僅據(jù)平衡位置為系統(tǒng)彈性勢能零點(diǎn)就能使振子勢能為kx2/2嗎？

陳奎孚蔡　春

(1中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京　100083；2北京聯(lián)合大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院，北京　100191)

僅據(jù)平衡位置為系統(tǒng)彈性勢能零點(diǎn)就能使振子勢能為kx2/2嗎？

陳奎孚1蔡春2

(1中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京100083；2北京聯(lián)合大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院，北京100191)

摘要為了解題方便，振子勢能的kx2/2形式往往被過分地強(qiáng)調(diào)．筆者對這種簡潔式的隱含條件進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典說法是“以平衡位置作為系統(tǒng)勢能零點(diǎn)”，應(yīng)修改為“平衡位置點(diǎn)、系統(tǒng)勢能零點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)重合”．文章系統(tǒng)論證了“三點(diǎn)重合”提法的合理性和普適性，通過示例展示了平衡位置參數(shù)并不總能在簡潔式中被抵消掉．

關(guān)鍵詞勢能；彈簧振子；靜變形

CAN THE CONCISE FORM OF kx2/2 FOR THE SYSTEM POTENTIAL ENEGY BE TAKEN FOR GRANTED IF MERELY

THE EQUIL IBRIUM POSITION IS CHOSEN AS THE ZERO POINT OF SYSTEM POTENTIAL ENERGY？

Chen Kuifu1Cai Chun2

(1College of Science,China Agricultural University,Beijing 100083;2College of Arts and Science,Beijing Union University,Beijing 100191)

Abstract for the convenience to solve problems，the system potential energy expressed with a concise Form of kx2/2 was overemphAsized．the condition for ensuring this concise Form was explored in this pAper．the prevAlent Assertion is that the point oF zero potentiAl energy must situAte At the system equilibrium position．however，this Assertion will be questioned．it will be Argued systemAticAlly that For Achieving the concise form oFkx2/2，three points，the point of zero potentiAl energy，the point oF equilibrium And the point oF the coordinAte system origin，must be coincident with each other．the Justi Fication and universAlity of this three-point coincidence will be Articulated．Anontrivial example will be used to illustrate that the static deFlection cAn not AlwAys be cAncelled out in the concise Form．

Key words potentiAl energy；mass-spring vibrator；static deflection

很多教學(xué)輔導(dǎo)書、解題指導(dǎo)書和教學(xué)論文都特別地“規(guī)定”懸掛彈簧振子的勢能表示為

Ep=kx2/2

k和x分別為彈簧的勁度系數(shù)和相對自然長度的變形量，但是大多數(shù)教材并沒有對這一點(diǎn)作過多發(fā)揮.其背后的一個原因可能是教材更強(qiáng)調(diào)基本理論和概念，而教輔書更側(cè)重解題的“術(shù)”.然而恐怕還有另外一個因素，即教材影響力和影響面大，因而它更傾向成熟的內(nèi)容.那么簡潔式(1)是否不言而喻地正確呢？通常在說式(1)之前，會要求振子的系統(tǒng)勢能零點(diǎn)取在系統(tǒng)的平衡位置處.筆者將會系統(tǒng)地展示，這是不充分的，還應(yīng)該補(bǔ)充“坐標(biāo)原點(diǎn)也位于平衡位置”.此外教學(xué)輔導(dǎo)書強(qiáng)調(diào)Ep=kx2/2的另一個重要原因是認(rèn)為“重力改變靜平衡位置，后者對Ep=kx2/2無影響”，本文也將通過一個示例糾正這種看法.

1勢能簡潔式對坐標(biāo)原點(diǎn)有要求

提到彈簧的勢能，我們立即想到式(1)，而系統(tǒng)最大能量則可簡潔地表示為E=kA2/2(A為彈簧自由端位移的最大幅度).恰當(dāng)?shù)乩眠@兩個式子，可使相關(guān)問題的分析和求解得到顯著簡化.這種簡潔式最初是對圖1(a)所示的平放彈簧振子建立的.對圖2(a)所示的豎直懸掛的振子，為了使上述兩個式子仍能使用，很多文獻(xiàn)的說法是“平衡位置作為系統(tǒng)勢能零點(diǎn)”.但同時也反復(fù)強(qiáng)調(diào)部分學(xué)生對懸掛振子使用式(1)的條件理解不到位[1-8].其中原因之一是，振子從平放到懸掛增加了問題的復(fù)雜度.但筆者認(rèn)為，對簡潔式的演繹條件還應(yīng)作出進(jìn)一步規(guī)范，以保證物理條件背后的數(shù)學(xué)邏輯性和嚴(yán)密性.針對該問題，除了要求“平衡位置作為系統(tǒng)勢能零點(diǎn)”的要求外，還應(yīng)該補(bǔ)充“坐標(biāo)原點(diǎn)也要位于靜平衡位置”的要求.比如，即使對平放的振子，如果我們不把坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在彈簧的自然長度位置O,而是像圖1(b)中的位置O′(O左側(cè)，距離d)，則彈簧勢能為

(2)

圖1　平放彈簧振子

它的平衡位置x=0仍是勢能的零點(diǎn)，但是不具有Ep=kx2/2的簡潔式.

