新型軟域

張龍祥，廖祖華，2，王琪，王瑞云，劉維龍

(1.

江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122； 2. 江南大學 智能系統與網絡計算研究所，江蘇 無錫 214122)

?

新型軟域

張龍祥1，廖祖華1，2，王琪1，王瑞云1，劉維龍1

(1.

江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122； 2. 江南大學 智能系統與網絡計算研究所，江蘇 無錫 214122)

摘要：為獲得新型軟域的新概念,采用與傳統軟代數不同的定義方法，將軟集的參數集賦予域的代數結構。并且得到了新型軟域的充要條件。利用軟集運算中的限制交運算,得到了2個新型軟域的限制交仍是新型軟域。運用對偶軟集的方法給出了新型軟域的等價刻畫。最后利用域的同態映射誘導出軟集的同態像與原像，并得到了新型軟域的同態像和原像仍是新型軟域的性質。以這種方式得到的新型軟域比通常的軟域有更深刻的結果,為今后新型軟代數的研究提供了基礎。

關鍵詞：軟集；新型軟域；對偶軟集；同態映射；軟集運算

中文引用格式：張龍祥，廖祖華，王琪，等. 新型軟域[J]. 智能系統學報， 2015, 10(6): 858-864.

Molodtsov等[1]于1999年提出了軟集的概念，從參數化的角度研究不確定性問題。由于軟集理論參數設置的無約束性以及它與模糊集[2]、粗糙集[3]、直覺模糊集[4]很強的互補性，因此受到學術界的廣泛關注，其研究工作也得到迅速開展，并且軟集理論已成功運用到信息等諸多領域。2003年，P.K.Maji等先給出詳細的軟集的軟集理論[5]，之后又給出了軟集在決策中的應用[6]，2009年，Ali等[7]提出軟集一些新的運算。 近年來，軟集與代數結構的交融也取得重大進展。 2007年，Akta等[8]給出了軟群的新概念， 并且刻畫出其相關性質，開創了軟集代數研究的新領域。 2008年，Jun等[9]將軟集運用到BCI/BCK代數中，提出軟BCI/BCK代數和軟BCI/BCK子代數的概念。2010年，Acar等[10]給出了軟環的定義，并對軟環的軟理想和軟同態等相關性質進行了研究；Feng等[11]將軟集理論運用到半環上，給出了軟半環、軟半環的軟理想等概念；伏文清等[12]研究了BCK-代數，并給出軟BCK-代數的廣義交和廣義并運算， 2012年廖祖華等[14]給出了軟坡的概念，并研究了它的一些相關性質。這些工作豐富了軟集代數的成果。

域的理論追溯到歐拉、費爾馬和高斯。域的一般理論的工作主要從伽羅瓦開始。 1881年， Kronecker提出了有理域的概念。1893年，Heinrich 給出了抽象域的概念。1910年，Steinitz給出域的代數理論。域論在信息加密和編碼等計算機領域有廣泛的應用。

2008年，溫永川[13]將參數集賦予群的代數結構，提出新型軟群的概念，并且獲得一系列性質。廖祖華的團隊在這方面的研究中已得出一系列結果，他們研究了軟坡、軟群、新型軟子群、軟子半群、半群的軟理想和軟完全素理想以及軟完全正則子半群，并得到了它們的相關性質[14-21]。利用這種思想方法將參數集賦予域的代數結構給出新型軟域的概念，并研究其相關性質。

1預備知識

定義1[22]設F是一些元素組成的集合，它有一個乘法運算和一個加法運算。如果F滿足下列條件，則F叫做一個域：

1)①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；

②加法交換律：a+b=b+a；

③零元素存在：在F中存在一個零元素0，對于任意元素a，a+0=a；

④負元素存在：對于F的任意元素a，在F中存在a的一個負元素-a滿足a+(-a)=0。

2)F至少含有2個元素。

3)①乘法結合律(a·b)·c=a·(b·c)；

②乘法交換律a·b=b·a；

③單位元素存在，在F中存在一個單位元素1且1≠0 對于任意元素a，a·1=a；

④逆元素存在，對于F的任意非零元素a，在F中存在a的一個逆元素a-1滿足a·a-1=1。

4)乘法對加法的分配律 a·(b+c)=a·b+a·c。定義2[22]設F是一個域，F1?F。如果F1對F的加法和乘法仍然構成一個域，那么F1叫做F的一個子域。

1)x-y∈F1；

2)當y≠0，xy-1∈F1。

定義3[1]軟集。設U是一個初始集合，E是一個參數集，A?E，P(U)表示U的冪集(此后不再說明P(U)的意義)，若F為A到P(U)的映射，則稱(F,A)為U上的軟集，也稱F為A的軟集。

