數(shù)值求解優(yōu)化問(wèn)題在活動(dòng)輪廓模型上的應(yīng)用

廖翠萃，李敏，梁久禎，廖祖華

(1.江南大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 無(wú)錫 214122； 2. 江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122)

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數(shù)值求解優(yōu)化問(wèn)題在活動(dòng)輪廓模型上的應(yīng)用

廖翠萃1，李敏2，梁久禎2，廖祖華1

(1.江南大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 無(wú)錫 214122； 2. 江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122)

摘要：針對(duì)活動(dòng)輪廓模型圖像分割過(guò)程中迭代次數(shù)多，分割速度慢的問(wèn)題，提出一種高階的數(shù)值求解方法。分析活動(dòng)輪廓模型中基于全局信息的CV模型，以及基于局部信息的LBF模型，LIF模型。使用二階、三階Runge-Kutta方法，原始Euler方法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析。并對(duì)LBF模型中平滑項(xiàng)系數(shù)，時(shí)間步長(zhǎng)的選取進(jìn)行討論。通過(guò)對(duì)非同質(zhì)圖像、同質(zhì)圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明，所采用的數(shù)值方法能夠有效地提高數(shù)值收斂精度、減少迭代次數(shù)、計(jì)算效率高。對(duì)不同系數(shù)和時(shí)間步長(zhǎng)，數(shù)值方法也能表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：CV模型；LBF模型；Runge-Kutta方法；數(shù)值求解優(yōu)化；圖像分割

中文引用格式：廖翠萃，李敏，梁久禎，等. 數(shù)值求解優(yōu)化問(wèn)題在活動(dòng)輪廓模型上的應(yīng)用[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2015, 10(6): 886-892.

活動(dòng)輪廓模型[1]圖像分割方法近年來(lái)得到了很好的發(fā)展，大體可分為基于圖像邊界信息的分割和基于圖像區(qū)域信息的分割模型2種。其中基于圖像區(qū)域信息的Chan-Vese(CV)模型[2]，主要是依賴于圖像全局的灰度信息，再使用曲線演化理論和水平集方法。模型的求解過(guò)程可以轉(zhuǎn)化為尋找能量泛函的極小值問(wèn)題，通常采用顯示歐拉的數(shù)值求解方法[3]，通過(guò)變分法得到能量泛函的Euler-Lagrange方程，最后用有限差分方法進(jìn)行迭代求解。

CV模型中水平集函數(shù)增加了其計(jì)算量，存在著耗時(shí)長(zhǎng)、效率低以及易于陷入局部極小值等問(wèn)題。 針對(duì)模型的改進(jìn)，李春明等[4]提出的處理強(qiáng)度不均勻圖像的局部二元擬合模型；此外，潘改等[5]結(jié)合了LBF模型和GAC活動(dòng)輪廓模型這2種方法，能有效地處理弱邊界圖像的分割；張開華等[6]提出的局部圖像擬合模型，基于高斯濾波的變分水平集方法來(lái)處理強(qiáng)度不均勻的圖像分割；劉瑞娟等[7]提出的融合局部和全局信息的活動(dòng)輪廓模型方法；王小峰等[8]提出了一種局部CV活動(dòng)模型，將局部圖像信息融入到模型中。對(duì)于數(shù)值求解方面的改進(jìn)，如牛頓方法、與置信域相結(jié)合的一般牛頓方法[9]以及在此基礎(chǔ)上的改進(jìn)牛頓方法。此外還有二階、三階Runge-Kutta方法[10]在CV模型上的應(yīng)用。這些算法都能有效地增加了模型的求解速度，并針對(duì)不同的問(wèn)題都有所改進(jìn)。目前，CV模型被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像分割，并具有很好的發(fā)展前景。

本文在優(yōu)化模型的同時(shí)，主要對(duì)模型的數(shù)值求解過(guò)程進(jìn)行分析改進(jìn)。首先，分析活動(dòng)輪廓模型中基于全局信息的CV模型，以及基于局部信息的LBF模型、LIF模型。使用二階、三階Runge-Kutta方法，并與Euler方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。主要圍繞LBF模型中平滑項(xiàng)系數(shù)，時(shí)間步長(zhǎng)的選取進(jìn)行討論。最后通過(guò)對(duì)非同質(zhì)圖像和同質(zhì)灰度圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明，該模型能夠有效地提高數(shù)值求解的迭代次數(shù)，計(jì)算效率高，對(duì)不同系數(shù)，時(shí)間步長(zhǎng)的穩(wěn)定性好。

