讓數(shù)學(xué)文化浸潤(rùn)練習(xí)課

浙江溫嶺市三星小學(xué)（317500） 陳恩輝

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，練習(xí)課大約占總課時(shí)的40%左右，既是新授課的有效補(bǔ)充與拓展延伸，又是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、習(xí)得數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣、提高數(shù)學(xué)思維能力必不可少的手段與途徑。但如今，數(shù)學(xué)練習(xí)課往往被教師簡(jiǎn)化成只做數(shù)學(xué)練習(xí)的課。如何讓數(shù)學(xué)練習(xí)課更多地傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)、傳承數(shù)學(xué)文化、傳播人類(lèi)文明，值得每位數(shù)學(xué)教師思考。下面我就以自己親自上過(guò)的一節(jié)比賽課為例，談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。

去年市里舉行優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)，我有幸代表學(xué)校參加比賽，上內(nèi)容為“分?jǐn)?shù)加減法”的練習(xí)課，這個(gè)練習(xí)安排在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”新授課的后面，主要目的是在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法后，通過(guò)各種形式的練習(xí)鞏固學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，提升學(xué)生的計(jì)算能力。這個(gè)練習(xí)，教材一共安排了13道習(xí)題（課本第13～16頁(yè)），其中第1～3題和第5、第6、第8題屬于基礎(chǔ)計(jì)算類(lèi)題目，主要鞏固學(xué)生對(duì)異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，而第3題兼具培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的功能；第4、第7、第9、第11、第12題屬于解決問(wèn)題類(lèi)題目，既有利用異分母分?jǐn)?shù)加減法解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)題，又有綜合性較強(qiáng)的實(shí)踐運(yùn)用題；第6和第10、第13題屬于拓展延伸類(lèi)題目，第6題是在常規(guī)計(jì)算的基礎(chǔ)上找到速算的方法，既是基礎(chǔ)題，又是拓展題，第10題是關(guān)于楊輝三角的變式運(yùn)用，主要意圖是為了增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算興趣，而第13題是為學(xué)有余力的學(xué)生提供的挑戰(zhàn)題。這么多的題目想要在一節(jié)課內(nèi)完成教學(xué)顯然是不可能的，于是我對(duì)本節(jié)練習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)定位如下：（1）通過(guò)基礎(chǔ)練習(xí)，鞏固學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，提高他們的計(jì)算能力；（2）借助數(shù)學(xué)文化的魅力，對(duì)分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算進(jìn)行拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；（3）讓枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算變得生動(dòng)、有趣，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

為了挖掘數(shù)學(xué)文化的魅力，我就在“埃及分?jǐn)?shù)”上做文章。在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”新授課結(jié)束后，教材安排了一個(gè)“你知道嗎”的內(nèi)容，在這則閱讀材料里介紹了“埃及分?jǐn)?shù)”的知識(shí)。“埃及分?jǐn)?shù)”是指古埃及沒(méi)有表示分?jǐn)?shù)的通用方法，只用一些特殊符號(hào)來(lái)表示分子為1的分?jǐn)?shù)，而其他分?jǐn)?shù)都是用幾個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)之和來(lái)表示，如等。這一部分內(nèi)容在平常的教學(xué)中往往被教師所忽視，讓學(xué)生看一看就算了事。在備課中，我發(fā)現(xiàn)第12題和第6題能很好地詮釋“埃及分?jǐn)?shù)”的意義，于是就在課堂的第二個(gè)環(huán)節(jié)中充分利用“埃及分?jǐn)?shù)”做文章。

情景再現(xiàn)：

在第一個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)練習(xí)結(jié)束后，第二個(gè)環(huán)節(jié)中，我就引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略埃及數(shù)學(xué)文化的魅力。由于教材中的第12題是問(wèn)“每個(gè)孩子分得這些蘋(píng)果的幾分之幾”，這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的是部分與整體之間的關(guān)系，與單位“1”的具體數(shù)量無(wú)關(guān)，不能引入“埃及分?jǐn)?shù)”，所以我把問(wèn)題作了改變：“每個(gè)孩子分得幾個(gè)蘋(píng)果？該怎么分呢？”教學(xué)中，我把全班學(xué)生按8人一組分好，每組分給6個(gè)圓片代表6個(gè)蘋(píng)果，讓學(xué)生合作嘗試可以怎么分蘋(píng)果。學(xué)生交流匯報(bào)的時(shí)候，我根據(jù)他們每人手上拿著的圓片情況，有序地進(jìn)行教學(xué)。

