探索性因子分析中主軸法下的平行分析

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探索性因子分析中主軸法下的平行分析

高石1，楊莉萍1*，白福寶2

(1.南京師范大學心理學院，南京 210097；2.安徽農業大學人文社會科學學院，合肥 230036)

摘要：在探索性因子分析中，決定因子的提取數至關重要。平行分析是確定因子提取數較為常用的方法。目前國內的心理學研究較多使用主成分方法下的平行分析，對主軸方法下的平行分析則鮮有論及。本研究介紹了主軸方法下平行分析的原理，并以具體實例說明了該方法在心理統計中的具體運用，希望藉此解決以傳統方法確定因子提取數所存在的問題。

關鍵詞：探索性因子分析；主軸法；平行分析

1以傳統方法確定因子提取數存在的問題

因子分析是目前使用最為廣泛的多元統計分析方法。它是用少數幾個因子來描述許多指標或變量間的聯系，在某一事物所蘊含的眾多變量中尋找能夠描述該事物的幾個潛變量(或因子)的統計方法。該方法最早于1904由英國心理學家斯皮爾曼在研究智力結構時提出。其發表的論文《客觀決定和測量一般智力》(General Intelligence，Objectively Determined and Measured)被視為因子分析方法誕生的標志。然而，在使用因子分析方法的過程中，確定因子提取的個數一直是個比較棘手但又至關重要的問題。有研究者認為，它可能比因子提取和因子旋轉方式的選擇更為重要。

目前確定因子提取個數最為常用的方法是特征值大于1準則和Cattell陡階檢驗(又稱碎石圖檢驗)。這兩種方法之所以常用，可能在于它們是SPSS的默認選項。然而這些方法自身存在一定的局限性。對于特征值大于1準則而言，Hayton(2004)提出存在三種批評：首先，運用特征值大于1準則將得到總體相關矩陣的秩(the rank of population correlation matrix)的下限(Guttman，1954)。相關矩陣的秩等同于最小抽取的因子個數。因此，在實際操作中，我們將其視為抽取因子數的標準并不合理。其次，這一準則適用于總體相關矩陣，而在實際操作中，由于抽取的是樣本，抽樣誤差往往會增加矩陣的秩，導致所抽取的因子數過多(Horn，1965)。第三，研究者有時會面臨特征值略高或略低于1的情況。在使用這一規則時，常常表現得武斷(Fabrigar et al.，1999)。當前在SPSS中，無論使用哪一種因子提取方法，都使用特征值大于1的準則。而有研究者指出，這一準則只適用于主成分分析，在主軸法中是不適用的(Russell，2002)。對于Cattell陡階檢驗，因其主觀性和武斷性，所遭受的批評更多。例如，在特征值之間不存在明顯突變(break)時，很難確定適當的因子提取數。

2基于主軸因子法的平行分析原理

在眾多確定因子提取數的方法之中，平行分析(Parallel Analysis)是較為理想的方法之一。該方法是由Horn(1965)提出的平行檢驗方法發展而來。平行分析基于對矩陣特征值的計算與比較，通過比較真實數據矩陣與隨機數據矩陣特征值的平均值或第95百分位數來決定因子的取舍(Russell，2002)。比較均值或是第95百分位數的結果通常具有一致性。假如出現不一致，則比較第95百分位數可以避免選取因子數過多(Hayton，2004)。因此，平行分析的關鍵在于矩陣特征值的計算。

目前探索性因子分析主要采用兩種方法：主成分分析法和主軸因子法。在使用這兩種方法時，特征值計算所依據的矩陣有所不同，分別為相關矩陣和約相關矩陣。相關矩陣通常表示為R，約相關矩陣通常表示為R*(方便起見，以下直接使用R和R*表示)，由此產生相對應的兩組特征值，即R的特征值和R*的特征值(顏鐵成，2007)。這里R與R*的區別在于矩陣對角線元素。前者對角線元素均為1，后者的對角線元素則可采用多種方法進行估計，例如最大相關法(max|r|)，參照析因迭代法(iteration by refactoring)，復相關系數的平方(squared multiple correlation，簡稱SMC)等(王權，1993)。此外，Widaman(1985)提出，可用復相關系數的平方作為初始估計，通過不斷迭代，使用最小二乘法來估計矩陣的對角線元素。

