創新“面積”教學的三個舉措

江蘇海安縣教師進修學校附屬小學（226611） 王向紅

“面積”教學是小學中年級數學進行幾何初步知識教學、建立空間觀念的重要內容，是由長度一維向兩維發展的轉折點，是對于面作數值計量的重要體現，為立體空間的考察、研究奠定基礎。因此，“面積”的教學具有特別重要的承上啟下的建構意義，需要教師在教學中創新設計，強化基礎知識教學的落實。

“面積”教學主要涉及面積和面積單位的概念與意義，長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形以及圓形等平面圖形面積的計算。它以點、線、角的知識為基礎，與圖形的對稱、旋轉、平移、密鋪等運動變化的知識相交織。

一、強化“面積”概念的理解性教學

應當承認，學生初次接觸“面積”概念時，一般都不容易理解“面積”是怎么一回事，這是由于“面”的概念是個基礎性概念不需要說，而且也不易說清楚。加之，“面積”定義中主要指的是平面——可無限延展，但不排斥有限范圍的物體的表面——曲面，因為需要包容和兼顧其后涉及圓柱側面積、圓錐漏斗等展開的面的計算，所以定義“面積不涉及曲面”，將會使后面的圓柱體、圓錐體等表面和側面的面積計算不能自圓其說。所謂“面積”，其實就是有限部分面的大小。衡量面的大小，并用數值表達衡量的結果就是其面積。

在“面積”表述的這個“面”中，含有兩種情況：一是物體的表面與平面封閉圖形有限部分的面；二是有長度、寬度，無厚度。在實際教學中，不少教師把握不住“面積”這一實質，往往過多地讓學生進行手摸物體表面、比較兩個物體表面大小的操作探究活動，以此來代替對“面積”的意義抽象、概括和歸納的解讀思維。加之，有的教材不出現“面積”定義的明確結語，師生在教學中缺乏依據及多數課堂忽視“面積”定義形成的思維過程，導致學生對于“面積”概念不甚了解。

課堂教學中，教師可以讓學生多舉出對于面的理解的實例，然后運用多媒體投影，生動形象地呈現這些生活現象，如卷席子、剝橘皮、擦黑板、掃地面、潑墨涂色、觀察水面、鋪地磚、刷墻壁、壓路機壓路面等，以此強化學生對于面的感知，使他們積累生活經驗，夯實知識基礎，牢固支撐對于面和面積的理解。在“面積”教學中，教師要安排學生強化“面積”單位意義的體驗，這需要一個有序的發展過程。

1．讓學生產生“面積”單位這一概念的自我需要

課堂教學中，教師可以讓學生對給出的一個個待測范圍有限的面，自己直接說出其大小，使之發現和運用中介替代物來計量。如教師提供方桌、文具盒、芭蕉扇、磁盤和郵票等常用物品，讓學生想辦法說出這些物品表面的大小。學生紛紛回答：“黑板有一或兩個方桌面的大小。”“黑板面有教室門般的大小。”“課桌面有七八本課本封面的大小。”“課桌面有一二十個信封的大小。”“書本面約有三四塊瓷磚面的大小。”“書本封面有幾十張郵票面的大小。”……

2．讓學生關注自己所說進行優劣的比較評價

通過群體評價，使學生明白以下三點：（1）覆蓋排列時應當正好密鋪——不重疊、不留空隙，就像點數物體個數一樣，要依次不重復、不遺漏地有序數過；圓形、芭蕉扇面作為比照對象不可取，不可能實現密鋪。（2）長方形作為比照對象時，在兩條相鄰的邊上衡量的單位長度不一致，實際使用不方便，只有正方形最合適。（3）在確定單位面積的形狀后，引導學生明確面積單位與基本長度單位之間的聯系，由此根據基本長度單位厘米、分米、米，推導出面積單位可以分別用邊長為1厘米、1分米、1米的正方形來衡量，并分別出現1平方厘米、1平方分米和1平方米的面積單位名稱。

3．認識“面積”計量由動手擺量走向動腦計算

也就是說，通過分別測量長度，了解豎直方向與水平方向可擺多少個面積單位，再計算出它們的乘積，以此得知一共可以擺滿多少個面積單位，就得知待測面積有多大了。這就實現面積計量策略的根本性轉變，由擺鋪面積單位的手“量”走向了腦“算”，使得面積計量過程變得便捷、簡單。另外，課堂教學中，教師可讓學生觀看革命斗爭影視片，重點讓學生觀察土改分田工作組拿步弓和算盤丈量土地、測算土地面積的畫面。

二、顯露“面積”計算的共同性關聯

1．顯露“面積”計算中的基本算法思想

因為圖形面積的計量不論形狀如何，其實都是算出豎直方向和水平方向各有多長來求其積。課堂教學中，教師要把這一思想貫徹于各種圖形面積計算之中，這樣不管是長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形，還是圓形，都要想方設法在面積不變的情況下，轉化成長方形（正方形）的面積計算方法，即二維長度求其積，其基本的計算方法都是乘法。在各種圖形面積計算教學中，這一思想應當一以貫之的凸顯。

2．凸顯計算公式中共同的乘法運算

教師應當從幾種圖形面積計算公式的不同表達中，讓學生找出和發現公式中基本是乘法運算這一共同點。如要把三角形和梯形面積計算公式中出現的加法與“除以2”，都作為在某一方向（比如水平方向）求取確認數值，通過取均值，以獲得正如我國古人所說的“半廣”和“半高”。最終，這些圖形面積公式基本的計算方法仍然是運用兩維長度相乘求積。圓形也一樣，實際上是將半徑與半周相乘求積。

