈S′（Rn）；其中φ∈S（Rn）為固定函數(shù)且t＞0.進(jìn)一步定義‖f‖Hpω（Rn）＝‖φ＊（f）‖Lpω（Rn）.

定義2［1］設(shè)稱Lqω（Rn）中的函數(shù)a（x）是一個(gè)ω－（p，q，s）原子，如果滿足：

（1）supp a?Q，Q 是Rn上以x0為中心的方體；

（2）‖a‖Lqω（Rn）≤ω（Q）1／q－1／p；

定義3［3］設(shè)0＜p≤1≤q≤∞，p≠q，qω＝inf｛q≥1；ω∈Aq｝，rω≡｛r＞1：ω 滿足r 階反向H?lder不等式｝，s≥s0，ε＞max｛srω（rω－1）－1n－1＋（rω－1）－1，1／p－1｝，a1＝1－1／p＋ε，b＝1－1／q＋ε，s0＝稱Lqω（Rn）中的函數(shù)M 是一個(gè)中心x0的ω－（p，q，s，ε）分子，如果滿足：

加權(quán)Hardy空間的原子和分子分解如下：

引理1［1］令ω∈Aq，則每個(gè)ak（x）都是一個(gè)ω－（p，q，s）原子進(jìn)一步其中下確界取遍f 的所有分解.

引理2［3］令ω∈Aq，則每個(gè)Mk（x）都是一個(gè)ω－（p，q，s，ε）原 子進(jìn)一步其中下確界取遍f 的所有分解.

引理3［11］設(shè)1＜q＜∞，μΩ是Marcinkiewicz積分算子，則μΩ是Lq上的加權(quán)有界算子.

2 結(jié)論及其證明

本文的主要結(jié)果如下：

證明 只需證明，存在常數(shù)C＞0，使得對每一個(gè)ω－（p，2，s）原子a（x），μΩ 是一個(gè)中心ω －（p，2，s，ε）分子即可.由題設(shè)可知消失距條件成立，下面驗(yàn)證大小條件.

首先，由引理3，即μΩ的L2ω有界性，以及原子的大小條件知

對于另一部分，有

對于I1，同樣由μΩ 的L2ω有界性及原子的大小條件得

再估計(jì)I2.

對于I21，因 為 當(dāng)x∈（2Q）c，y∈Q 時(shí)，有注意到當(dāng)0＜γ≤1 時(shí)，Lipγ（Sn－1）?L∞（Sn－1），由Jensen不等式，以及a（y）的大小條件有

對于I22，因?yàn)棣福▁）滿足Lipschitz條件，并且0＜γ≤1，所以有

從而，利用a（y）的消失距等條件，有

這就證明了

又因?yàn)?/p>

所以

定理得證.

［1］LI X M，PENG L Z.A weighted Hardy space and weighted norm inequalities for the area integral［J］.Acta Math Sinica：Chin Ser，1997，40：351－356.

［2］LI X M，PENG L Z.The molecular characterization of weighted Hardy spaces［J］.Sci China：Ser A，2001，44：201－211.

［3］LEE M Y，LIN C C.The molecular characterization of weighted Hardy spaces［J］.J Funct Anal，2002，188：442－460.

［4］QUEK TONGSENG，YANG DA－CHEN.Calderón－Zygmund－type operators on weighted weak Hardy spaces overRn［J］.Acta MathematicaSinica：English Series，2000，16（1）：141－160.

［5］趙凱，郝春燕，王磊.Marcinkiewicz積分在加權(quán)弱Hardy空間的有限性［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，33（5）：502－506.

［6］STEIN E M.On the function of Littlewood－Paley，Lusin and Marcinkieicz［J］.Trans Amer Math Soc，1958，88：430－466.

［7］BENEDEK A，CALDERóN A，PANZONE R.Convolution operators on Banach space valued functions［J］.Proc Nat Acad Sci USA，1962，48：356－365.

［8］DING YONG，F(xiàn)AN DA－SHAN，PAN YI－BIAO.Lp－boundedness of Marcinkewicz integral with Hardy space function kernel［J］.ActaMath Sinica：English Series，2000，16：593－600.

［9］DING YONG，LU SHAN－ZHEN，XUE QING－YING.Marcinkewicz integral on Hardy spaces［J］.Integr Equ Oper Theory，2002，42：174－182.

［10］丁勇，薛慶營.Hardy和弱Hardy上的Marcinkiewicz積分［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，37（3）：292－298.

［11］TORCHINSKY A，WANG S.A note on the Marcinldewicz integral［J］.Colloquium Mathe－maticum，1990，60／61：235－243.

［12］GARCíAS－CUERVA J，RUBIO DE FRANCIA J L.Weighted norm inequalities and related topics［M］.Amsterdam：North－Holland Math，1985：576－779.

［13］紀(jì)培勝，占小靜，劉榮榮.Banach代數(shù)上雙導(dǎo)子的Hyers－Ulam－Rassias穩(wěn)定性［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，45（4）：12－16.