二型直覺模糊粗糙集

王金英，韓曉冰，王艷平

(遼寧工業大學 理學院，遼寧 錦州 121001)

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二型直覺模糊粗糙集

王金英，韓曉冰，王艷平

(遼寧工業大學 理學院，遼寧 錦州 121001)

摘要：將二型直覺模糊集和粗糙集理論融合，建立二型直覺模糊粗糙集模型。首先，在二型直覺模糊近似空間中，定義了一對二型直覺模糊上、下近似算子，并討論了二型直覺模糊關系退化為普通二型模糊關系和一般等價關系時，上、下近似算子的具體變化形式。然后，將普通二型模糊集之間包含關系的定義推廣到了二型直覺模糊集，在此基礎上研究了二型直覺模糊上、下近似算子的一些性質。最后，定義了自反的、對稱的和傳遞的二型直覺模糊關系，并討論了這3種特殊的二型直覺模糊關系與近似算子的特征之間的聯系。該結論進一步豐富了二型模糊集理論和粗糙集理論，為二型直覺模糊信息系統的應用奠定了良好的理論基礎。

關鍵詞：直覺模糊集；粗糙集；二型模糊集；二型直覺模糊集；二型直覺模糊粗糙集；近似算子

中文引用格式：王金英，韓曉冰，王艷平. 二型直覺模糊粗糙集[J]. 智能系統學報， 2015, 10(6): 943-948.

自1965年Zadeh首次提出模糊集[1]的概念以來，Zadeh本人以及其他一些學者相繼給出了模糊集的一些推廣形式。其中Atanassov將模糊集推廣到了直覺模糊集[2]以及區間直覺模糊集[3]，Zadeh等將普通模糊集推廣到二型模糊集[4-5]。隨著信息技術的發展，Pawlak于1982年提出了粗糙集[6]的概念，由于模糊集和粗糙集理論在處理不確定性和不精確性問題方面都推廣了經典集合論，因此將2個理論相融合，建立模糊粗糙集成為信息領域研究的主要方向之一。許多學者致力于這方面的研究，分別給出了模糊粗糙集[7]、直覺模糊粗糙集[8-9]等概念。目前，一型廣義模糊粗糙集理論的發展已達到了一個相對完善的狀態。近年來，人們開始著手將模糊粗糙集理論進一步推廣到二型模糊粗糙集[10]，與此同時，二型模糊集的概念也被擴展到了二型直覺模糊集[11]。然而，關于二型直覺模糊集和粗糙集理論相融合的研究目前尚未見到，基于此，本文在二型模糊粗糙集理論的基礎上，利用二型直覺模糊集和二型直覺模糊關系，將文獻[10]中給出的二型模糊粗糙集模型進一步推廣到二型直覺模糊粗糙集模型，同時還討論了一些相關的性質。

1二型直覺模糊集的基本理論

定義1[11]二型直覺模糊集。設U為論域，稱A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈U}為U上的一個二型直覺模糊集。其中

且對?x∈U滿足

μA(x)表示x對A的隸屬程度，vA(x)表示x對A的非隸屬程度。

為敘述方便，將μA(x)和vA(x)分別稱為二型直覺模糊集的主隸屬度和主非隸屬度。

定義2[11]二型直覺模糊集的基本運算。設A、B是論域U上的2個二型直覺模糊集，令

其中

定義運算如下：

1)A∩B={〈x,μA∩B(x),vA∩B(x)〉|x∈U}，

其中

2)A∪B={〈x,μA∪B(x),vA∪B(x)〉|x∈U}，

其中

3)Ac={〈x,vA(x),μA(x)〉|x∈U}。

定理1[11]設A,B,C是論域U上的3個二型直覺模糊集，則下列各式成立：

1)交換律,A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

2)結合律,A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；

3)冪等律,A∪A=A，A∩A=A；

4)對合律,(Ac)c=A；

5)德摩根律,(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc。

一般地，分配律和吸收律不成立。如果限定所有二型直覺模糊集的主隸屬度和主非隸屬度均為標準的凸一型模糊集，那么，分配律和吸收律便成立[10]。

定義3[11]二型直覺模糊關系。設U和W是有限非空論域，定義在直積空間U×W上的二型直覺模糊子集稱為從U到W的二型直覺模糊關系。記為

其中

且對?(x,y)∈U×W，滿足

特別地，當U=W時，二型直覺模糊關系R稱為U×U上的二型直覺模糊關系。

2二型直覺模糊粗糙集及其性質

定義4 設R是U×U上的二型直覺模糊關系，稱(U,R)是二型直覺模糊近似空間，A是論域U上的一個二型直覺模糊集，A關于近似空間(U,R)的上近似和下近似分別是定義在U上的二型直覺模糊集，具體形式如下