生1：我們是把每個(gè)圓片都平均分成8份（同組的同學(xué)補(bǔ)充“把6個(gè)圓片疊在一起分”），共48份，再每人拿6份，就是

生2：我們是把每個(gè)圓片平均分成4份，共24份，再每人拿3份，就是

師：你們的分法與他們相比，有什么好處？

生2：他們分得比我們碎。

師：也就是說(shuō)，你們的整體性更好一些。那有沒(méi)有比他們整體性更好的方法呢？

生3：我們先拿4個(gè)圓片，把每個(gè)圓片都平均分成2份，一共有，每人先得；再把余下的2個(gè)圓片每個(gè)都平均分成4份，一共有，每人再得1個(gè)，這樣每人就一共得到了。

……

我先通過(guò)課件演示生3的方法，讓學(xué)生明白具體的操作過(guò)程，再告訴學(xué)生剛才看到的方法就是古埃及人使用的方法。接著，我向?qū)W生介紹“埃及分?jǐn)?shù)”，以及萊因德紙草書(shū)中關(guān)于把9個(gè)面包平均分給10個(gè)人的方法（方法是先拿5個(gè)面包，每個(gè)都平均分成2份，共有10個(gè)，每人先得個(gè)面包；再把余下的4個(gè)面包每個(gè)都平均分成3份，共有12個(gè)個(gè)，每人再得到個(gè)面包；最后把余下的都再平均分成5份，共有每人得個(gè)面包，這樣每人得到的面包就有這樣教學(xué)，既讓學(xué)生體會(huì)到古埃及勞動(dòng)人民的智慧，又讓他們感悟到這種分?jǐn)?shù)表示方法給后來(lái)的計(jì)算帶來(lái)的弊端。

生4：我發(fā)現(xiàn)它們的分母都是原來(lái)兩個(gè)分母的積，分子都是原來(lái)兩個(gè)分母的和。

師：這四道題目有什么特點(diǎn)呢？

生5：分母互質(zhì)，分子都是1。

師：是的，我們數(shù)學(xué)中的很多規(guī)律都可以用字母來(lái)表示，這個(gè)規(guī)律你們會(huì)表示嗎？

在學(xué)生研究出分?jǐn)?shù)單位相加的速算方法后，自然就引出了相減的話題。于是我出示第6題的四道減法式子，不過(guò)由于第6題的四道減法式子的分母都是相鄰的自然數(shù)，使得差的分子都是1，容易誤導(dǎo)學(xué)生，不利于學(xué)生得出規(guī)律，所以我作了些許改變，如等。有了剛才加法的研究基礎(chǔ)，在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生都能自主地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并且在與同學(xué)的討論中總結(jié)出了它的速算方法，也學(xué)著用字母表示出來(lái)。

在領(lǐng)略了古埃及的數(shù)學(xué)文化之后，第三個(gè)環(huán)節(jié)，我引導(dǎo)學(xué)生把研究對(duì)象轉(zhuǎn)回到了對(duì)古代中國(guó)數(shù)學(xué)的研究，即第10題的楊輝三角。不知不覺(jué)四十分鐘很快過(guò)去了，下課的鈴聲響起時(shí)，學(xué)生還沉浸在剛才的數(shù)學(xué)文化探尋之旅中。

反思：

我課后反思認(rèn)為，要想上好數(shù)學(xué)練習(xí)課，并讓課堂充滿(mǎn)數(shù)學(xué)文化味，應(yīng)盡力做到以下三點(diǎn)。