1活動(dòng)輪廓模型

1.1基于全局區(qū)域信息的CV模型

(1)

(2)

式中：c1、c2為活動(dòng)輪廓線內(nèi)部和外部的強(qiáng)度均值：

(3)

(4)

式中：H(·)為Hessian函數(shù)。最終的分割輪廓線C的位置及未知常量c1、c2通過(guò)最優(yōu)化能量泛函得到：

(5)

1.2基于局部區(qū)域信息的LBF模型及LIF模型

李春明等[4]提出的局部二元擬合模型，有效地解決了C-V模型難以準(zhǔn)確分割強(qiáng)度不均勻圖像的問(wèn)題，該模型使用了圖像的局部信息，引入一個(gè)以高斯函數(shù)為核函數(shù)的局部二值擬合能量泛函代替C-V模型的全局二值擬合能量項(xiàng)．對(duì)于任意像素點(diǎn)x，x∈Ω，其擬合項(xiàng)能量泛函：

(6)

式中：輪廓曲線將圖像分為區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外。f1(x)和f2(x)分別為像素點(diǎn)x在區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的灰度擬合值，具體由像素點(diǎn)x鄰域內(nèi)各個(gè)像素點(diǎn)所確定。Kσ(x-y)是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯核函數(shù)，通常取式(7)表達(dá)式：

(7)

當(dāng)σ的取值過(guò)大時(shí)，計(jì)算量增大；而σ的取值過(guò)小時(shí)，獲取局部區(qū)域灰度變化信息的能力降低，一般σ取5。

關(guān)于嵌入函數(shù)φ(·)的能量泛函最小值得到f1(x)和f2(x)：

(8)

(9)

局部圖像擬合(LIF)模型是基于LBF提出的改進(jìn)區(qū)域活動(dòng)輪廓模型，利用分片光滑函數(shù)近似待分割圖像。與LBF模型相類似，LIF模型采用了像素點(diǎn)和鄰域像素點(diǎn)差值來(lái)擬合能量。最后采用高斯濾波器，使得模型對(duì)噪聲具有較好的魯棒性和平滑性。其能量泛函的水平集形式可以表示：

(10)

綜上所述，LBF、LIF模型和C-V模型都是求取全局最小的能量泛函，因此對(duì)乘性噪聲都具有良好的抗噪性，能分割弱邊界或者無(wú)邊界的圖像目標(biāo)，并且初始曲線可設(shè)置在圖像任意位置。與C-V模型相比，LBF方法和LIF方法的高斯核函數(shù)能獲得圖像灰度變化的信息，能更準(zhǔn)確分割灰度不均勻的圖像。LBF方法的能量泛函是以全局誤差平方和最小的準(zhǔn)則建立起來(lái)的，在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。LIF在LBF的基礎(chǔ)上，對(duì)含有噪聲圖像的處理結(jié)果更加理想。

但是，上述模型在分割灰度值不均勻的復(fù)雜圖像時(shí)，真實(shí)的目標(biāo)和背景的誤差平方和往往不是全局最小，而是局部最小。因此，模型的能量泛函不能準(zhǔn)確描述復(fù)雜圖像的目標(biāo)和背景的特征，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤分割，或者陷入局部極小值的情況。本文從數(shù)值求解優(yōu)化的角度出發(fā)，使用高精度的二階、三階Runge-Kutta方法，對(duì)CV模型、LBF模型、RIF模型的數(shù)值求解進(jìn)行討論分析，加快模型的收斂速度，在更少的迭代次數(shù)內(nèi)得到更為精確的數(shù)值解。

2數(shù)值求解方法

本文使用二階、三階Runge-Kutta方法，對(duì)活動(dòng)輪廓模型中有代表性的CV模型、LBF模型、LIF模型的數(shù)值求解問(wèn)題進(jìn)行討論分析。

對(duì)活動(dòng)輪廓模型迭代求解時(shí)，使用水平集變分法對(duì)能量泛函求解，原始CV模型及LBF模型能量泛函均可簡(jiǎn)化寫為

(11)

水平集函數(shù)初始化定義為

(12)

變分法最小化能量泛函E使用Heaviside函數(shù)：

(13)

(14)

對(duì)于Euler-Lagrange方程的數(shù)值求解，傳統(tǒng)的方法是采用Euler方法，本文將采用二階、三階Runge-Kutta方法,這2類數(shù)值方法的構(gòu)造思想如下。

2.1Euler 方法

(15)

(16)