定義4[5]軟集的限制交。(F,A)、(G,B)是U上的軟集，若軟集(H,C)滿足：

1)C=A∩B；

2)?x∈C有H(x)=F(x)∩G(x)。

則稱(H,C)是軟集(F,A)和(G,B)的限制交，記作(H,C)=(F,A)∩R(G,B)。

定義5[13]軟集的對偶。設H:E→P(X)，gH(g)為一個軟集，則稱AH:X→P(E),xAH(x)={g|x∈H(g)}為H的對偶軟集。

若A:X→P(E)為一個軟集， 則HA:E→P(X),gHA(g)={x|g∈A(x)}為A的對偶軟集。

定義6[23]設φ是域F到F′的映射。如果映射φ滿足：

2新型軟域

本節將參數集賦予域的代數結構，得到新型軟域的概念，并具體探討它的一系列基本性質。

定義7設F為一個域，H:F→P(U)為一個軟集，若滿足

?x,y∈F，有：

1)H(xy)?H(x)∩H(y)；

2)當x≠0時，H(x-1)?H(x)；

3)H(x+y)?H(x)∩H(y)；

4)H(-x)?H(x)。

則稱H為F的新型軟域，記為(H,F)。在不引起混淆的情況下，簡稱為軟域。

下面的例子說明了新型軟域的存在性。

例1取U=F為剩余類環(Z3,+,·)構成的域，令H([0])=U，H([1])={[1],[2]}，H([2])={[2]}。則由定義知H為F上的新型軟子域。但H([1])={[1],[2]}及H([2])={[2]}均不是F的子域。所以它不是通常的軟域，因此這是一個新的代數結構。

定理2設F為一個域，H:F→P(U)為一個軟集，H為F的軟域的充要條件

?x,y∈F下列條件成立：

1)當y≠0，H(xy-1)?H(x)∩H(y)；

2)H(x-y)?H(x)∩H(y)。

證明1)必要性： ?x,y∈F。

當y≠0，由定義7中的1)和2)得， H(xy-1)?H(x)∩H(y-1)?H(x)∩H(y)；由定義7中的3)和4)得，H(x-y)=H[x+(-y)]?H(x)∩H(-y)?H(x)∩H(y)。

2)充分性：

?x∈F且x≠0，則H(1)=H(xx-1)?H(x)∩H(x)=H(x)。

?x∈F，則H(0)=H(x-x)?H(x)∩H(x)=H(x)。

?x≠0∈F，由H(x-1)=H(1x-1)?H(1)∩H(x)=H(x)，因此定義7的2)成立。

?x,y∈F，當y≠0時， H(xy)=H[x(y-1)-1]?H(x)∩H(y-1)?H(x)∩H(y)；當y=0時，H(xy)=H(0)?H(x)∩H(y)。因此定義7的1)成立。

?x∈F，由H(-x)=H(0-x)?H(0)∩H(x)?H(x)，因此定義7的3)成立。

?x,y∈F，由H(x+y)=H[x-(-y)]?H(x)∩H(-y)?H(x)∩H(y)，因此定義7的4) 成立。

綜上所述，H為F的軟域。

定理3設F1、F2是域F上的2個子域，H1、H2分別是F1、F2的軟域，F1∩F2≠?，(H,F1∩F2)=(H1,F1)∩R(H2,F2)，則H是F1∩F2的軟域。

證明F1、F2域F的2個子域，則F1∩F2也是域。又?x,y∈F1∩F2，當y≠0時，H(xy-1)=H1(xy-1)∩H2(xy-1)?[H1(x)∩H1(y)]∩[H2(x)∩H2(y)]=[H1(x)∩H2(x)]∩[H1(y)∩H2(y)]=H(x)∩H(y)；

