從具體事例看概率論教育的重要性

陳鐵重

（海裝天津局 北京 100073）

從具體事例看概率論教育的重要性

陳鐵重

（海裝天津局 北京 100073）

在實際工作中，一批產品的檢驗驗收中，全數檢查是不現實或者是完全沒有必要的，如產品的破壞性檢驗、批量很大檢驗時間長、檢驗費用高等等，都不適宜全數檢驗，而受各種因素的影響，總有個別產品的指標偏離接受值，不可能100%合格，而我們接受或拒絕該批產品的標準是抽樣合格率。在可靠性評價時，面對龐大的數據，如何去偽存真，同樣需要制定數據選取的規則和評價方法。如此等等，制定抽樣合格率和數據選取規則均需要很強的數理統計和概率論知識。下面，以具體例子來闡明概率論教育和學習的重要性。

17世紀中葉，法國貴族公子、作家梅累參加賭博，和朋友擲骰子，各押賭注24個金幣。雙方約定：梅累如果先擲出三次6點，或者朋友先擲出三次4點，就算贏了對方。賭博進行了一段時間，梅累已經兩次擲出6點，朋友已經一次擲出4點，這時候梅累接到通知，要他馬上陪國王接見外賓，賭博只好中斷。于是兩人碰到了一個問題：應該怎樣分配這48個金幣才算合理呢？

朋友說：“我要再碰上兩次4點，或者你再碰上一次6點才能贏。所以你得到48個金幣的2/3，我得到48個金幣的1/3。”梅累的這個朋友說的對嗎？

解法一：對于該題的解答，不少讀者會存在疑惑。認為這符合古典概型，即骰子每面出現的概率都相同，還認為金幣的分配應以各自可能獲勝的概率的比值來分配。也就是：梅累贏的概率是1/6+5/6*1/6=11/36，朋友贏得概率是1/6*1/6=1/36。所以應按照11∶1分配，梅累應得44枚，朋友得4枚。

再換一種思路，也就是再擲兩次骰子，可能出現的情形有：1、1-6、6共36中情形，而梅累可在1、6；2、6；3、6；4、6；5、6；6、1；6、2；6、3；6、4；6、5；6、6共11種情形中贏，而朋友只能在4、4一種情形中贏。所以，比率仍為11∶1。

所以，按照這個思路：

①如果骰子只有4點和6點兩個點，無疑3∶1的分配方案是對的；

②骰子是6個面，分配比例應為11∶1；

③進一步想象，如果骰子有1萬個面，朋友獲勝的概率僅有一億分之一，而梅累獲勝至少為一萬分之一，這里是至少，實際概率要大于一萬分之一。

④即便沒有擲出4點或6點時作廢，應重新擲，那也應是無形之中梅累獲勝的概率大。

解法二：經請教數學專家晁政老師，他給出了另外一種解釋，他認為如果考慮擲出1、2、3、5的情況，結論應該是這樣的：梅累在今后的游戲中只要擲出1次6，就可以獲勝，而朋友必須擲出2次4，還要確保梅累不能擲6。因此直接從朋友的角度出發進行分析，朋友獲勝的條件是：在梅累擲出6之前擲出2次4，枚舉如下：

再擲3次朋友獲勝：則要求這3次中出現2個4，但另一次不是6，而且4還必須出現在最后1次，從前2次中選1次擲4，概率為：

再擲4次朋友獲勝：則要求這4次中出現2個4，但沒有出現過6，而且最后1次是4，從前3次中選1次擲4，概率為：

還可換一種思考方法：一方面，由于無論擲出1、2、3還是5，都不會對比分產生影響，也可以把擲出1、2、3或5的局數都當做廢局，就好比罰點球有人提前進線要重新罰一樣，這個情況不符合任何人贏的標準，于是作廢重擲。因此就不需要考慮擲出1、2、3、5的情況了。

兩種解法的比較：兩種解法似乎都有道理，但經過認真思考后，就會發現第一種解法存在著錯誤，忽略了在擲完兩次骰子后，在未決出勝負的區域里，還有一部分特殊區域，那就是出現1個4的區域，那就是1、4；2、4；3、4；5、4；4、1；4、2；4、3；4、5；在這8種情形中，梅累和朋友再賭一局獲勝的概率就相同了。即：

梅累：11/36+8/36*1/2=15/36

朋友：1/36+8/36*1/2=5/36。

即獲勝概率為15/36∶ 5/36=3∶1，而在占16/36的其余區域，相當于重新來，仍將延續梅累和朋友獲勝概率為3∶1的格局。

到此該題已解答完畢。由此看出，概率論的知識在此題的應用，需要耐心細致地一步一步地計算，任何的疏忽將導致錯誤的產生。

由此可見，對這一沒有認識和理解偏差的理論問題，不同的人尚存在不同的解答。而在我們的實際工作中，產品質量評價、可靠性評價以及檢驗驗收過程中，更需要運用到大量的概率論知識。當不能全數驗收時，樣本量的選取、各種檢驗驗收方法的確定都是以概率論作為依托。合格判據一旦確定，接收和拒收的差距可能就在毫厘之間，有時甚至評價方法的不同也將導致不同的結果。在因故打亂原來的試驗過程，重新開始質量檢測試驗時，綜合運用概率論的相關知識更是顯得尤為重要。當出現認識上的分歧，召開相關會議進行討論時，不同類型的人參雜其中，大家各自發表意見，極易模糊決策者的判斷。所以，合格判據的制定、產品試驗方法的選取、計算方法的確定，兼顧生產者和消費者雙方風險損失的抽樣方案等，均需要有較深厚的數理統計和概率論背景知識的相關人員進行思考和計算，而具備這些知識的前提是進行相關的培訓和教育。遇到難解的實際問題或意見分歧時，有必要請求無利害關系的第三方專業人員協助。