式中：iter為迭代次數(shù)。Euler方法形式簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快、易于求解，但其在數(shù)值精度和數(shù)值穩(wěn)定性方面表現(xiàn)較弱。

2.2Runge-Kutta 方法

二階Runge-Kutta可以表示為

(17)

對(duì)活動(dòng)輪廓模型數(shù)值求解時(shí)，二階RK格式為

(18)

三階RK格式為

(19)

Runge-Kutta方法是求解非線性微分方程的重要數(shù)值迭代方法，是Euler方法的一種推廣。它提高了計(jì)算收斂精度，縮小截?cái)嗾`差，并且具有更好的穩(wěn)定性。Runge-Kutta方法的導(dǎo)出基于Taylor展開，對(duì)所求問(wèn)題的解具有較好的光滑度，可以使近似公式達(dá)到所需要的階數(shù)，并且能夠有效提高方法的精度。計(jì)算時(shí)使用Euler-Lagrange函數(shù)在若干點(diǎn)上函數(shù)值的線性組合來(lái)構(gòu)造近似公式，因此會(huì)在時(shí)間復(fù)雜度上造成線性的倍數(shù)增加[14-15]。本文采用的顯式二階三階Runge-Kutta方法并不會(huì)在計(jì)算復(fù)雜度上造成過(guò)多的影響。

對(duì)模型中的空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的數(shù)值離散采用有限差分方法。本文選擇二階精度的中心差分方法進(jìn)行數(shù)值的近似求解，對(duì)φi,jn進(jìn)行半點(diǎn)中心差分，其偏導(dǎo)數(shù)為

(20)

(21)

3實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)是在Matlab R2011b平臺(tái)上進(jìn)行的， 所用的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)配置如下：CPU為Intel(R) Core(TM) i5-3470; 主頻為@3.20 GHz; 內(nèi)存為4 GB; 操作系統(tǒng)為Microsoft Windows7 Professional。實(shí)驗(yàn)選用的素材參考文獻(xiàn)[11]，采用的評(píng)價(jià)方法參考文獻(xiàn)[12-13]。

3.1LBF模型的參數(shù)討論

第1部分的參數(shù)討論分析中，LBF模型對(duì)活動(dòng)輪廓模型Euler-Lagrange函數(shù)，即式(14)的長(zhǎng)度項(xiàng)光滑項(xiàng)系數(shù)nu值，以及時(shí)間步長(zhǎng)△t比CV模型，LIF模型更加敏感。因此，本文在式(14)中使用擬合項(xiàng)FLBF，即式(6)。分別對(duì)LBF模型中的不同時(shí)間步長(zhǎng)△t和不同光滑系數(shù)項(xiàng)nu進(jìn)行3種數(shù)值求解方法的實(shí)驗(yàn)討論。

3.1.1對(duì)光滑系數(shù)項(xiàng)nu值的討論

首先，本文對(duì)LBF模型中的時(shí)間步長(zhǎng)△t和光滑系數(shù)項(xiàng)nu進(jìn)行討論。固定時(shí)間步長(zhǎng)△t=0.1，對(duì)光滑項(xiàng)系數(shù)nu=0.001×255×255到nu=0.005×255×255的結(jié)果進(jìn)行討論。圖1~3中iter為模型迭代次數(shù)。

圖1　顯式Euler方法的圖像分割結(jié)果Fig.1　Segment results by explicit Euler method

圖2　RK-2方法的圖像分割結(jié)果Fig.2　Segment results by RK-2 method

圖3　RK-3方法的圖像分割結(jié)果Fig.3　Segment results by RK-3 method

觀察圖1~3( 79×75)可知，Euler方法、二階RK方法、三階RK方法在nu≤0.001×255×255時(shí)，實(shí)驗(yàn)分割結(jié)果不穩(wěn)定，會(huì)造成圖片左側(cè)的誤分割現(xiàn)象；而當(dāng)nu>0.005×255×255時(shí)，實(shí)驗(yàn)的分割結(jié)果會(huì)陷入局部極小值，不能對(duì)圖像完全分割；而當(dāng)值處于0.001×255×255

