一類(lèi)具有1∶－3共振奇點(diǎn)的復(fù)七次系統(tǒng)的可積性條件

桑 波

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城252059）

1 研究背景

當(dāng)線性孤立奇點(diǎn)是中心時(shí)，其非線性項(xiàng)的影響可使相圖是非退化中心，或穩(wěn)定焦點(diǎn)，或不穩(wěn)定焦點(diǎn)，這類(lèi)判定問(wèn)題稱(chēng)為中心焦點(diǎn)問(wèn)題.自1904年H.Dulac研究二次系統(tǒng)的中心判定以來(lái)，中心焦點(diǎn)問(wèn)題受到一些學(xué)者的廣泛關(guān)注.它對(duì)Arnold問(wèn)題、可積性問(wèn)題和Hilbert第16問(wèn)題后半部分的解決都具有重要意義.N.N.Bautin完整解決了二次系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判定問(wèn)題；K.S.Sibirskii解決了缺少二次項(xiàng)的三次系統(tǒng)的中心判定問(wèn)題；A.P.Sadovskii和T.V.Shcheglova利用Cherkas方法解決了一類(lèi)可約化為L(zhǎng)iéard系統(tǒng)的三次系統(tǒng)的中心判定問(wèn)題［1］.但對(duì)于一般三次及三次以上系統(tǒng)，目前還沒(méi)有徹底的結(jié)論.

H.Zoladek將中心問(wèn)題推廣到具有p∶－q共振奇點(diǎn)的復(fù)多項(xiàng)式微分系統(tǒng)［2］

其中p，q∈N；（p，q）＝1；x，y，t∈C.而且

盡管對(duì)于p∶－q＝1∶－1，p∶－q＝1∶－2，p∶－q＝1∶－3，p∶－q＝2∶－3，p∶－q＝1∶－q等情形下的特殊多項(xiàng)式系統(tǒng)的可積性問(wèn)題，已有大量的研究成果［3－10］，但對(duì)于高次多項(xiàng)式系統(tǒng)的可積性問(wèn)題，仍需作進(jìn)一步的研究.

對(duì)于系統(tǒng)（1），由文獻(xiàn)［11］，可逐項(xiàng)確定形式冪級(jí)數(shù)

使得

其中Wn稱(chēng)為系統(tǒng)（1）在原點(diǎn)的第n階廣義奇點(diǎn)量，其計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)［12］.

引理1［13］系統(tǒng)（1）在原點(diǎn)可積的充要條件是該系統(tǒng)存在如（2）式的形式首次積分.

2 主要結(jié)果及其證明

考慮一類(lèi)以原點(diǎn)為1∶－3共振奇點(diǎn)的復(fù)七次系統(tǒng)

通過(guò)計(jì)算，我們得到系統(tǒng)的前9階廣義奇點(diǎn)量W1，W2，…，W9.其中：

定理1 系統(tǒng)（4）在原點(diǎn)可積的充要條件是下列八組條件之一成立：

證明 必要性只需在次數(shù)反字典序tdeg （a3，b3，a2，b2，a1，b1）下，計(jì)算前9 階廣義奇 點(diǎn)量的Gr?bner基［14］

然后使用無(wú)特征集法對(duì)多項(xiàng)式組G 進(jìn)行完全零點(diǎn)分解，便得到定理中的8組系數(shù)條件.

充分性 條件（1）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）化為

當(dāng)vn－6（x），vn－3（x）取定時(shí)，上述遞推公式是關(guān)于未知函數(shù)vn（y）的一階線性方程.令v－5（x）＝v－4（x）＝…＝v0（x）＝0，通過(guò)逐項(xiàng)求解，我們依次得到

然后通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法和遞推公式，不難證明vn（x）是次數(shù)為3n 的多項(xiàng)式.因此系統(tǒng)（5）具有形式首次積分，由引理1，系統(tǒng)是可積的.

當(dāng)條件（2）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（3）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

令v－5（x）＝v－4（x）＝…＝v0（x）＝0，通過(guò)逐項(xiàng)求解，我們依次得到

當(dāng)條件（4）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（5）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（6）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（7）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（8）成立時(shí)，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

［1］SADOVSKII A P，SHCHEGLOVA T V.Solutions of the center focus problem for a nine－parameter cubic system［J］.Differential Equations，2011，47（2）：208－223.

［3］ROMANOVSKI V G，SHCHEGLOVA N L.The integrability conditions for two cubic vector fields［J］.Differential Equations，2000，36（1）：108－112.

［4］FERˇCEC B，GINéJ，LIU Y R，et al.Integrability conditions for Lotka－Volterra planar complex quartic systems having homogeneous nonlinearities［J］.Acta Appl Math，2013，124（1）：107－122.

［5］GINéJ，ROMANOVSKI V G.Integrability conditions for Lotka－Volterra planar complex quintic systems［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（3）：2100－2105.

［6］FERˇCEC B，CHEN X W，ROMANOVSKI V G.Integrability conditions for complex systems with homogeneous quintic nonlinearities［J］.Journal of Applied Analysis and Computation，2011，1（1）：9－20.

［7］LIU C J，CHEN G T，CHEN G R.Integrability of Lotka－Volterra type systems of degree 4［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，388（2）：1107－1116.

［8］GINéJ，CHRISTOPHER C，PRESERN M，et al.The resonant center problem for a 2∶－3resonant cubic Lotka－Volterra system［C］.Maribor：CASC，2012：129－142.

［9］CHEN X W，GINéJ，ROMANOVSKI V G，et al.The 1∶－qresonant center problem for certain cubic Lotka－Volterra systems［J］.Applied Mathematics and Computation，2012，218（23）：11620－11633.

［10］HU Z P，ROMANOVSKI V G，SHAFER D S.1∶－3resonant centers on C2with homogeneous cubic nonlinearities［J］.Computers and Mathematics with Applications，2008，56（8）：1927－1940.

［11］劉一戎，李繼彬.平面向量場(chǎng)的若干經(jīng)典問(wèn)題［M］.北京：科學(xué)出版社，2010：10－113.

［12］SANG B.Center problem for a class of degenerate quartic systems［J］.Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2014，74：1－17.

［13］MATTEI J F，MOUSSU R.Holonomie et intégrates premières［J］.Ann Sci Ecole Normale Superieure，1980，13（4）：469－523.

［14］劉木蘭.Gr?bner基理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2000：97－112.