1.深入挖掘數(shù)學(xué)價(jià)值

要想讓枯燥的數(shù)學(xué)練習(xí)充滿(mǎn)數(shù)學(xué)味，必須要理解教材中每道習(xí)題的編寫(xiě)意圖，充分挖掘習(xí)題的價(jià)值和內(nèi)涵。一般有以下兩種基本途徑：

（1）立足教材。

教材畢竟是教材，它的每道練習(xí)題都是由專(zhuān)家通過(guò)再三斟酌后編制和選定的。作為一線教師，要先尊重教材，深入理解教材中每一道習(xí)題的編寫(xiě)意圖，體會(huì)它的價(jià)值與內(nèi)涵，不要被它樸素的外表所迷惑。我們不能總想著要通過(guò)光鮮的多媒體去呈現(xiàn)所謂“高大上”的練習(xí)題以?shī)Z人眼球，這是一種功利的想法，要摒棄。如本節(jié)課中的第12題，看似一道毫不起眼的題目，卻承載了深厚的數(shù)學(xué)文化——“埃及分?jǐn)?shù)”。又如，本節(jié)課中的第10題“有趣的三角”，看似僅僅是同分母分?jǐn)?shù)加法的練習(xí)，但它其實(shí)是楊輝三角的變式運(yùn)用，它的分子就是楊輝三角數(shù)，這里面包含了眾多古今中外數(shù)學(xué)家的研究成果，如賈憲、楊輝、帕斯卡……對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在雖然理解不了楊輝三角數(shù)這一知識(shí)，但它的前幾行卻是11的自乘積，即11的n次冪，這個(gè)知識(shí)學(xué)生還是能夠理解的。

（2）改編教材。

教材無(wú)非是個(gè)例子。教材是由專(zhuān)家編寫(xiě)而成的，由于每個(gè)人的立場(chǎng)不同以及編寫(xiě)教材的時(shí)空限制，難免會(huì)出現(xiàn)一些疏漏，因此我們不能死抱著教材不放。我們可以對(duì)教材中一些不盡如人意的地方進(jìn)行調(diào)整，使得它更符合我們的教學(xué)意圖。如教材中的第6題與第12題，它們雖然不存在錯(cuò)誤，但我們可以對(duì)它們進(jìn)行一些微調(diào)，以更加適合我們的教學(xué)需要。又如第9題，教材中的原題只是根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義對(duì)鐘面平均分后再取一份進(jìn)行涂色，我們可以把這道題進(jìn)行一些微調(diào)，讓第二幅圖的指針位置從第一幅圖的結(jié)束位置（即6點(diǎn)鐘的位置）開(kāi)始，讓第三幅圖的指針位置從第二幅圖的結(jié)束位置（即10點(diǎn)鐘的位置）開(kāi)始，然后依次動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，這樣就變?yōu)榧瓤梢钥疾榉謹(jǐn)?shù)意義，又可以考查分?jǐn)?shù)加減法的題目，一舉兩得，何樂(lè)而不為？

2.深度構(gòu)建數(shù)學(xué)聯(lián)系

在充分挖掘習(xí)題的價(jià)值和內(nèi)涵后，還要對(duì)這些習(xí)題進(jìn)行串聯(lián)，構(gòu)建題組。在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系時(shí)，也有兩種基本的策略。如下：

（1）以數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系構(gòu)建聯(lián)系。

教材中的一個(gè)練習(xí)往往編制了十幾道題目，每一道題目都是有意圖的，也都是有價(jià)值的，雖看似各自為政，但內(nèi)部其實(shí)是蘊(yùn)含著某種聯(lián)系的，在編寫(xiě)時(shí)也是按照一定的邏輯序列來(lái)編排的。因此，我們?cè)诔浞滞诰蛎康李}的價(jià)值后，要讓這些看起來(lái)孤立的題目以一定的邏輯序列呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，使得學(xué)生的思維能夠逐步深入，達(dá)到提高數(shù)學(xué)思維能力的目標(biāo)。例如，本課以“埃及分?jǐn)?shù)”把第12題和第6題自然串聯(lián)起來(lái)，使得枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算變成追尋數(shù)學(xué)文化的足跡，讓學(xué)生體會(huì)到人類(lèi)文明進(jìn)步的熠熠光輝。

