3維Minkowski空間中的特殊直紋面

劉作棟，姜淼鑫，陳 亮

（東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春130024）

直紋面是由一條直線連續移動所形成的特殊曲面，因其在物理學、運動學中的重要應用而引起眾多幾何學家和物理學家的興趣.如：文獻［1］研究了歐氏空間中由特殊曲線生成的直紋面；文獻［2］對于Minkowski空間中的直紋面進行細致的分類；裴東河等人則從奇點理論的角度對3維Minkowski空間中由特殊曲線及非類光曲線生成的可展曲面的性質進行了研究［3－4］.

本文主要研究3維Minkowski空間中以非類光曲線為導線，以該曲線的修正達布向量為母線的直紋面的微分幾何性質.文中所涉及的曲線和映射都是C∞的.

1 三維Minkowski空間中的基本概念

稱具有偽度量ds2＝dx2＋dy2－dz2的三維向量空間為三維Minkowski空間或者三維偽歐氏空間，記為M31.設

是M31中的兩個向量，分別定義它們的偽內積和偽外積為

分別稱M31中的非零向量α＝（x，y，z）為類空向量、類光向量或類時向量，如果〈α，α〉＞0，〈α，α〉＝0或〈α，α〉＜0.其中類空向量和類時向量統稱為非類光向量.對于M31中的非類光向量α＝（x，y，z），定義向量α 的范數為

其中

若‖α‖＝1，則稱α 為單位向量.

設γ：I→M31，γ（t）＝（x（t），y（t），z（t））是M31中的正則曲線，其中I是一個開區間.對任意的t∈I，如果曲線γ 的切向量為類空向量、類光向量或類時向量，則分別稱曲線γ 為類空曲線、類光曲線或類時曲線，類空曲線和類時曲線統稱為非類光曲線.

對于M31中的非類光曲線γ，引進弧長參數

則

記t（s）＝γ′（s）為γ 在點s處的切向量，記曲線γ 在點s處的曲率函數為

特別的，當ω（γ）＝1，ε＝1時，曲線γ 為第一類空曲線；當ω（γ）＝1，ε＝－1時，曲線γ 為第二類空曲線；當ω（γ）＝－1，ε＝－1時，曲線γ 為類時曲線.

定義1.1［5］設t（s）是非類光曲線γ：I→M31的切向量，α 是一固定的向量，若〈t（s），α〉等于一常數，我們則稱γ 為Minkowski空間中的一般螺線.特別的，M31中的曲線γ 為一般螺線，如果τ／κ為常數；γ為圓柱螺線，如果κ，τ分別都是常數.

定義1.2 對于M31中的非類光曲線γ，稱D（s）＝－（τ／κ）（s）t（s）＋ω（γ）b（s）為γ 的修正達布向量.

三維Minkowski空間中的直紋面記為r（s，v）＝α（s）＋vβ（s），稱α（s）為直紋面的導線，β（s）為直紋面的母線.特別的，如果β（s）是常向量，則稱直紋面為柱面；如果α（s）是常向量，則稱直紋面為錐面.直紋面兩條相鄰母線的公垂線的垂足極限點稱為腰點，腰點的軌跡稱為腰線.一般腰線的參數表達式為特別的，如果導線為腰線，則有〈α（s）′，β（s）′〉＝0.

定義1.3 設r（u，v）是3維Minkowski空間中的曲面，若ru×rv（u0，v0）＝0，則稱（u0，v0）為曲面r（u，v）的奇點.

定義1.4 設δ（s）為3維Minkowski空間中直紋面r（s，v）上的曲線，如果δ（s）′＝0，則稱δ（s）為該直紋面的奇線，奇線上的點稱為二階奇點.

如果（α′，β，β′）＝0，我們稱直紋面r（s，v）＝α（s）＋vβ（s）為可展曲面.與歐氏空間類似，3 維Minkowski空間中的可展曲面是柱面、錐面或切線曲面的一種［6］.

命題1.1［7］3維Minkowski空間中的曲面為可展曲面的充分必要條件是它的高斯曲率恒為零.

命題1.2［8］3維Minkowski空間中的曲面上的曲線為曲率線的充分必要條件是沿此曲線的曲面的法線組成一可展曲面.

2.主要結論及證明

設α（s）為3維Minkowski空間中的非類光曲線，D（s）是其修正達布向量，則以α 為導線，以D 為母線的直紋面為

其第一基本型為

其中：

其第二基本型為

其中：

則該直紋面的高斯曲率

即該直紋面為可展曲面.平均曲率

腰線

其中ω（α）＝sign（t（s））.