H(x-y)=H1(x-y)∩H2(x-y)?[H1(x)∩H1(y)]∩[H2(x)∩H2(y)]=[H1(x)∩H2(x)]∩[H1(y)∩H2(y)]=H(x)∩H(y)。綜上所述，H是F1∩F2的軟域。

定理4設F為域，則

證明先證明定理4的1)成立。

必要性：若H為F的一個軟域，?u∈U。

充分性：

綜合1) ~4)，由定義7知H為F的一個軟域。

其次證明定理4的2)成立。

必要性：若HA為F的一個軟域，?u∈U

充分性：

綜合1) ~4)，由定義7知HA為F的一個軟域。

3 新型軟域的像與原像

本節給出新型軟域像與原像的基本概念及相關性質。

定義8設F1、F2為2個域，U是初始集合。

f:F1→F2為一個映射， H1:F1→P(U)和H2:

F2→P(U)是2個軟集，?x1∈F1,x2∈F2，

則f(H1)、f-1(H2)分別為F2與F1上的軟集，稱f(H1)為H1的像，f-1(H2)為H2的原像。

定理5設f是域F1到F2的同態映射。則

1)f(0)=0；?x∈f，f(-x)=-f(x)。

2)f不是零同態，則f(1)=1；?x∈f且x≠0，則f(x-1)=(f(x))-1。

定理6設F1、F2為域，U是初始集合， f:F1→F2為一個同態映射， H1:F1→P(U)，H2:

F2→P(U)是2個軟集：

1)若H1為F1的軟域，則f(H1)為F2的軟域。

2)若H2為F2的軟域，則f-1(H2)為F1的軟域。

證明先證明定理6的1)成立。

當f是零同態時，

①?h1,h2∈F2且h2≠0，那么f(H1)(h2)=?，所以f(H1)(h1)∩f(H1)(h2)=??f(H1)(h1h2-1)。

②?h1,h2∈F2，若h1≠0或h2≠0，則f(H1)(h1)=?或f(H1)(h2)=?， 所以f(H1)(h1)∩f(H1)(h2)=??f(H1)(h1-h2)；若h1=0且h2=0，則f(H1)(h1)∩f(H1)(h2)=f(H1)(0)∩f(H1)(0)?f(H1)(0)=f(H1)(h1-h2)。綜合① 、②知f(H1)為F2的軟域。

當f不是零同態時

綜合③ 、④知f(H1)為F2的軟域。

其次證明定理6的(2)成立。

當f是零同態時

①?g1,g2∈F1且g2≠0，那么f-1(H1)(g2)=?，所以f-1(H2)(g1)∩f-1(H2)(g2)=H2(f(g1))∩H2(f(g2))=H2(0)∩H2(0)?H2(0)=H2(f(g1g2-1))=f-1(H2)(g1g2-1)。

②?g1,g2∈F1，若g1≠0或g2≠0，則f-1(H2)(g1)=?或f-1(H2)(g2)=?，則f-1(H2)(g1)∩f-1(H2)(g2)=??f-1(H2)(g1-g2)；若g1=0且g2=0，則f-1(H2)(g1)∩f-1(H2)(g2)=H2(f(g1))∩H2(f(g2))=H2(0)∩H2(0)?H2(0)=H2(f(g1-g2))=f-1(H2)(g1-g2)。

綜合① 、②知f-1(H2)為F1的軟域。

當f不是零同態時

③?g1,g2∈F1且g2≠0，因H2為F2的軟域且f為同態映射，所以f-1(H2)(g1)∩f-1(H2)(g2)=H2(f(g1))∩H2(f(g2))?H2(f(g1)(f(g2))-1)=H2(f(g1)f(g2-1))=H2(f(g1g2-1))=f-1(H2)(g1g2-1)。

④?g1,g2∈F1，因H2為F2的軟域且f為同態映射，所以f-1(H2)(g1)∩f-1(H2)(g2)=H2(f(g1))∩H2(f(g2))?H2(f(g1)-f(g2))=H2(f(g1)+f(-g2))=H2(f(g1-g2))=f-1(H2)(g1-g2)。

