Excel在單擺運(yùn)動(dòng)分析中的應(yīng)用

熱合買(mǎi)提江·依明， 阿合買(mǎi)提江·依明江

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

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Excel在單擺運(yùn)動(dòng)分析中的應(yīng)用

熱合買(mǎi)提江·依明， 阿合買(mǎi)提江·依明江

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

本文運(yùn)用求常微方程數(shù)值解的四階龍格-庫(kù)塔方法，確定了描述單擺運(yùn)動(dòng)的非線性微分方程數(shù)值解的龍格-庫(kù)塔公式；用Excel的迭代計(jì)算和循環(huán)迭代功能確定了數(shù)值解，求出單擺在各個(gè)時(shí)刻的速度和位置；巧用繪制圖像和實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫(huà)功能“數(shù)”、“形”及“動(dòng)”連貫形象直觀地演示了單擺運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)模擬仿真；實(shí)現(xiàn)交互性，建立了不同參數(shù)情況下研究單擺運(yùn)動(dòng)和模擬的平臺(tái)，得出了單擺無(wú)阻尼、有阻尼、擺角為任何角度值時(shí)，速度和位置的數(shù)值解，速度和位置的曲線和相應(yīng)的相圖；結(jié)果顯示，Excel在單擺運(yùn)動(dòng)分析中的應(yīng)用，不僅實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算、繪制圖像和動(dòng)畫(huà)演示，而且彌補(bǔ)實(shí)際實(shí)驗(yàn)的不足，為物理理論和實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)提供了一種簡(jiǎn)單、直觀、高效的方法。

數(shù)值解；單擺；Excel；動(dòng)態(tài)模擬；交互性

0 引 言

單擺運(yùn)動(dòng)是一個(gè)理想的物理學(xué)模型，在物理學(xué)中有著非常重要的作用?，F(xiàn)在大多數(shù)“大學(xué)物理”教材中[1-2]討論單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，只討論了小角度擺動(dòng)時(shí)的近似線性運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，單擺的一般運(yùn)動(dòng)問(wèn)題幾乎不討論。主要原因是討論一般單擺運(yùn)動(dòng)中考慮大角運(yùn)動(dòng)和阻尼時(shí)，描述它運(yùn)動(dòng)的微分方程是一個(gè)非線性微分方程，沒(méi)有解析解。在教學(xué)和實(shí)驗(yàn)過(guò)程通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求其數(shù)值解，并與計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)相結(jié)合，演示單擺的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)仿真，與實(shí)際試驗(yàn)比較，幫助學(xué)生正確掌握和研究其運(yùn)動(dòng)過(guò)程、分析各因素對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的影響，提高物理理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的效果。雖然，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和仿真的軟件種類(lèi)挺多，如Fortran[3]、Matlab[4-7]、LabVIEW[8]、Origin[9]等，這些軟件的功能強(qiáng)大、界面友好，但是這些軟件的普及性較低，入門(mén)不易，具有較強(qiáng)的專(zhuān)業(yè)性，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)掌握和應(yīng)用不到位。

當(dāng)前普及性最高、功能強(qiáng)大的辦公應(yīng)用軟件MS. OFFICE的組件之一：Excel的基本操作已為廣大師生非常熟悉而且功能直觀、數(shù)據(jù)輸入界面簡(jiǎn)便，使操作者易于接受、便于掌握其功能[10-11]。此外Excel具有較強(qiáng)的數(shù)值迭代計(jì)算[13-14]和繪制圖像可視化功能[15]，合理正確地使用Excel的這些功能可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)仿真[16]，本文用Excel的高效數(shù)值計(jì)算和繪制圖像功能動(dòng)態(tài)仿真演示單擺運(yùn)動(dòng)，為物理理論和實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)提供了一種簡(jiǎn)單、直觀、高效的方法。

