旋轉水體模型的溫度場探究

邢 月, 徐 堯, 胡靖三, 潘永華, 髙惠濱

(南京大學 物理學院，江蘇 南京 210093)

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旋轉水體模型的溫度場探究

邢 月, 徐 堯, 胡靖三, 潘永華, 髙惠濱

(南京大學 物理學院，江蘇 南京 210093)

建立了旋轉水體模型，并搭建了實物實驗平臺。將裝置放在冰箱中，隨著時間推移，冰箱溫度呈一定規律下降，同時旋轉水體溫度不斷下降。以此為基礎，測量了體系不同位置溫度以及體系隨時間演化溫度的變化。此外，將靜止水體置于相同實驗條件下測量相同的物理量作對比，探究了旋轉條件下水體的熱傳導，給出熱傳導方程，分析實驗結果及實驗中出現的一系列現象，對這些現象給出合理解釋。對體系模擬計算，根據實際實驗條件調節參數和邊界值，給出理論結果并與實驗作對比，結果證明理論和實驗符合基本一致。

旋轉； 熱傳導； 溫度場

0 引 言

早在上世紀，對旋轉柱狀流體的研究就層出不窮[1-3]。從最初提出的沿圓柱中心軸旋轉模型開始，探究重力作用下或排除重力影響的溫度場、速度場以及不同雷諾數下的流體性質[4-7]。考慮到實際情況，旋轉流體模型的研究常常為換熱器等工業器件的理論依據帶來價值[8-11]。時至今日，完善模型理論，實驗結合數值模擬，對實踐提供指導意義的研究仍源源不斷[12-13]。本文討論了繞中心軸旋轉的圓柱形容器中水體溫度場，給出熱導模型，探究瞬間溫度場和溫度場隨時間演變的情況[14]。

1 實驗內容

1.1 實驗裝置及模型建立

實驗裝置如圖1所示，上方的圓柱形容器可以在有少量水時勻速旋轉。圓柱形容器材質為聚乙烯塑料，半徑0.05 m，高0.12 m，轉速0～1 500 rad/min，工作電壓220 V。實驗時，將儀器置于冰箱中，隨著冰箱不斷降溫，容器中的水也開始降溫。根據實際情況，考慮到轉速太大時由于離心力使水向外飛濺，故選擇轉速在300～400 rad/min,水量控制在50 mL以內。實驗內容分為測量瞬時溫度場和固定點的溫度隨時間的變化情況。

圖1 實驗裝置圖

根據實驗現象主視圖建立坐標系,如圖2(a)所示，水貼著容器壁旋轉，a為容器內徑，水體高度0.1 m。由于圓柱體的對稱性，可將模型簡化為矩形的熱傳導問題,簡化后的模型如圖2(b)所示。

(a) 實驗現象主視圖 (b) 簡化模型圖

圖2 旋轉水體主視圖

1.2 瞬時溫度場

(1) 模型方程。根據建立的模型，考慮到對稱性，只要給出第一象限水體的方程即可。由于垂直方向的水層很薄，實際只能到某一y值下的溫度，所以給出瞬時熱傳導方程為[15]:

(1)

(2)

(3)

根據該模型的對稱性，解得

k=0,1,2…

(2) 實驗及結果。由于實驗的冰箱空間有限，可旋轉容器的尺寸大小受到限制，因此實驗測量點的選取數量較少，而且水銀溫度計存在測量誤差，實驗過程中冰箱的溫度又是逐漸下降的，選取不同點測量時同點無法做到同步進行，這些都使得實驗結果存在一定誤差。但是考慮到溫度場隨時間變化較慢(由下一個實驗內容可以看出)，測量結果還是可以大致反映出溫度變化的。

實驗中，固定測量高度y=5 cm，在r方向上選取3個點A、B、C，測量這3點的溫度隨時間的變化。實驗結果如圖3所示，其中每一條曲線上標注的3個點從右到左依次為A、B、C。由于隨著時間的演化，D、E溫度也在變化，而D、E又是邊界點，所以實驗中同時要對D、E溫度進行測量。圖3中，曲線1～3的D、E溫度依次為291.2 、287.2 K；290.0、 288.4 K； 278.8、 276.8 K，用Comsol模擬，選擇與實驗條件相同的材料，將實驗中測得的3組D、E溫度作為邊界值，模擬出與實驗相對應的A、B、C3點的溫度，如圖4所示, 從右到左為A、B、C的溫度。

圖3 y=5 cm時3點的溫度實驗圖

圖4 y=5 cm時3點的溫度模擬圖

實驗和模擬結果見表1，對比數據，表明體系的溫度場呈一定規律分布,表現在中心溫度低于邊緣溫度，同時隨著水體溫度的不斷降低，它們的溫度差越來越小，而且容器中上層溫度(D點)高于下層溫度(E點)。不難看出，整體實驗模擬結果符合較好，尤其是邊界(A,C點)結果比較理想。

表1 實驗溫度與模擬溫度數據對比

(3) 三維溫度場模擬。根據實際情況簡化模型，用Comsol Multiphysics3.5a模擬，給出體系的3維溫度場分布。迭代計算方程[15]:

(5)

(6)