綜合③ ④知f-1(H2)為F1的軟域。

定理7設F1、F2是2個域，U是初始集合， f:F1→F2為一個非零同態映射，H1:F1→P(U)為F1上的軟集且H1是關于f-不變的。則H1為F1的軟域充要條件是f(H1)是F2的軟域。

證明必要性：由定理6(1)可得結論。

充分性：

綜合① 、②知H1為F1的軟域。

定理8設F1與F2是2個域，f:F1→F2為域的滿同態映射，H2:F2→P(U)為F2上的軟集。則H2為F2的軟域的充要條件是f-1(H2)是F1的軟域。

證明必要性 由定理6中的2)可得結論。

充分性：

①?h1,h2∈F2且h2≠0，因為f是滿射，所以存在g1,g2∈F1且g2≠0，使得h1=f(g1)，h2=f(g2)。

又因f-1(H2)是F1的軟域且f是同態映射，所以H2(h1)∩H2(h2)=H2(f(g1))∩H2(f(g2))=f-1(g1)∩f-1(H2)(g2)?f-1(H2)(g1g2-1)=H2(f(g1g2-1))=H2(f(g1)f(g2-1))=H2(h1h2-1)，即H2(h1)∩H2(h2)?H2(h1h2-1)。

②?h1,h2∈F2，因為f是滿射，所以存在g1,g2∈F1，使得h1=f(g1)，h2=f(g2)，因為f-1(H2)是F1的軟域且f是同態映射，所以H2(h1)∩H2(h2)=H2(f(g1))∩H2(f(g2))=f-1(H2)(g1)∩f-1(H2)(g2)?f-1(H2)(g1-g2)=H2(f(g1-g2))=H2(f(g1)-f(g2))=H2(h1-h2)，即H2(h1)∩H2(h2)?H2(h1-h2)。

綜合① 、②知H2為F2的軟域。

4結束語

軟集是國內外眾多學者關注的研究課題。本文將參數集賦予域代數結構，給出了新型軟域的代數結構，并討論了它的一系列代數性質。進一步的工作將新型軟域與模糊集理論相結合，提出新型模糊軟域的代數結構，探討它們的相關性質。

參考文獻:

[1]MOLODTSOV D. Soft set theory-first results[J]. Computers & Mathematics with Applications, 1999, 37(4/5): 19-31.

[2]ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control, 1965, 8(3): 338-353.

[3]PAWLAK Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11(5): 341-356.

[4]ATANASSOV K T. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96.

[5]MAJI P K, BISWAS R, ROY A R. Soft set theory[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2003, 45(4-5): 555-562.

[6]MAJI P K, ROY A R. An application of soft sets in a decision making problem[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2002, 44(8/9): 1077-1083.

[7]ALI M I, FENG Feng, LIU Xiaoyan, et al. On some new operations in soft set theory[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2009, 57(9): 1547-1553.

[9]JUN Y B. Soft BCK/BCI-algebras[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2008, 56(5): 1408-1413.

[10]ACAR U, KOYUNCU F, TANAY B. Soft sets and soft rings[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2010, 59(11): 3458-3463.

[11]FENG Feng, JUN Y B, ZHAO Xianzhong. Soft semirings[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2008, 56(10): 2621-2628.

[12]伏文清, 李生剛. 軟BCK代數[J]. 計算機工程與應用, 2010, 46(10): 5-6.

FU Wenqing, LI Shenggang. Soft BCK algebra[J]. Computer Engineering and Applications, 2010, 46(10): 5-6.

[13]溫永川. 關于軟集的研究[D]. 大連: 遼寧師范大學, 2008: 18-19.

WEN Yongchuan. The study on soft set[D]. Dalian: Liaoning Normal University, 2008: 18-19.

[14]廖祖華, 芮眀力. 軟坡[J]. 計算機工程與應用, 2012, 48(2): 30-32.

LIAO Zuhua, RUI Mingli. Soft inclines[J]. Computer Engineering and Applications, 2012, 48(2), 30-32.