其中

下面討論特殊情況下的模型形式。

1)當R退化為U×U上的普通二型模糊關系，A退化為U上的普通二型模糊集時，定義4中的二型直覺模糊粗糙集退化為文獻[10]中的二型模糊粗糙集。

這是因為，對?x,y∈U，此時有

且由文獻[12]可知下式成立：

從而有

即

為普通二型模糊集。

同理可得

為普通二型模糊集。

2)當R退化為U×U上的等價關系，A為U上的二型直覺模糊集時，定義4中的二型直覺模糊粗糙集退化為如下形式：

其中

下面討論定義4中的二型直覺模糊粗糙近似算子的性質。為此先將文獻[12-13]中有關普通二型模糊集之間包含關系的定義推廣到二型直覺模糊集。

定義5 設A、B是論域U上的2個二型直覺模糊集，規定

且vA(x)?vB(x)，其中序關系,?定義為

定義5中的的序關系具有如下性質。

定理2 設A,B,C是論域U上的3個二型直覺模糊集，若A?B，即?x∈U，μA(x)μB(x)且vA(x)?vB(x)。則有下式成立：

證明 由定義5可直接驗證。

證明1)因為

所以

2)若A?B，即?x∈U，μA(x)μB(x)且vA(x)?vB(x)，則有

3)若R1?R2，即?x∈U，μR1(x,y)μR2(x,y)且vR1(x,y)?vR2(x,y)，那么有

需要指出的是，由于上文中研究的二型直覺模糊集的運算不滿足分配律和吸收律，導致二型直覺模糊近似算子的一些性質不成立。例如

都不成立。如果限定所有二型直覺模糊集的主隸屬度和主非隸屬度均為標準的凸一型模糊集，那么上述性質便成立，其原因是：上述性質的證明過程需要使用分配律和吸收律。

為了便于研究和計算，假設下文中討論的所有二型直覺模糊集都滿足如下條件：主隸屬度和主非隸屬度都是標準的凸一型模糊集。

證明1)對于?x∈U，有

類似地，有

4)因為A∩B?A,B，由定理3的性質(2)有

3二型直覺模糊關系與近似算子的特征聯系

定義6 設R是論域U×U上的二型直覺模糊關系，規定

2)R是對稱的??x,y∈U,μR(x,y)=μR(y,x)且vR(x,y)=vR(y,x)。

定理5 設(U,R)是一個二型直覺模糊近似空間，A是論域U上的一個二型直覺模糊集，則下列性質成立：

那么有

并且

2)若R是對稱的，則?x,y∈U,μR(x,y)=μR(y,x)且vR(x,y)=vR(y,x)。

那么有

同理可得

那么有

類似地，有

4結束語

由于二型模糊系統具有較強的魯棒性，在魯棒控制、信號處理和系統辨識領域具有廣泛的應用前景，因此將二型模糊集與粗糙集融合建模無疑具有理論意義和實際價值。直覺模糊集因其在對問題的描述上比模糊集更細膩，成為模糊集的自然推廣，因此二型直覺模糊集與粗糙集的融合在實際應用中將會有更好地效果。本文將二型直覺模糊集和粗糙集相融合，建立二型直覺模糊粗糙集模型，同時給出了上、下近似算子的一些性質，為二型直覺模糊信息系統的約簡奠定了基礎，也為二型直覺模糊信息系統的應用提供了理論保障。

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王金英，女，1981年生，講師，主要研究方向為粗糙集理論、模糊集理論。

韓曉冰，女，1988年生，研究生，主要研究方向為粗糙集理論與應用。

王艷平，女，1965年生，教授，主要研究方向為粗糙集理論、模糊集理論。發表學術論文30余篇。

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20151111.1633.008.html

英文引用格式：WANG Jinying, HAN Xiaobing, WANG Yanping. Type-2 intuitionistic fuzzy rough sets[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10(6): 943-948.

Type-2 intuitionistic fuzzy rough sets

WANG Jinying, HAN Xiaobing, WANG Yanping

(School of science, Liaoning university of technology, Jinzhou Liaoning 121001,China)

Abstract：In this study, we integrate the theories of type-2 intuitionistic fuzzy sets and rough sets to construct a type-2-intuitionistic-fuzzy-and-rough-sets model. First, in type-2 intuitionistic fuzzy approximation space, we define a pair of type-2 intuitionistic fuzzy upper and lower approximation operators. We then discuss specific changes in these upper and lower approximation operators for a situation in which the type-2 intuitionistic fuzzy relations degenerate into common type-2-fuzzy and general-equivalence relations. Next, we generalize the definition of the inclusion relation between general type-2 fuzzy sets as type-2 intuitionistic fuzzy sets. On this basis, we then explored the properties of type-2-intuitionistic-fuzzy upper and lower approximation operators. We then defined reflexive, symmetric, and transitive type-2 intuitionistic fuzzy relations. Finally, we discuss the relations between these three special type-2 intuitionistic fuzzy relations and the characteristics of their approximation operators. Conclusions drawn in this study further enrich the theories of type-2 intuitionistic fuzzy and rough sets and establish a good theoretical basis for the application of the type-2 intuitionistic fuzzy information system.

Keywords：intuitionistic fuzzy sets; rough sets; type-2 fuzzy sets; type-2 intuitionistic fuzzy sets; type-2 intuitionistic fuzzy rough sets; approximation operators

作者簡介：

通信作者：王金英．E-mail: ying20002004@163.com.

基金項目：遼寧省教育廳基金資助項目(L2012226).

收稿日期：2014-12-15. 網絡出版日期：2015-11-11.

中圖分類號：TP301；O236

文獻標志碼：A

文章編號：1673-4785(2015)06-0943-06

DOI:10.11992/tis.201412013