要想讓式(2)成為簡潔式(1)，必須讓d=0，也就是振子的坐標(biāo)原點(diǎn)必須在平衡位置處.

2懸掛振子情形

下面從勢能的邏輯演繹角度來闡述圖2(b)懸掛系統(tǒng)的勢能簡潔式對坐標(biāo)原點(diǎn)的要求.類似的問題在參考文獻(xiàn)[6]中是就運(yùn)動微分方程展開討論的.

圖2　懸掛彈簧振子

圖2(b)中O為系統(tǒng)平衡狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)m所處的位置，相應(yīng)的彈簧靜伸長δst=mg/k.該系統(tǒng)的彈簧彈性勢能和質(zhì)點(diǎn)重力勢能在運(yùn)動過程中都有變化.針對各自的勢能，可以選擇各自勢能零點(diǎn)，比如重力勢能零點(diǎn)可以選擇O1，彈性勢能零點(diǎn)選擇O2.坐標(biāo)原點(diǎn)刻意選擇在O3.在圖示的點(diǎn)線狀態(tài)，重力勢能EpG=-mg(x+d1).彈性勢能稍微復(fù)雜一點(diǎn).當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m在O2處，彈簧伸長量為d3+δst-d2；而在圖示的點(diǎn)線狀態(tài)，彈簧伸長量為x+d3+δst，因此保證O2為零點(diǎn)的彈性勢能表達(dá)式為

系統(tǒng)的勢能為

把δst=mg/k代入上式，并按照x的冪次整理有

Ep=kx2/2+d3kx+(d2-d1)mg+

(3)

比較式(3)與式(1)，可得到前者退化成后者的充要條件為

(4)

式(4)第一式要求坐標(biāo)原點(diǎn)在平衡位置處.彈簧的彈性勢能零點(diǎn)可任意取.一旦彈性勢能零點(diǎn)選定，則重力勢能零點(diǎn)必須按式(4)第二式取.最常見的取法是d1=d2=0.此時兩個零勢能點(diǎn)、坐標(biāo)原點(diǎn)和平衡位置四者重合.

對于非零的d2，按照式(4)的第二式確定的d1，會保證系統(tǒng)零勢能點(diǎn)在平衡位置處.此時，系統(tǒng)的零勢能點(diǎn)、坐標(biāo)原點(diǎn)和平衡位置三者重合.這個結(jié)論具有普遍性.這是因為在數(shù)學(xué)上，系統(tǒng)(線性)勢能均可寫為

Ep=ax2+bx+c(a>0)

其中a,b,c為系統(tǒng)勢能的3個常數(shù).具有簡潔的Ep=kx2/2要求是

b=c=0

回復(fù)力與勢能關(guān)系為F=dEp/dx=2ax+b.因此b=0蘊(yùn)含了平衡位置位于x=0的要求(反過來，x=0為平衡位置也要求b=0).

c=0就是要求x=0是系統(tǒng)勢能零點(diǎn).

綜上所述，彈簧振子勢能有簡潔式的要求是：系統(tǒng)的零勢能點(diǎn)、坐標(biāo)原點(diǎn)和平衡位置三者重合.

3彈簧靜伸長的影響

勢能簡潔式(1)不涉及彈簧的靜伸長.相同的情形也發(fā)生于圖3所示的水平擺.大多數(shù)教材都假定：此模型的擺桿處于水平位置，系統(tǒng)保持靜平衡[9,10].因此，彈簧在靜平衡位置已經(jīng)受拉.如果選擇靜平衡為系統(tǒng)零勢能點(diǎn)，且水平線為擺角θ的起始邊，則系統(tǒng)勢能(微幅振動)

靜平衡參數(shù)也沒有在上式中出現(xiàn).

圖3　水平擺

很多物理、力學(xué)教材(甚至專門的振動課程的教材)[9,10]的振動例題的勢能簡潔式都不涉及靜平衡參數(shù)，所以有些教材或明說或隱指：選擇靜平衡位置為零勢能點(diǎn)，則靜平衡參數(shù)在勢能簡潔式中最終會被抵消而不出現(xiàn).

上述看法是不全面的.勢能簡潔式不出現(xiàn)靜平衡參數(shù)只是教材使用了簡單例子.有大量的工程問題，靜平衡參數(shù)會影響振動系統(tǒng)的幾何參數(shù)，從而也會在勢能簡潔式中出現(xiàn).下面舉例說明[10](原題未標(biāo)明彈簧的自然長度).

圖4　均質(zhì)剛性桿

(5)

彈簧長度為

(6)

系統(tǒng)勢能為

(7)

(8)

式(8)表明，靜平衡參數(shù)并不總是可以消掉的.

4結(jié)語

振子勢能簡潔式在相關(guān)問題分析和求解中有廣泛使用，本文從勢能一般表達(dá)式退化成簡潔的角度，論證了勢能簡潔式要求平衡位置點(diǎn)、勢能零點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)三者重合.

就教材中習(xí)題，筆者演示了靜平衡參數(shù)在勢能的簡潔式并不總是可以消掉.但是究竟哪些問題可以抵消，哪些不能抵消，需要進(jìn)一步的深入探索.

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