主成分分析是依據R的特征值進行，其假定所有觀測變量的方差都能為公因子所解釋，即公因子方差為1。而主軸因子法則是基于R*的特征值進行的，其假定所有觀測變量的方差不一定完全被公因子所解釋，公因子方差不一定是1?；绢A設不同原本是主成分分析與主軸因子法之間的一個重要區別(孫曉軍，周宗奎，2009)。但在實際運用中，無論是采用主成分分析還是主軸因子法，SPSS所給出的特征值都是基于主成分分析法所得到的特征值(顏鐵成，2007)。有研究者比較這兩組特征值的大小，發現R矩陣的特征值通常要比R*的特征值要大(顏鐵成，2007)。因此，在采用主軸因子方法的前提下，根據SPSS所輸出的特征值來進行平行分析是不合理的。

主軸法下平行分析的做法應該是：首先對約相關矩陣R*的主對角線元素進行估計，產生真實數據的約相關矩陣R*的估計矩陣，以此計算出對應的特征值。再按照相同過程計算出隨機矩陣的約相關矩陣R*的特征值。隨機矩陣的被試人數和變量數要求與真實矩陣相同。因為特征值代表了因子所解釋的變異，通過比較真實數據的特征值與隨機數據的特征值可以決定因子的取舍。當從真實數據中抽取的因子所解釋的變異比從模擬的隨機數據中抽取的相應因子所解釋的變異大時，應保留該因子，否則當舍棄。

以下擬借助一個實例，說明在主軸因子法下應如何正確使用平行分析。

3基于主軸因子法的平行分析實例

3.1工具性軟件

實現平行分析的具體方法有很多，例如在SPSS、SAS中通過編寫程序語言來實現(Oconnor，2000)，或使用具有平行分析功能的軟件Vista(The Visual Statistics System)(Young，2003)等。前者所涉及的軟件雖具有較高的普及性，但編寫程序語言并非易事。盡管已經有研究者公布了這一實現過程的程序語言，然而對于一般的初學者，仍然很不方便。因此，本研究選擇采用第二種方法。Vista是由北卡羅來納州大學教堂山分校教授Young及其學生歷時10年開發的一種可視化統計分析軟件。該軟件是公開、免費的，可以直接從開發者的網站下載。軟件的安裝、運行、導入數據、分析數據等一系列操作均在可視化操作界面上完成，易于掌握。

3.2數據來源

本案所使用的數據來自一項對大學生公正感的問卷調查研究。該研究在文獻研究的基礎上，通過規范的量表編制程序，編制了與大學生公正感有關的特質公正感問卷，來了解大學生公正感的基本情況。該問卷采用自陳方式，共包含24個題項，從“1-非常不符合”到“5-非常符合”，共分五個等級計分。

本案采用分層隨機抽樣，在福建、浙江和江蘇3省的六所大學抽取大學生被試，共發放問卷430份，回收有效問卷409份，回收有效率為95.12%。信度檢驗表明為，問卷測量的內部一致性系數為0.882，達到顯著水平。

3.3統計處理

首先，使用SPSS16.0對數據進行分析，數據的KMO測量值為0.860，處于0.80.9之間，表明適合作因子分析。本研究的主要目的在于提供如何在主軸法下進行平行分析的樣本，因而選用主軸法來提取因子和計算特征值。表1是使用Vista對數據進行平行分析得出的結果，同時根據表1結果繪制了圖1：

表1　真實樣本與隨機樣本的特征值比較

圖1　真實數據特征值與隨機數據特征值比較

從表1可以看出，真實數據特征值在第八個因子時大于隨機數據特征值的平均值，但小于95%分位值。根據前文提到的原則，比較隨機數據特征值第95百分位數，保留七個因子。同時應參考這七個因子對方差的累積貢獻率以及經旋轉后因子的可解釋性。如果這七個因子的方差貢獻率太低，則可考慮適當多保留一些因子。圖1顯示，因子數在13以后出現了負值。這是因為當R的對角線元素被小于單位1的數取代后，比如，用變量的公共因素的估計值取代后，從理論上說，矩陣的R的正定和半正定特性將得以保持。但在實際操作中，約相關矩陣R*并沒有保持正定和半正定性，此即會有負的特征值出現(王權，1993)。