3.1.2對(duì)光滑系數(shù)項(xiàng)nu值的討論

固定光滑項(xiàng)系數(shù)nu=0.003×255×255，對(duì)△t=0.01,0.05,0.1,0.2,0.3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行討論。本文選取比較有代表性的4個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，對(duì)不同時(shí)間步長(zhǎng)下的Euler方法、二階RK方法、三階RK方法進(jìn)行討論分析。觀察圖4~6(size 127×96)，當(dāng)△t=0.01時(shí)，三階RK方法需要迭代800次才能得到最終的結(jié)果，而當(dāng)△t=0.05,0.1,0.2時(shí)，迭代次數(shù)依次遞減。而當(dāng)△t>0.2，取△t=0.3時(shí)，3種方法都不能得到圖像的正確分割結(jié)果。綜合考慮，本文所使用的RK3方法在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，不同的時(shí)間步長(zhǎng)下，均能在更少的迭代次數(shù)內(nèi)得到正確的分割結(jié)果。

圖4　顯式Euler方法的圖像分割結(jié)果Fig.4　Segment results by explicit Euler method

圖5　RK-2方法的圖像分割結(jié)果Fig.5　Segment results by RK-2 method

圖6　RK-3方法的圖像分割結(jié)果Fig.6　Segment results by RK-3 method

3.2不同灰度圖像分割實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在第2部分實(shí)驗(yàn)中，本文分別討論使用LIF模型中的局部信息擬合項(xiàng)FLIF和全局信息擬合項(xiàng)FCV時(shí)，對(duì)強(qiáng)度不均勻的圖像和一般灰度圖像的3種數(shù)值求解方法的進(jìn)行分析。

3.2.1局部信息擬合項(xiàng)對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像的分析

實(shí)驗(yàn)中所選圖例均為圖像分割實(shí)驗(yàn)中的經(jīng)典圖例。在對(duì)強(qiáng)度不均勻圖像的處理中，本文選擇LIF模型中的考慮局部信息的擬合項(xiàng)FLIF，其形式與式(6)中的FLBF擬合項(xiàng)格式相同，在最后采用高斯濾波器，使得模型對(duì)噪聲具有較好的魯棒性和平滑性。參數(shù)設(shè)置時(shí)，統(tǒng)一設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)△t=0.1，光滑項(xiàng)系數(shù)nu設(shè)置為4幅圖像的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)中的最優(yōu)參數(shù)：(a)nu=0.003×255×255，(b)nu=0.002×255×255，(c)nu=0.001×255×255，(d)nu=0.001×255×255。

圖7　顯式Euler方法的圖像分割結(jié)果Fig.7　Segment results by explicit Euler method

圖8　RK-2方法的圖像分割結(jié)果Fig.8　Segment results by RK-2 method

圖9　RK-3方法的圖像分割結(jié)果Fig.9　Segment results by RK-3 method

Table 1Running time comparison of inhomogeneous images/s

方法圖3(a)119×78圖3(b)111×110圖3(c)103×131圖3(d)128×128Euler0.1420.4350.5560.122RK-20.1940.7311.1110.203RK-30.3121.1001.6130.310

通過(guò)觀察圖7~9可知，在有限的迭代次數(shù)下，二階RK方法均能更快地得到最終解，其中RK-2方法的收斂速度也明顯優(yōu)于Euler方法；而對(duì)比表1中數(shù)據(jù)可知，由于二階、三階RK方法的計(jì)算復(fù)雜度上比Euler方法更高，二階RK及三階RK方法整體運(yùn)行時(shí)間上略慢于Euler方法。然而其收斂速度，精確度均比Euler方法更好。

3.2.2全局信息擬合項(xiàng)對(duì)一般灰度圖像的分析

在對(duì)一般灰度圖像實(shí)驗(yàn)分析時(shí)，本文使用式(2)的全局信息擬合能量項(xiàng)FCV，對(duì)3幅比較有代表性的一般圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析。統(tǒng)一設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)△t=1，光滑項(xiàng)系數(shù)nu=0.001×255×255。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10~12所示。

圖10　顯式Euler方法的圖像分割結(jié)果Fig.10　Segment results by explicit Euler method

圖11　RK-2方法的圖像分割結(jié)果Fig.11　Segment results by RK-2 method

圖12　RK-3方法的圖像分割結(jié)果Fig.12　Segment results by RK-3 method

從圖10(a)、11(a)、11(a)中可以看出，采用Euler方法，本文二階、三階RK方法得到的分割結(jié)果類似，均能在2次迭代之后收斂。這里主要是因?yàn)閳D像的分辨率較小且圖像自身簡(jiǎn)單。此時(shí)，3種方法均能得到正確結(jié)果；再觀察圖10(b)、11(b)、12(b)，二階RK及三階RK均能得到正確的分割結(jié)果，而Euler方法分割不完全，且?guī)в性S多不連續(xù)點(diǎn)；對(duì)含有大量噪聲的圖10(c)、11(c)、12(c)，3種模型的抗噪能力均比較差，在迭代20次時(shí)，模型分割都帶有大量噪點(diǎn)。也表明了本文方法沒有在魯棒性上著重改進(jìn)。觀察表2可知，當(dāng)使用全局能量擬合項(xiàng)時(shí)，本文二階、三階RK模型，與Euler方法運(yùn)行時(shí)間相近，且能得到更準(zhǔn)確的分割結(jié)果。綜上所述，本文方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