1 單擺運(yùn)動(dòng)微分方程和數(shù)值算法

1.1 單擺運(yùn)動(dòng)微分方程

最基本的單擺絕對(duì)撓性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可以忽略不計(jì)的一根繩子或一條竿和一個(gè)錘組成，錘系在繩或竿的下方，繩或竿的另一端固定，錘來(lái)回移動(dòng)，假設(shè)單擺繩子的長(zhǎng)度為l，錘的質(zhì)量為m,擺動(dòng)角度為θ,則考慮空氣阻尼時(shí)，所受的阻尼為qdθ/dt(q為阻尼系數(shù))，由牛頓第二定理得描述單擺運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(1)

其中，θ0和v0分別是初始擺角和初始驅(qū)動(dòng)速度。

當(dāng)q=0時(shí)，方程(1)描述無(wú)阻尼單擺運(yùn)動(dòng)方程。無(wú)阻尼而且擺角很小0<ω≤5°的情況下，可以假設(shè)θ≈sinθ，此時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)槎A常系數(shù)線性微分方程，可以確定解析解。一般情況下方程(1)沒(méi)有解析解，因此要用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求其數(shù)值解進(jìn)行分析。

1.2 數(shù)值算法

設(shè)dθ/dt=v，則方程(1)變?yōu)槿缦露浑A非線性常微分方程組：

(2)

式中，θ是位置，v是單擺的擺動(dòng)速度

由求常微分方程數(shù)值解的四階龍格-庫(kù)塔公式[12],求方程(2)數(shù)值解的計(jì)算式為：

K11=vn

(3a)

(3b)

K12=vn+hK21/2

(3c)

(3d)

K13=vn+hK22/2

(3e)

(3f)

K14=vn+hK23

(3g)

(3h)

(3k)

(3i)

其中，h是時(shí)間步長(zhǎng)。

2 用Excel數(shù)值計(jì)算

2.1 位置和速度的計(jì)算

如圖1所示，打開(kāi)Excel表格輸入重力加速度、單擺線長(zhǎng)度、阻尼系數(shù)、初始位置、初始驅(qū)動(dòng)速度、開(kāi)始時(shí)間、模擬終止時(shí)間、時(shí)間步長(zhǎng)等參數(shù)。

圖1 輸入初始條件

如圖2所示，在單元格D2、E2和F2中分別輸入：=B6、=B4和=B5；用式(3a)及(3b)在單元格G2和H2中分別輸入：=F2，=-B3*F2-B1/B2*SIN(E2)；用式(3c)及(3d)在單元格I2和J2中分別輸入：=F2+B8/2*H2，=-B3*(F2+B8/2*H2)-B1/B2*SIN(E2+B8/2*G2)；用式(3e)及(3f)在單元格K2和L2中分別輸入：=F2+B8/2*J2，=-B3*(F2+B8/2*J2)-B1/B2*SIN(E2+B8/2*I2)；用式(3g)及(3h)在單元格K2和L2中分別輸入：=F2+B8*L2，=-B3*(F2+B8*L2)-B1/B2*SIN(E2+B8*K2)；用式(3k)及(3i)在單元格E3和F3中分別輸入：=E2+B8/6*(G2+2*I2+2*K2+M2)，=F2+B8/6*(H2+2*J2+2*L2+N2)；在單元格D3中輸入：=D2+B8。

元格區(qū)域G2:N2中的公式復(fù)制到單元格區(qū)域G3:N3中,然后單元格區(qū)域D3:N3中的公式復(fù)制到單元格區(qū)域G102:N102中得如圖3所示的結(jié)果。

圖2 輸入初始公式

圖3 位置和速度計(jì)算結(jié)果

2.2 當(dāng)時(shí)位置和速度的計(jì)算

首先調(diào)試Excel的工作簿計(jì)算模式,選擇“文件”→“選項(xiàng)”→“公式”。

在單元格B9中輸入計(jì)算總次數(shù)的計(jì)算公式：=(B7-B6)/B8；在單元格B10中輸入實(shí)現(xiàn)循環(huán)和計(jì)算當(dāng)前計(jì)算步驟的計(jì)算公式：=IF(B10