3．揣測“面積”概念和名稱的來龍去脈

課堂教學中，教師可通過對圖形的剪拼、割補來實現圖形的等積變形，幫助學生理解“面積”概念的實質。同時，正因為面積計量都是借助二維長度算其乘積，這就規定了共同的基本計算方法是乘法，結果都是積，是對于面大小的計量數值，所以叫做“面積”。這樣教學，既引導學生加深對“面積”概念及其命名來由的理解，又使學生掌握了其中的來龍去脈，用以突出對各種圖形面積計量中共同點的把握，提高課堂教學的效率。

三、突出圖形“面積”的發展性延伸

平面圖形面積計算的教學，需要引領學生的知識學習和空間觀念建立不斷拓展，在面積計算中積極實現發展性延伸，以獲得可持續的發展。這就要求教師從改革創新教學出發活用教材，抓好“面積”計算教學中的幾個改進性舉措。

1．密鋪知識教學適當前置

教學“面積”的計量，起初需要讓學生用具有一定面積作為單位的替代物來度量待測面的面積。“面積”度量操作時應當實行密鋪，使得每次擺放與下一次擺放都能覆蓋待測面，要求不重疊、不遺漏，這與點數計數不重復、不遺漏的要求其實是相通的。而小學數學中的“密鋪”概念在這之前并未出現過，雖然學生憑生活經驗可以接受和理解，但是從知識安排的序列邏輯要求出發，還是應當事先予以交代，做好鋪墊為宜，這是“面積”度量操作學習中存在的一個小小缺失。因此，“密鋪”教學可以提前到“面積”概念出現前，至少要在教材中做好滲透處理，免得出現時學生覺得突然。而且，在這里安排“密鋪”教學，才會讓學生體會到學習密鋪知識的實際意義。教師可于此適時提及，也可在后來再教學密鋪知識，免得學生感覺知識出現突如其來，不知就里。

2．等積變形操作務求落實

我們知道，關于圖形面積計算方法的推導教學，一般課堂對投影課件演示圖形變化很是注重，這往往是把學生放在觀察者的地位上。其實，課堂教學中，教師應當加強學生對圖形變化的自主操作，強化其切身體驗。因此，圖形計算的推導應當堅持讓學生親自動手操作，通過折紙、剪割、拼擺等方式，讓學生獨自進行圖形等積的變化。學生在自己動手中必然會思考“如何動手”“為什么要這樣做”“出現的圖形有何變化”“說明了什么”等問題，這就是自悟面積公式的推導過程，促進學生加深體驗和理解。筆者以為，課堂教學中的課件投影雖然其觀賞性較強，但是它顯示的是教師的工夫，是工具形式的新穎，論起它對學生的接受效果而言，遠非親自操作所能比較的。因此，在“面積”教學中，教師應注重培養學生圖形變化運動的操作技能，不應當把工夫花在提高課堂教學的觀賞性上。

3．圖形轉化思路多途打通

在多種平面圖形面積的計算推導教學中，教材往往是先安排長方形、正方形的面積計量，再安排平行四邊形的面積計算，推導中將平行四邊形轉化成長方形，然后以平行四邊形為基礎，將三角形、梯形轉化為平行四邊形，最后將圓形轉化為平行四邊形或長方形。筆者以為，中間設置的平行四邊形面積計算可以略化，突出長方形面積的計量，三角形和梯形都可以轉化成長方形來完成面積計算的推導。而且，進行了如此的有序推導后，教師要在階段復習中著意安排學生進行自我探究，任其隨意推導，探究新的推導思路。比如，將各種平面圖形都轉化為三角形或者梯形，推導出各自的面積計算公式，這里教師可以放手讓學生自由探究。又如，可以引導學生通過折三角形紙片，將三個內角拼成一個平角，這樣三角形紙片就變為雙層的小長方形了，其中的長和寬分別是原三角形底與高的一半，面積的推導就不難借助算式變形實現了。事實上，各種基本平面圖形都是可以相互轉化的，教師要讓學生通過動手操作，實行多通道、多途徑的圖形靈活轉化，而不是局限于教材的一種固定思路，這對培養學生思維的靈活性、獨創性很有價值。同時，這樣教學，可大大深化學生對面積計算方法的理解，提升學生對數學知識的掌握水平。

4．公式理解運用靈活發散

對于各種基本平面封閉圖形的面積計算公式的理解，其核心是乘法，是兩維長度求其積。要讓學生真正理解這一點，教師可以在幾個教學環節中精心凸顯一些細節的安排。如：（1）圓形可以寫成半徑與半周相乘的形式。（2）對三角形和梯形面積計算公式中的“加法”與“除以2”，相對于基本核心計算的乘法而言，屬于另類計算。這里要說明是為了取得一個方向上長度的平均值，屬于基本核心計算方法的先導和輔助部分。（3）對于公式中“除以2”的部分，應當引導學生突破固化的理解。“除以2”，不總是理解為將平行四邊形面積除以2，可以是將底長除以2，為求底的一半，即“半底”（古人稱為“半廣”）；或者是將高除以2，求高的一半，即“半高”。“除以2”這一部分，在公式中可以前后靈活移動的。（4）要通過對公式中“除以2”部分的靈活移動變形，賦予意義的靈活理解，再現實際對應的圖形形象，以強化圖形的運動和變化觀念，培養學生的空間觀念。

如果平面圖形面積果真能夠如此教學，將會大大提高學生對知識的掌握水平，促進他們空間觀念高效、快速、可持續的建立與發展。