淺談數學開放性習題的形式與編制

林 靜

（山東省日照港中學）

為了培養學生的創新能力，隨著素質教育改革的不斷深入，在考試內容上應適當增加開放性試題。于是開放性試題的編寫也越來越被看好，筆者根據這些年的教學實踐簡單地談談數學開放題的形式及其編制。

一、開放性習題的概念

開放性數學問題是相對于給出了明確的條件和結論的封閉型問題而言的，通常指答案不確定或條件不完備，或具有多種不同解法，或有多種可能的解答等類型的數學問題。

開放性習題由過去唯一答案的定向思維拓展轉變為多方位的發散思維，彌補了過去封閉性習題的不足，數學開放性習題能夠體現數學問題的形成過程，有利于學生進行探索研究，能夠培養學生思維的靈活性和發散性，同時在考查學生的情感、態度與價值觀方面也有著獨特的優點。

二、開放性習題的形式及其特點

根據目前在教學實踐中接觸過的開放性習題，根據一個命題的組成形式大體可以把數學開放性習題分成如下幾類：

1.條件開放型

在數學命題中給出的條件不完備，而且符合問題要求的條件不唯一，要解決問題需要在使問題結論成立的眾多可能條件中，添加一個或者幾個條件，像這類問題稱為條件開放題。這類問題的最大特點就是通過給定結論來反求滿足結論的條件，而滿足結論的條件并不唯一。

例1 如下圖，用木條制作一個邊長可以伸縮的四邊形框架ABCD，再用橡皮筋順次連接各邊的中點，得到四邊形EFGH。

（1）當添加條件_______時，四邊形EFGH 為矩形；

（2）當添加條件_______時，四邊形EFGH 為菱形；

（3）當添加條件_______時，四邊形EFGH 為正方形；

2.結論開放型

例2 鋼筋三角架三邊長分別是20厘米，50厘米，60厘米，現在再做一個與其相似的鋼筋三角架，而只有長為30厘米和50厘米的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許有余料）作為兩邊，則不同的解法有多少種？寫出設計方案，并說明理由。

這道題結論開放，學生可自主探索，教師在教學中需要注重引導學生從不同的角度，用不同的方法來思考問題，從而拓寬思路，培養思維的敏捷性和靈活性，培養學生知識和方法的遷移能力，達到舉一反三、觸類旁通的效果，這種開放性習題的訓練對知識的整合大有裨益。

3.方法開放型

若數學命題的推理方法不唯一，則稱為方法開放題。這類題目要求學生綜合運用所學的數學知識來探索數學問題。

例3 某中學為了美化校園，準備在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的三條道路，使得其中兩條與AB 平行，另一條與AD 平行，余下的部分作為草坪，要使草坪的面積為540平方米，道路的寬應為多少？

通過這類面積問題的探究學習，讓學生了解如何從數學的角度運用所學的知識和方法尋找解決問題的策略，從而把復雜的現實問題提煉出簡單的數學問題。

通過對開放題類型的研究，我們發現它具有靈活性、多向性、開放性，對于激發學生的參與意識有積極的影響。我們如何根據教材因地制宜地編寫開放性問題呢？

三、如何編制開放性問題

1.以學生興趣入手

愛因斯坦曾經說過，源于興趣的動力是無窮的。引導學生用數學的眼光觀察生活，從而從中找到可以供學生研究的問題，以實際問題為背景編制的開放題，往往有趣而富有吸引力，有利于開展探究性學習，提高學生的學習能力。如，在“全等三角形判定”新課的教學中，有這樣一個開放性問題。

2.從知識遷移入手

以一定的知識結構為依托，從知識遷移切入編制開放問題，是提高學生分析問題和解決問題能力的有力方法。尤其是學科間互相聯系的開放性習題，能實現從知識、方法、能力等方面的交叉和滲透。

3.從已有資源入手

課本上有很多習題具有完備的條件和確定的答案，這類題目稱之為“封閉題”，教師可將課本中的概念、定義、例題、習題等編制成開放性習題。

例如，可以只保留原命題中的條件，探索會得到哪些結論，使其指向多樣化，可得一些開放性習題；或者減弱條件，探求更一般的結論；也可以再增加條件，要求選擇部分或全部條件可得一些開放性習題；或者將給定的題設條件作某些變化，考慮結論是否存在，得到一些開放性習題；甚至隱去部分條件或提示語，尋找使結論成立的充分條件，可得一些開放題；或者將原題中的限制條款取消，根據自身設計求解，得到一些開放性習題。

開放性習題能夠鼓勵學生開拓創新思維，增進學生對知識的探究意識，培養學生科學的思維過程及綜合能力，所以要充分運用發揮它的作用，促進學生創新、研究能力的發展。

雷建萍. 淺談數學開放性問題及其教學［J］. 學科教學，2004（07）.