[15]殷霞, 廖祖華, 朱曉英, 等. 軟集與新型軟子群[J]. 計算機工程與應用, 2012, 48(33): 40-43, 62.

YIN Xia, LIAO Zuhua, ZHU Xiaoying, et al. Soft sets and new soft subgroups[J]. Computer Engineering and Applications, 2012, 48(33): 40-43, 62.

[16]YIN Xia, LIAO Zuhua. Study on soft groups[J]. Journal of Computers, 2013, 8(4): 960-967.

[17]ZHENG Gaoping, LIAO Zuhua, WANG Nini, et al. Soft lattice implication subalgebras[J]. Applied Mathematics and Information Sciences, 2013, 7(3): 1181-1186.

[18]關貝貝, 廖祖華, 朱曉英, 等. 軟子半群[J]. 模糊系統與數學, 2014, 28(4): 39-44.

GUAN Beibei, LIAO Zuhua, ZHU Xiaoying, et al. Soft subsemigroups[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2014, 28(4): 39-44.

[19]趙迪, 廖祖華, 朱曉英, 等. 半群的軟理想[J]. 模糊系統與數學, 2014, 28(4): 45-50.

ZHAO Di, LIAO Zuhua, ZHU Xiaoying, et al. Soft ideals of semigroups[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2014, 28(4): 45-50.

[20]葉婷, 廖祖華, 朱曉英, 等. 半群的軟完全素理想[J]. 模糊系統與數學, 2014, 28(3): 27-31.

YE Ting, LIAO Zihua, ZHU Xiaoying, et al. Soft completely prime ideals of semigroups[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2014, 28(3): 27-31.

[21]葉靈軍, 廖祖華, 朱曉英, 等. 軟完全正則子半群[J]. 工程數學學報, 2014, 31(3): 341-346.

YE Lingjun, LIAO Zuhua, ZHU Xiaoying, et al. Soft completely regular sub-semigroups[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2014, 31(3): 341-346.

[22]林東岱. 代數基礎與有限域[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[23]南基洙. 域和Galois理論[M]. 北京: 科學出版社, 2009.

張龍祥，男，1993，碩士研究生，主要研究方向為軟計算。

廖祖華，男，1957，教授，主要研究方向為人工智能、模糊與粗糙代數，廣義逆理論及應用。在專業雜志與國內外會議等發表學術論文130余篇，其中被SCI和EI檢索30余篇。主持省自然科學基金項目1項。

王琪，女，1994，碩士研究生，主要研究方向為軟計算。

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20151110.1354.008.html

英文引用格式：ZHANG Longxiang， LIAO Zuhua， WANG Qi， et al. New type of soft fields[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10(6): 858-864.

New type of soft fields

ZHANG Longxiang1， LIAO Zuhua1，2， WANG Qi1， WANG Ruiyun1， LIU Weilong1

(1. School of Science， Jiangnan University， Wuxi 214122， China; 2. Institute of Intelligence System & Network Computing， Jiangnan University， Wuxi 214122， China)

Abstract：To develop a concept for a new type of soft field, we introduce a method that endows a parameter set with a field algebra structure that differs from that of traditional soft algebras. We then obtain the necessary and sufficient condition of a new type of soft field. By performing a soft-set intersection operation, we prove that the intersection operation of two new soft-field types still represents a new type of soft field. In addition, we provide equivalent characterizations of this new type of soft field by applying dual soft sets. Finally, we induce homomorphic and inverse images of these soft sets by homomorphically mapping the fields and deriving the properties of the homomorphic and inverse images of this new type of soft field. Using this method to achieve this new type of soft field, we achieve more profound results when compared with ordinary soft fields and lay the foundation for future research into this new type of soft algebra.

Keywords：soft set; new type of soft field; dual soft set; homomorphic mapping; soft set operation

作者簡介：

通信作者：廖祖華. E-mail: liaozuhua57@163.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61170121); 國家大學生創新訓練資助項目(201310295028); 江南大學大學生創新訓練資助項目(2014203).

收稿日期：2015-07-30. 網絡出版日期：2015-11-10.

中圖分類號：TP18;O159

文獻標志碼：A

文章編號：1673-4785(2015)06-0858-07

DOI:10.11992/tis.201507040