（2）以數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建聯(lián)系。

數(shù)學(xué)習(xí)題間除了顯性的邏輯關(guān)系外，還藏著隱性的數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法在解題時(shí)是可以遷移的。如本練習(xí)課的第13題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有兩道坎：一是解題的次序；二是復(fù)雜的計(jì)算。兩者相比，后者顯得更費(fèi)時(shí)、更易錯(cuò)，因此我們可以把它與第10題聯(lián)系起來(lái)。這兩題都具有濃厚的中國(guó)味，楊輝除了楊輝三角，他還研究幻方，第13題的圖可以看成是翻轉(zhuǎn)的九宮格，即把里面的四條斜線旋轉(zhuǎn)90度就成了標(biāo)準(zhǔn)的九宮格，而九宮格在中國(guó)古代就被稱(chēng)為幻方。如何建立起這兩題的聯(lián)系呢？剛才說(shuō)了第10題其實(shí)就是楊輝三角加了個(gè)分母，去掉分母就是標(biāo)準(zhǔn)的楊輝三角了，這個(gè)分母就像是一件“馬夾”，把它遷移到第13題，也可以把它的“馬夾”（即分母）去掉，使計(jì)算變得簡(jiǎn)單。但這里需要學(xué)生思考的是：“第10題里是同分母分?jǐn)?shù)，去掉分母相當(dāng)于擴(kuò)大相同的倍數(shù)，而這一題是異分母分?jǐn)?shù)，如果直接去掉分母會(huì)擴(kuò)大相同的倍數(shù)嗎？”這樣教學(xué)，使學(xué)生明白在去分母前需要先通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，就可以有效突破計(jì)算這道坎。這兩道題從表面上看，都是把分母去掉可以使計(jì)算變得簡(jiǎn)便，其實(shí)隱藏著的是同一種數(shù)學(xué)思想方法，即都要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。

3.深刻融入數(shù)學(xué)文化

人們常說(shuō)：“要給學(xué)生一杯水，教師要有長(zhǎng)流水。”但作為數(shù)學(xué)知識(shí)，如果離開(kāi)了數(shù)學(xué)文化這條河，就將成為死水。數(shù)學(xué)課堂對(duì)于數(shù)學(xué)文化的傳承可能更多地需要數(shù)學(xué)練習(xí)課來(lái)承擔(dān)，因?yàn)樾率谡n往往以傳授新知和傳承知識(shí)為主要任務(wù)，而對(duì)于數(shù)學(xué)文化的傳承應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體。正如前面對(duì)于“埃及分?jǐn)?shù)”的理解一樣，只有在學(xué)生學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)加減法后，才能體會(huì)到“埃及分?jǐn)?shù)”這一數(shù)學(xué)文化。在數(shù)學(xué)練習(xí)課中融入數(shù)學(xué)文化，有兩種基本思路。如下：

（1）融入數(shù)學(xué)史。

數(shù)學(xué)伴隨著人類(lèi)文明一路走來(lái)，從人類(lèi)的誕生開(kāi)始可能就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，如同英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素所說(shuō)的“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了”，并且一直伴隨著人類(lèi)文明一起進(jìn)步。小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，屬于起步的基礎(chǔ)階段，距今至少在千年以上，甚至是幾千年了。今天我們?cè)谡n堂上40分鐘就能教學(xué)的知識(shí)，在歷史的長(zhǎng)河中得經(jīng)歷幾百年甚至幾千年的探索，當(dāng)中不知發(fā)生了多少有趣的故事或是凄慘的悲劇。因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生更好地了解這些數(shù)學(xué)史，這樣不僅可以增加他們對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，而且有利于學(xué)生在課堂中重現(xiàn)探究學(xué)習(xí)的過(guò)程。例如，教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”這一單元時(shí)，教師十分有必要讓學(xué)生了解我國(guó)古代的割圓術(shù)以及對(duì)圓周率的研究歷史，使得學(xué)生知道圓周率是通過(guò)不斷地割圓而計(jì)算出來(lái)的。如果不去了解這段數(shù)學(xué)史，學(xué)生會(huì)認(rèn)為圓周率是通過(guò)直接測(cè)量圓周長(zhǎng)與直徑再相除算出來(lái)的，這顯然是一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