在單元格區(qū)域P2:Z2中輸入的計(jì)算公式與如圖2中單元格區(qū)域D2:N2的計(jì)算公式一樣。單元格P3中輸入=IF(B10<=1,P2+B8,P4+B8)；

單元格Q3中輸入=IF(B10<=1,Q2+B8/6*(S2+2*U2+2*W2+Y2), Q4+B8/6*(S4+2*U4+2*W4+Y4))；

單元格R3中輸入=IF(B10<=1,R2+B8/6*(T2+2*V2+2*X2+Z2), R4+B8/6*(T4+2*V4+2*X4+Z4))；

單元格P4中輸入=IF(B10<=1,P2+2*B8,P3+B8)；

單元格Q4中輸入=Q3+B8/6*(S3+2*U3+2*W3+Y3)單元格R3中輸入=R3+B8/6*(T3+2*V3+2*X3+Z3)；

單元格區(qū)域S2:Z2中的公式復(fù)制到單元格區(qū)域G3:N3中,然后單元格區(qū)域D3:N3中的公式復(fù)制到單元格區(qū)域S4:Z4中。

得如圖5所示的結(jié)果。

圖5 計(jì)算當(dāng)前位置和速度

2.3 顯示單擺擺動(dòng)有關(guān)數(shù)據(jù)的輸入

在單元格AB2、AC2、AB3和AC3中分別輸入=-B2/2、=B2、=B2/2和=B2；

在單元格AD2、AE2、AD3和AE3中分別輸入=0、=B2、=B2*SIN(Q4)和=B2-B2*COS(Q4)。

如圖6所示。

圖6 單擺擺動(dòng)有關(guān)數(shù)據(jù)

3 繪制Excel實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)演示圖

3.1 繪制位置曲線、速度曲線和相圖

選擇“插入”→“選散點(diǎn)圖”→“添加”,如圖7所示。

圖7 繪制圖形對(duì)話框

在“系列名稱(chēng)”內(nèi)填“位置曲線”，在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet！$D$2:$D$102”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$E$2:$E$102”；再選擇“添加”，

在“系列名稱(chēng)”內(nèi)填“速度曲線”，在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet！$D$2:$D$102”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$F$2:$F$102”；再選擇“添加”，

在“系列名稱(chēng)”內(nèi)填“當(dāng)前位置”，在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet1!$P$4”，在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$Q$4”；

再選擇“添加”，

在“系列名稱(chēng)”內(nèi)填“當(dāng)前速度”，

在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet1!$P$4”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$R$4”；再選擇“添加”，

在“系列名稱(chēng)”內(nèi)填“相圖”，

在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet1!$F$2:$F$102”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$E$2:$E$102”；

按“確定”鍵后對(duì)圖形進(jìn)行修飾得如圖8所示的結(jié)果。

圖8 無(wú)阻尼單擺置曲線、速度曲線和相圖

3.2 繪制單擺動(dòng)態(tài)擺動(dòng)圖

選擇“插入”→“選散點(diǎn)圖”→“添加”；

在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet1!$AB$2:$AB$3”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$AC$2:$AC$3”；

再選擇“添加”，

在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet1!$AD$2:$AD$3”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$AE$2:$AE$3”；

再選擇“添加”，

在“X軸系列值(X)”內(nèi)填“=Sheet1!$AD$3”，

在“Y軸系列值(Y)”內(nèi)填“=Sheet1!$AE$3”；

按“確定”鍵后對(duì)圖形進(jìn)行修飾得單擺演示圖。

3.3 演示和應(yīng)用

以上所說(shuō)的操作完成以后，按住功能鍵F9，單元格B10中的當(dāng)前步驟，每一次增加一，在1到100之間循環(huán)，使得圖10所示單擺開(kāi)始擺動(dòng)，隨著單擺的擺動(dòng)圖9中的當(dāng)前位置和當(dāng)前速度沿著位置曲線和速度曲線開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。

