二項自回歸過程在裝備使用數(shù)量統(tǒng)計上的運用

王金山，賀天宇

(陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031)

2)參數(shù)δ和ρ的條件最小二乘(CLS)估計。根據(jù)注(ii)E［Xt|Xt－1］= ρXt－1+nβ，所以參數(shù) δ，ρ的 CLS 估計則可通過極小化

軍事裝備使用數(shù)量統(tǒng)計在軍事上有著重要的現(xiàn)實意義，準(zhǔn)確預(yù)測下一階段裝備的使用數(shù)量對合理安排裝備保養(yǎng)、維修等能提供非常有價值的信息。而裝備使用數(shù)量是一個隨時間變化而變化的整值數(shù)據(jù)序列。普通的預(yù)測模型都是針對連續(xù)變化數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測的，而很難用于解決離散的整值序列預(yù)測問題。要解決此類問題，必須利用整值時間序列模型。

對于整值時間序列的研究最早興起于上世紀(jì)80年代，近年來再次引起眾多讀者的廣泛關(guān)注。學(xué)者們建立了大量的整值時間序列模型，用以解決不同類型的整值數(shù)據(jù)預(yù)測。然而，整值時間序列模型在軍事上的應(yīng)用研究卻鮮有報道。鑒于此，本文研究了一類二項自回歸過程及其在軍事裝備使用數(shù)量統(tǒng)計上的一個運用。

1 模型的定義

整值時間序列模型的建立，成果頗多，其主要分為稀疏(thinning)算子;狀態(tài)空間，這兩個分支，特別是thinning算子的研究更為普遍。

關(guān)于稀疏算子最早是由Steutal＆Van Harn［1］在1979年提出的，定義為

其中:α∈(0，1);X是非負(fù)整值隨機變量;Bi為獨立同分布的Bernoulli隨機變量且獨立于X，滿足P(Bi=1)=1－P(Bi=0)=α。

基于稀疏算子的整值時間序列模型，多是在INAR(1)模型的基礎(chǔ)上建立的，其定義為

定義1 稱{Xt}為INAR(1)過程，若它滿足如下的方程:

其中 α∈［0，1)，εt為 i.i.d.的非負(fù)整值的隨機變量，其中 E(εt)= με，Var(εt)= σ2ε。

INAR(1)族的模型，雖然能夠?qū)φ禃r間序列問題進(jìn)行很好的預(yù)測，但是這一類模型的數(shù)據(jù)上限不可控，預(yù)測出的結(jié)果可能很大，甚至超出實際的裝備數(shù)量，產(chǎn)生錯誤預(yù)測。鑒于此問題，本文擬用上限可控的二項自回歸模型對部隊裝備數(shù)量預(yù)測進(jìn)行研究。下面給出二項自回歸模型的定義:

其中所有的稀疏算子相互獨立。

該模型是比較易于從直觀上理解的，例如如果某系統(tǒng)由n個相互獨立的單元構(gòu)成，且每個單元所處的狀態(tài)只有0或1，令Xt表示在時刻t時系統(tǒng)處于狀態(tài)“1”的單元個數(shù)，則由兩部分組成，首先 α ?Xt－1表示在 t－1時刻處于狀態(tài)“1”的單元在時刻t仍然處于狀態(tài)“1”的個數(shù);其次，β ?(n－Xt－1)表示在t－1時刻狀態(tài)為“0”的單元在時刻t處于狀態(tài)“1”的個數(shù)。

假設(shè)某一部隊有裝備數(shù)n個，如果我們把裝備處于使用的狀態(tài)記為“1”，裝備處于閑置狀態(tài)記為“0”，則裝備的每日使用情況及預(yù)測問題就可以很好的和二項自回歸模型相吻合，Xt即表示t時刻該裝備的使用數(shù)量。因此，二項自回歸模型理論上可以很好的應(yīng)用在部隊裝備的統(tǒng)計預(yù)測方面，這也為裝備的維護(hù)提供了可靠地依據(jù)。關(guān)于二項自回歸模型，不難得到如下結(jié)論:

2 模型參數(shù)估計

為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，必須要知道模型中的參數(shù)，而對參數(shù)的估計方法很多，每種都有各自的優(yōu)點，為了提高參數(shù)估計的精度，進(jìn)而提高數(shù)據(jù)預(yù)測的精度，本文擬采用Yule-Walker估計，CLS估計和QL估計3種估計方法對模型的參數(shù)進(jìn)行估計，最后，以3種估計的平均值作為最終參數(shù)估計值。

假設(shè)X1，X2，…，XN是來自模型(3)的一組樣本，對于參數(shù)δ和ρ的估計，可以由注(i)和注(ii)的結(jié)論，通過Yule-Walker估計和條件最小二乘估計(CLS估計)的方法給出估計值。

1)參數(shù) δ和 ρ Yule-Walker估計。Wei β［2］給出了模型(3)參數(shù)δ和ρ Yule-Walker估計，其表達(dá)式為

2)參數(shù)δ和ρ的條件最小二乘(CLS)估計。根據(jù)注(ii)E［Xt|Xt－1］= ρXt－1+nβ，所以參數(shù) δ，ρ的 CLS 估計則可通過極小化

得到。

3)參數(shù)δ和ρ的擬似然(QL)估計。令θ=(η，?)，其中η=ρ(1－ρ)(1－2δ)，? =nβ(1 －β)，則根據(jù)注(iii)可以得知:?θ(Xt|Xt－1)=Var(Xt|Xt－1)= ηXt－1+ ?，另外，若進(jìn)行重新參數(shù)化 nβ?λ，則 E［Xt|Xt－1］= ρXt－1+ λ，此時，只需要對τ =(ρ，λ)'進(jìn)行估計即可。

根據(jù)擬似然函數(shù)方法可得標(biāo)準(zhǔn)的估計方程組如下:

首先假設(shè)θ是已知的，記τ為方程組的解，若θ未知，則可以先通過其他的手法求得θ的相合估計，然后求解響應(yīng)的修改的估計方程組，可以得出如下的估計因子，

3 實例分析

考慮某軍事單位共有某裝備25臺，持續(xù)記錄200 d的裝備使用情況，將這200 d的該裝備使用情況登記表看成是模型(3)的一組樣本，其樣本路徑圖如圖1所示。

圖1 樣本路徑

根據(jù)樣本值，本文分別采用 Yule-Walker估計，CLS估計，QL估計對模型參數(shù)δ和ρ進(jìn)行估計，得到估計值如表1所示。

表1 樣本參數(shù)估計表

4 結(jié)束語

二項自回歸過程對裝備數(shù)量統(tǒng)計上的預(yù)測效果良好，它不需要已知裝備使用數(shù)量之間的先驗轉(zhuǎn)移概率，而是通過真實數(shù)據(jù)，進(jìn)行參數(shù)估計得到裝備使用數(shù)量之間的后驗信息，進(jìn)而增強了預(yù)測客觀性、提高了預(yù)測精度。因此，該模型在軍事裝備數(shù)量統(tǒng)計等方面具有較強的應(yīng)用價值。

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(責(zé)任編輯楊繼森)