但我們又不能把數(shù)學(xué)文化僅僅局限為中國(guó)的數(shù)學(xué)文化，好像一說(shuō)到數(shù)學(xué)文化，就是古代中國(guó)比世界領(lǐng)先了多少年。我個(gè)人看來(lái)，文化沒(méi)有好壞之分，可能有快慢之別，我們的課堂教學(xué)如果還停留在以中國(guó)過(guò)去領(lǐng)先世界多少年為榮的話，那么當(dāng)學(xué)生知道我們中國(guó)現(xiàn)在還落后于世界，哪怕只是暫時(shí)的落后，他們可能會(huì)產(chǎn)生自卑的心理并以此為恥。就像前面“你知道嗎”中介紹的，我們不能簡(jiǎn)單地以《九章算術(shù)》中記錄的分?jǐn)?shù)加減法比古埃及的先進(jìn)就沾沾自喜并恥笑埃及人笨，而是應(yīng)該讓學(xué)生感受到古埃及勞動(dòng)人民創(chuàng)造的這種分?jǐn)?shù)的表示方法也是一種偉大的創(chuàng)舉。“埃及分?jǐn)?shù)”如今屬于數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——不定議程，并引出了大量的問(wèn)題，其中有許多至今尚未解決，吸引著許多頂尖的數(shù)學(xué)家不斷深入研究呢！在世界發(fā)展到地球村的時(shí)代，文化的界限也變得越來(lái)越模糊，文化的融合度也越來(lái)越高，我們更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生以世界的眼光來(lái)看待數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

（2）融入數(shù)學(xué)家。

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)古今中外的數(shù)學(xué)家，他們有的涉獵廣泛，同時(shí)研究天文、哲學(xué)、物理等學(xué)科，也有的終其一生研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。正是由于成千上萬(wàn)的數(shù)學(xué)家共同的付出，才推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也促進(jìn)了人類(lèi)文明的進(jìn)步。但如果問(wèn)一個(gè)六年級(jí)的小學(xué)生“你知道哪些數(shù)學(xué)家時(shí)”，恐怕他們多數(shù)只能說(shuō)出祖沖之與高斯這兩個(gè)代表人物，因?yàn)檫@兩位數(shù)學(xué)家是數(shù)學(xué)教材中提得比較多的，甚至連牛頓都成了蘋(píng)果的創(chuàng)始人。這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的一個(gè)薄弱點(diǎn)，因此教師要在數(shù)學(xué)課堂上加強(qiáng)這方面的教育。我們可以通過(guò)一道題，挖出一位數(shù)學(xué)家或者一本數(shù)學(xué)著作。如教學(xué)本課的第10題時(shí)可以介紹楊輝等數(shù)學(xué)家，通過(guò)楊輝又可以介紹中國(guó)古代的幻方；通過(guò)圓周率可以介紹劉徽、祖沖之等數(shù)學(xué)家；在學(xué)習(xí)因數(shù)與倍數(shù)這一內(nèi)容后，通過(guò)“物不知數(shù)”的問(wèn)題介紹《孫子算經(jīng)》，從而引出“中國(guó)剩余定理”以及鮮為人知的大數(shù)學(xué)家秦九韶；通過(guò)“百雞問(wèn)題”介紹《張丘建算經(jīng)》……讓數(shù)學(xué)家堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的研究精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他們樹(shù)立起研究數(shù)學(xué)的志向。

總之，數(shù)學(xué)練習(xí)課是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的組成部分，我們不僅要把練習(xí)課上得扎實(shí)，更要上出數(shù)學(xué)味、文化味，從而讓學(xué)生遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)的枯燥與乏味，體會(huì)數(shù)學(xué)的靈動(dòng)與趣味。