表2一般灰度圖像分割運(yùn)行時(shí)間對(duì)比數(shù)據(jù)

Table 2Running time comparison of general gray images /s

方法圖4(e)84×84圖4(f)128×128圖4(g)256×256Euler0.0300.0480.302RK-20.0340.0390.444RK-30.0380.0410.602

4結(jié)束語(yǔ)

本文使用高階數(shù)值求解優(yōu)化方法解決水平集變分圖像分割問(wèn)題。通過(guò)將二階、三階Runge-Kutta方法，與傳統(tǒng)Euler方法在基于全局區(qū)域信息的CV模型，及基于局部區(qū)域信息的LBF、 LIF模型上實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析可知：本文模型對(duì)光滑項(xiàng)系數(shù)及不同時(shí)間步長(zhǎng)的情況下，均能更快地得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并有效提高了分割的精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，RK-2、RK-3方法的使用提高了計(jì)算精度、減少迭代次數(shù)、減小迭代誤差，且比Euler方法具有更好地穩(wěn)定性。然而RK-2、RK-3方法在在計(jì)算復(fù)雜度上比傳統(tǒng)Euler方法較為復(fù)雜。因此，從模型和數(shù)值求解優(yōu)化問(wèn)題相結(jié)合的角度出發(fā)，如何選擇更優(yōu)的數(shù)值求解方法，以得到更優(yōu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將作為今后繼續(xù)研究發(fā)展的一個(gè)方向。

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廖翠萃, 女, 1983年生, 博士, 講師。發(fā)表SCI檢索論文4篇、CSCD論文4篇，主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目1項(xiàng)。主要研究方向?yàn)楸＝Y(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算方法。

李敏, 女, 1990年生, 碩士。發(fā)表CSCD論文一篇，主持江蘇省研究生科研實(shí)踐項(xiàng)目一項(xiàng)。 主要研究方向數(shù)字圖像處理。

梁久禎, 男, 1968生， 教授,博士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)器視覺、圖像處理等。在專業(yè)雜志與國(guó)內(nèi)外會(huì)議等發(fā)表學(xué)術(shù)論文120余篇，其中被SCI檢索8篇、EI檢索33篇、CSCD檢索 60篇。主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目1項(xiàng)、省部級(jí)項(xiàng)目3項(xiàng)。

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20151110.1354.016.html

英文引用格式：LIAO Cuicui，LI Min，LIANG Jizhen，et al. Application of a numerical solution to the optimization problem in the active contour model[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10(6): 886-892.

Application of a numerical solution to the optimization problem

in the active contour model

LIAO Cuicui1， LI Min2， LIANG Jiuzhen2， LIAO Zuhua1

(1. Department of Information and Computaion Science, College of Science, Jiangnan University, Wuxi 214122, China; 2. Institute of Intelligent Systems and Network Computing, School of Internet of Things Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China)

Abstract：In this paper, we analyze numerical optimization procedures and propose high-order numerical methods to deal with the problems of slow convergence and low efficiency in the active contour model. First, we analyze the global information region-based active contour Chan-Vese (CV) model, the local information region-based local binary fitting (LBF) model, and the local image fitting (LIF) model. Then, we compare and analyze image segment results utilizing second-and third-order explicit Runge-Kutta methods, and the standard explicit Euler method. We also analyze the segment results of different sliding coefficient parameters and time steps of the LBF model. The experimental results for the intensity inhomogeneities and common images show that the proposed numerical methods can reduce the number of iterations, and improve convergence accuracy and computational efficiency. In addition, for different coefficients and time steps, the proposed methods yield greater stability.

Keywords：CV model; LBF model; Runge-Kutta method; numerical optimization procedure; image segment

作者簡(jiǎn)介：

通信作者：廖翠萃. E-mail：cliao@jiangnan.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401259)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(jusrr11407).

收稿日期：2015-04-30. 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-11-10.

中圖分類號(hào)：TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-4785(2015)06-0886-07

DOI:10.11992/tis.201507037