圖1 中的重力加速度、單擺線長(zhǎng)度、阻尼系數(shù)和初始位置等參數(shù)多可以隨時(shí)改變，圖9是阻尼系數(shù)改為0.2時(shí)，位置曲線、速度曲線和相圖的變化。

用這個(gè)Excel表格平臺(tái)，經(jīng)過(guò)觀察其動(dòng)態(tài)演示過(guò)程清楚的看到位置(擺角)最大時(shí)，速度為零；一個(gè)周期擺動(dòng)所需時(shí)間可以近似估計(jì)周期，隨著阻尼的增加擺角減小等等。

圖9 有阻尼單擺位置曲線、速度曲線和相圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出的基于Excel實(shí)現(xiàn)的單擺運(yùn)動(dòng)模擬方法的最大特點(diǎn)是單擺擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的位置和速度實(shí)時(shí)變化過(guò)程，通過(guò)“數(shù)”、“形”及“動(dòng)”連貫直觀的動(dòng)態(tài)顯示。另外本方法有很好的交互性，對(duì)不同的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，直觀和方便的觀察到不同參數(shù)對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的影響。Excel簡(jiǎn)單易學(xué)，不需要掌握其它軟件和程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，學(xué)生根據(jù)所學(xué)的書(shū)上知識(shí)和教師的引導(dǎo)可以實(shí)現(xiàn)單擺運(yùn)動(dòng)模擬，可以加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，提高物理理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的質(zhì)量，另外本文呈現(xiàn)出Excel在數(shù)值迭代計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化和實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)仿真功能的潛力，有望進(jìn)一步將Excel應(yīng)用到物理理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的其他內(nèi)容。

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Application of the Excel on Analysis of Pendulum Motions

RahmatjanImin，AhmatjanIminjan

(School of Mathematics and Systems Science, Xinjiang University, Urumqi 830046， China)

The differential equation of free vibration pendulum movement is described by a second order nonlinear ordinary differential equations. Generally it cannot be solved by analytical methods, the numerical methods are then needed to solve this equation. This paper used Runge-Kutta method which is to find numerical solution of ordinary differential equations to determine the Runge-Kutta formulas of nonlinear differential equations of the pendulum movement. The numerical solution was determined based on iterative computation and cyclic iteration function of Excel, and found the velocity and position of pendulum in each moment. Through drawing image and animation visually it demonstrated the dynamic simulation of pendulum movement by using “numeric”, “figure” and “move” coherently. Interactive platform was established to study pendulum movement and simulation in different parameters, numerical solutions and figures of velocity and position and also the phase diagrams can be obtained with damped, undamped and any vibration angle of pendulums. The result showed that the application of Excel on analysis of pendulum can realize the numerical computation, the visual image drawing and animation; meanwhile it has made up the lack of the actual experiment. Computer-aided instruction for theoretical and experimental physics provided simple, intuitive and effective method.

numerical solution; pendulum; Excel; dynamic simulation; interaction

2014-05-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.51075346)

熱合買(mǎi)提江·依明(1974-)，男，維吾爾族，新疆伊犁人，碩士，講師，主要從事公共教學(xué)和工程數(shù)值計(jì)算及其模擬研究，

Tel.：13669931900；E-mail:rahmatjanim@gmail.com

阿合買(mǎi)提江·依明江(1969-)，男，維吾爾族，新疆伊犁人，副教授，碩士，主要從事公共教學(xué)和基礎(chǔ)教學(xué)研究。

Tel.：13199917691；E-mail:ahmetjan69@hotmail.com

TH 113.2;G 642.0

A

1006-7167(2015)01-0113-05