定理2.1 在M31中，設α（s）為非類光曲線，則下列結論成立：

（1）α 是直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）的測地線.

（2）α 是直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）的曲率線當且僅當α 的撓率τ＝0.

證明 （1）由測地線的定義，如果曲面上的曲線是測地線，那么該曲線上各點的主法線與曲面在該點處的法線相同.根據上述計算可知，直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）在導線α（s）上各點的法線與曲線的主法線重合，得證.

（2）如果曲面上的曲線是曲率線，由命題1.2可知，以該曲線為導線，以曲面沿著該曲線的單位法向量為母線方向的直紋面為可展曲面.又因為在直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）上，沿著α 的曲面的法向量和α 的主法向量n 是共線的，因此該可展曲面可寫為~r（s，v）＝α（s）＋vn.所以（α′（s），n，n′）＝0，因此τ＝0；反之顯然成立.

定理2.2 設α（s）是M31中的圓柱螺線，則直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）為極小曲面的充分必要條件是τ2＝－ω（α）κ2，其中ω（α）＝sign（t（s））.

證明 因為

又由于導線α（s）是圓柱螺線，根據定義1.1，則有τ，κ均為常數.因此，

為常數.若直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）為極小曲面，則有H＝0.經過計算可知，τ2＝－ω（α）κ2.反之，如果τ2＝－ω（α）κ2，則以圓柱螺線為導線的直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）的平均曲率為零，即為極小曲面.

定理2.3 在M31中，設α（s）為非類光曲線，則（s，v）為直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）的二階奇點的充要條件是其中a，b為常數.

證明 根據定義1.3，如果（s0，v0）為直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）的奇點，則

不妨取導線α 為類空曲線，根據Frenet－serret型公式有［1－v0（τ／κ）′（s0）］n（s0）＝0.而該方程有解的充要條件是（τ／κ）′（s0）≠0，v0＝［（τ／κ）′（s0）］－1，即直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）的奇線方程為δ（s）＝α（s）＋［（τ／κ）′（s0）］－1D（s）.

令δ（s）′＝0，則

當導線α 為類時曲線時有相同的結論.

定理2.4 在M31中，設α（s）為非類光曲線，r（s，v）＝α（s）＋vD（s）是以α（s）為導線，以α（s）的修正達布向量D（s）為母線的直紋面，則下列條件等價：

（1）直紋面r（s，v）是一個正則曲面；

（2）非類光曲線α（s）是一般螺線；

（3）直紋面r（s，v）是柱面.

證明 （1）?（2）.由定理2.3，直紋面為正則曲面當且僅當對任意的s，（τ／κ）′（s）＝0，即非類光曲線α（s）是一般螺線.

（2）?（3）.非類光曲線α（s）是一般螺線，有（τ／κ）′（s0）＝0，即（τ／κ）（s0）為常數，因此D（s）是常向量，所以直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）為柱面.

（3）?（1）.直紋面r（s，v）＝α（s）＋vD（s）是柱面當且僅當D（s）為常向量，即（τ／κ）＝常數，因此（τ／κ）′（s0）＝0，所以直紋面r（s，v）為正則曲面.

注2.1 文獻［9］中的命題1是上述定理2.4的特殊形式.

［1］ALI AT，ABDEL AZIZ HS，SOROUR AH.Ruled surface generated by some special curves in Euclidean 3－space［J］.Journal of the Egyptian Mathematical Society，2013，21（3）：285－294.

［2］KIM YH，YOON WD.Classfication of ruled surfaces in Minkowski space［J］.J Geom Phys，2004，49（1）：89－100.

［3］王志剛，呂永震，裴東河，等.三維Minkowski空間中的特殊曲線和可展曲面［J］.東北師大學報：自然科學版，2008，40（2）：1－6.

［4］姜揚，裴東河.三維Minkowski空間中非類光曲線的從切可展曲面的奇點分類［J］.東北師大學報：自然科學版，2007，39（1）：22－27.

［5］趙廣宇.三維Minkowski空間中一般螺線的幾何性質［D］.長春：東北師范大學，2006.

［6］劉錦蘭.三維Minkowski空間中非可展直紋面的分類［D］.大連：大連理工大學，2008.

［7］DILLEN F，KUHNEL W.Ruled weingarten surfaces in Minkowski 3－space［J］.Manuscripta Math，1999，98（3）：307－320.

［8］李麗.關于三維Minkowski空間中直線匯與焦曲面的對應關系［D］.大連：大連理工大學，2005.

［9］ALPER OSMAN，HANDAN B，MAHMUT E.On the ruled surface in Minkowski 3－space［J］.Journal of Zhejiang University Science A，2006，7（3）：326－329.