簡諧波勢能的一種簡明推導(dǎo)

周 越 張國鋒

（1北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083；2北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191）

簡諧波的能量可分為介質(zhì)各質(zhì)元的振動動能和介質(zhì)因發(fā)生彈性形變而具有的勢能兩部分.其中質(zhì)元的振動動能易于從波動方程導(dǎo)出；而彈性勢能的計算則相對復(fù)雜，較完整的討論需利用楊氏模量、切變模量等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方面的背景知識[1]，這些內(nèi)容在少學(xué)時的普通物理課程中一般很少涉及.故在論證介質(zhì)中動能密度和勢能密度相等時，很多教材只是用示意圖來定性說明振動速度大的質(zhì)元同時亦具有較大的形變，或者直接用“可以證明”略過[2].如能用基本的力學(xué)知識說明兩者定量相等，有助于加深學(xué)生對問題的理解.文獻[3]利用動能和勢能密度在一個周期內(nèi)平均值相等結(jié)合兩者同步調(diào)增減進行論證，但由此斷言兩者的瞬時值亦相同略嫌證據(jù)不足.文獻[4]以在繩中傳播的橫波為例給出了一種定量的證明，但在證明過程中需使用波形在任何一點斜率極小的近似條件，相當(dāng)于在繩上傳播的橫波振幅必須遠小于其波長，這樣引入了不必要的附加條件，且容易給學(xué)生留下簡諧波的動能和勢能密度只在小振幅下才近似相等的印象.本文同樣基于在細繩中傳播的簡諧波，給出一種只需較少背景知識的推導(dǎo)方法，在彈性限度內(nèi)無需對振幅的大小作特別限制，且可以同時得到波速和繩兩端張力的關(guān)系.

1 質(zhì)元的動能

首先考慮一列在細繩中傳播的簡諧橫波，如果細繩在起振之前與x軸相重合，波動方程可以一般地表示為[2]

則在細繩上振動速度的分布為

考慮細繩上在x軸投影長度為dx的一段質(zhì)元，如細繩的線密度為ρ（未起振時的線密度），則該質(zhì)元的振動動能為

將式（1）代入式（3）可得

這說明位移大的質(zhì)元具有較小的振動動能.

2 質(zhì)元的勢能

下面討論簡諧波的勢能，因細繩的彈性勢能源于質(zhì)元的形變，與參照系無關(guān)，為簡便起見，可以在相對波形靜止的參照系中討論.不失一般性，設(shè)在此參照系中與波動方程（1）對應(yīng)的波形方程為

細繩上每個質(zhì)量為ρdx的質(zhì)元均在y軸方向作角頻率為ω的簡諧振動，由簡諧振動的性質(zhì)可知質(zhì)元所受的線性回復(fù)力為[5]

如圖1，在細繩上取兩點M，N.N在x＝0的正向最大位移處，如M的橫坐標(biāo)為-x，則介于M，N兩點間的細繩所受的回復(fù)力之和為

圖1 MN段的受力分析

圖2 M點拉力的分解

在細繩內(nèi)不存在法向應(yīng)力，而N點的切線平行于x軸，因此f來源于M點的拉力F在y方向的分量，故有

由圖2可知F在x方向的分量Fx＝Fycotθ，其中θ滿足

故有

其中，u＝ω／k為簡諧波的波速.這說明要在細繩上傳輸彈性橫波，細繩的兩端必須被用力拉緊，且波速（速率）與繩內(nèi)張力在波傳播方向上分量的關(guān)系為

由式（8）和式（10）可得，M處的質(zhì)元對右側(cè)細繩拉力大小為

F來源于M點質(zhì)元拉伸所產(chǎn)生的張力.在細繩的彈性范圍內(nèi)，根據(jù)胡克定律T＝k0δl以及彈性勢能表達式Eps＝k0δl2／2，質(zhì)元的彈性勢能可以表示為

即質(zhì)元的彈性勢能正比于張力的平方，由式（12）可得

式（14）中右邊第一項來源于細繩在x方向上的拉伸，不隨時間和位置改變，為質(zhì)元起振前已具有的勢能；第二項來源于質(zhì)元在平衡位置附近振動所產(chǎn)生的彈性形變.因此，簡諧波的勢能僅包含第二項.利用式（5）消去x，可得

與式（4）比較可以看到質(zhì)元的動能與勢能關(guān)于位移y具有類似的函數(shù)關(guān)系，僅系數(shù)的形式有所差別，下面證明兩者的系數(shù)也是相等的.

原長為dx的質(zhì)元，在簡諧橫波通過時被拉長為將式（5）代入可得質(zhì)元長度的增量為

相應(yīng)地，其張力大小由｜Fx｜增大到F.則根據(jù)胡克定律，該質(zhì)元的勁度系數(shù)為

代入式（15）可得

與式（4）給出的質(zhì)元振動動能完全相同.相應(yīng)地，細繩上同一位置的動能密度與勢能密度亦相同.

3 縱波的情況

以上基于細繩上傳播的簡諧橫波證明了同一質(zhì)元具有等值的振動動能與彈性勢能，對于縱波亦可作類似論證，簡述如下.如用y表示質(zhì)元偏離平衡位置的位移（此時位移沿x軸方向），各質(zhì)元的動能及M，N段所受的合力仍可由式（4）和式（7）表示.因N點的質(zhì)元無形變，故M點的質(zhì)元張力大小為

對于縱波，原長為dx的質(zhì)元形變量取決于質(zhì)元兩側(cè)的位移之差，故有

則質(zhì)元的彈性勢能為

與橫波的表達式相同，故勢能密度與動能密度相等的結(jié)論對簡諧縱波同樣適用.

[1]葉帆.關(guān)于連續(xù)介質(zhì)中橫波的能量探討 [J].大學(xué)物理，2008，27（9）：19-21.

[2]張文杰，曹陽.大學(xué)物理教程 [M].北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[3]汪新文，唐世清，許成科，等.平面簡諧波勢能的簡易分析方法 [J].湖南科技學(xué)院學(xué)報，2012，33（8）：22-23.

[4]郭芳英，閆夷平，李愛玲.用橫波推導(dǎo)簡諧波的能量 [J].物理與工程，2003，12（2）：16-17.

[5]程守洙，江之永.普通物理學(xué) 第三冊[M].5版.北京：高等教育出版社，1998.