在此需要說明的是，由于對R*的對角線元素進行估計有多種方法，因此采用不同的估計方法所算出的特征值會略有不同，但并不會對平行分析的結果產生實質性影響。本研究所使用的Vista在對R*對角線元素進行估計時，采用的是前文提到的復相關系數的平方作為估計值，進而計算出特征值。這一方法與前文提到的SPSS程序語言所使用的方法一致(Oconnor，2000)。另外，對于因子個數的保留問題還應參照其他標準，進行綜合判斷，即在遵守簡約性原則與完備性原則的前提下，根據研究者前期的理論建構、自身的專業知識及研究經驗綜合決定因子的取舍(沐守寬，顧海根，2011)。

致謝：感謝美國西北大學William.Revelle教授，愛荷華州立大學Daniel W.Russell教授以及南京師范大學數學系周宇給予本研究的指導和幫助。

參考文獻

沐守寬，顧海根.(2011).探索性因素分析因子抽取方法的比較.心理學探新，31(5)，477-484.

孫曉軍，周宗奎.(2005).探索性因素分子分析及其在應用中存在的主要問題.心理科學，28(6)，1440-1442.

王權.(1993).現代因素分析.杭州：杭州大學出版社.

顏鐵成.(2007).因素分析中三種特征值大小的比較.統計與決策，4，134.

Fabrigar，L.R.，Wegener，D.T.，MacCallum，R.C.，& Strahan，E.J.(1999).Evaluating the use of exploratory factor analysis in psychological research.PsychologicalMethods，4，272-299.

Guttman，L.(1954).Some necessary conditions for common factor analysis.Psychometrika，19，149-162.

Hayton，J.C.(2004).Factor retention decisions in exploratory factor analysis：A tutorial on parallel analysis.OrganizationalResearchMethods，7(2)，191-205.

Horn，J.L.(1965).A rationale and test for the number of factors in factor analysis.Psychometrika，32，179-185.

Oconnor，B.P.(2000).SPSS and SAS programs for determing the number of components using parallel analysis and Velicer’s MAP test.BehaviorResearchMethods，32(3)，396-402.

Russell，D.W.(2002).In search of underlying dimensions：The use(and abuse)of factor analysis in personality and social psychology bulletin.PersonalityandSocialPsychologyBulletin，28(12)，1629-1646.

Widaman，K.F.，& Herringer，L.G.(1985).Iterative least squares estimates of communality：Initial estimate need not affect stabilized value.Psychometrika，50，469-477.

Young，F.W.(2003).Vista(The Visual Statistics System).[computer software] [on-line].Retrieved from http：//forrest.psych.unc.edu/research/index.html.

The Application of Parallel Analysis Based on(Using)the Principal

Axis Factoring in Exploratory Factor Analysis

Gao Shi1，Yang Liping1，Bai Fubao2

(1.School of Psychology，Nanjing Normal University，Nanjing 210097；

2.School of Humanities & Social Sciences，Anhui Agricultural University，Hefei 230036)

Abstract：The decision of how many factors to retain is a critical issue in exploratory factor analysis.Parallel analysis(PA)is one of the most commonly used methods.Present domestic studies have focused mainly on parallel analysis using principal component factoring(PA-PCF)，but parallel analysis using principal axis factoring(PA-PAF)is rarely found.In this article，the rationale of PA-PAF is introduced and the specific procedure of conducting PA-PAF in exploratory factor analysis by using raw data is presented in order to deal with the challenge of factor retention encountered in traditional methods.

Key words：exploratory factor analysis；principal axis factoring；parallel analysis

中圖分類號：B841.2

文獻標識碼：A

文章編號：1003-5184(2015)05-0471-03

通訊作者：*楊莉萍，E-mail：lpy2908@yahoo.com.cn。