圖5 三維溫度場分布模擬圖

(4) 結果解釋。模擬結果更清晰地反映了實驗結果。由于測量時要不斷打開冰箱，體系上層空氣與室溫空氣交換熱量較多，因此上層溫度(D點)高于下層溫度(E點)。實驗中，裝置整體置于冰箱中，容器外空氣溫度較低，外界環境與容器內的空氣和水進行熱交換。由于水的比熱容大于空氣的比熱容，因此水的溫度比容器內空氣的溫度下降較慢，故實驗中看到容器內的空氣溫度(中心點)要低于水體溫度(邊緣點)。此外，隨水體溫度逐漸降低，中心和器壁附近的溫差逐漸變小。裝置最開始放入冰箱后，體系和外界環境的溫差最大，隨著時間推移，最終體系將相變結冰，容器與外界可不再有溫度差。通過測量瞬時溫場，可探究外界熱源分布對體系內部溫度分布的影響。

2.3 隨時間變化的溫度場

(1) 模型方程及擬合。由于溫度的函數中變量較多不利于計算，實際情況是水層在離心力和重力作用下很薄，且水量本來就比較少，使得沿豎直方向的水層可以近似看作是厚度均勻的薄層(即圖2(b)中的模型)，所以可以將變量簡化為時間t和水體高度y。實驗過程中，除了測量D、E點溫度隨時間的變化以外，對容器外的空氣溫度也同時進行了測量，發現同一時刻，上下層空氣的溫度是有差別的，但是差別很小，因此解方程時，可以認為冰箱環境中的空氣溫度只隨時間變化而與變量y無關，外界向體系內傳入的熱量可被視為時間的函數。根據實驗數據，發現溫度隨時間變化幾乎是呈線性的。給出含時的熱傳導方程：

(7)

其中:k為熱導率;c為定壓比熱容;ρ為密度，具體取值可根據實驗結果調節選取[15]。

根據對外界空氣溫度測量，外界對體系熱量輸入取為U0=250-0.000 6t。邊界條件U1=279+10y,U2=279-0.000 8t,U3=280-0.000 9t,代入式(7)～(10)，計算結果如圖6所示。

圖6 擬合結果

(2) 實驗結果與理論計算對比。實驗測量溫度隨時間變化，結果如圖7所示。圖中:Tup是容器壁上方(D點)的溫度變化;Tdown是容器底端(E點)的溫度，T0為靜止對照(即容器置于冰箱內，無旋轉，容器內部放入等量水)溫度。對實驗結果進行線性擬合，其中R是線性相關系數，結果:Tup=-0.000 9t+279.73,R2=0.984 1;Tdown=-0.000 8t+278.99,R2=0.966 7;T0=-0.000 7t+276.88,R2=0.874 2。

圖7 實驗測量溫度隨時間的變化

(3) 結果解釋。實驗中，裝置置于冰箱里，從圖7可以看到,水體的Tup高于Tdown，這個現象出現的原因可能是由于測量溫度時要打開冰箱蓋子，與處在室溫下的空氣接觸，則上層溫度要略高于下層溫度。多次重復實驗結果還表明，與室溫空氣接觸時間越長，上下層溫差越大，而剛打開冰箱蓋時，溫差是最小的。

實驗過程中冰箱溫度隨時間變化是線性下降的，旋轉水體的溫度隨時間也幾乎成線性下降，如圖7所示。曲線的斜率表明溫度變化的速率很慢, 這是因為空氣與水的比熱容不同，且本身水體溫度就高于外界空氣，加上用溫度計測量時對水體的干擾，使得溫度下降要慢一些。

結合靜止對照組溫度變化(T0)，從3條曲線的R2可以看出，靜止自然冷卻的水體溫度變化與環境溫度變化趨勢整體符合不好，而旋轉水體符合較好。原因是在旋轉的條件下，水接觸熱源的表面積更大，且旋轉也加快了水體自身內部熱傳導，故與環境溫度變化趨勢相近。

值得注意的是，實驗還發現當水體溫度接近相變溫度時，靜止水體更容易結冰，旋轉水體則不然，容易形成過冷水。出現這種現象的原因是，當水體旋轉起來時，較大的擾動使得小冰晶難以形成，或形成后難以聚集，從而導致不容易結冰，但隨著時間的推移，旋轉水體最終還是可以結冰的。

3 結 語

本文著眼于旋轉水體的瞬時溫度場和溫度場隨時間演化的問題，理論與實際符合較好。通過實驗以及建立模型方程計算和模擬可以看出，當置于容器中水體旋轉起來后，容器中的溫度場在同一時刻、同一高度上，中心溫度低于邊緣溫度，而且溫度差會隨著水體溫度降低不斷減小；隨著時間的演化，同一點的溫度下降的線性相關性要比自然冷卻的好，這種伴有旋轉的冷卻方式對工業應用有一定的幫助。

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Experimental Investigation on Rotating Water

XINGYue,XUYao,HUJing-san,PANYong-hua,GAOHui-bin

(Department of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China)

The article designed a water model in axially rotating cylinder and built up an experimental platform. The equipment was put into a refrigerator, and as time went by, the temperature of environment changed regularly and the same is the rotating water. Based on this, different temperatures in different positions and the change of temperature were measured. Besides, comparing with the general water, heat conduction equation was obtained, and the reason of such phenomenon was analyzed. Simulating based on practical condition, the results by theoretic analysis were good matched with experiment. At last, it gave some reference values both on theoretical and experimental aspect for industry application.

rotating cylinder; heat conductive; thermal field

2014-03-07

邢 月(1992-)，女，山西大同人，本科生。

Tel.:18252021252；E-mail：xingyue1992nju@gmail.com

潘永華(1971-)，女，浙江義烏人，高級工程師，現主要從事大學物理實驗和演示實驗教學研究。

Tel.: 025-89680302；E-mail：pan_yong_hua@sina.com

TK 124

A

1006-7167(2015)01-0052-04