例談高中數學課堂教學巧設問題串，提高課堂效率

林鐘洲

（福建省清流縣第一中學）

林鐘洲

（福建省清流縣第一中學）

一、巧設生活化的拓展性問題串，提高課堂教學效益

課堂教學要讓每個學生都有收獲，教師可圍繞教學內容設置生活化拓展性的問題串，讓學生感受數學就在身邊，培養學生的問題意識，開拓學生的創新思維。

案例1：人教A 版必修2 第二章2.3.1 節“直線與平面垂直的判定”的教學

教師首先從幾個實際背景的例子中，引導學生注意觀察直立于地面的旗桿及它在地面影子的例子來思考、分析，從中抽象概括出直線與平面垂直的定義。

引入情境問題：

（1）早晨陽光下，旗桿與它在地面的影子所成角度是多少？（學生都能回答：90°）

（2）隨著太陽的移動，不同位置的影子與旗桿的角度是否會發生改變？（引導學生發現旗桿始終與地面的影子保持垂直關系）

重慶老火鍋，底料要用大量的牛油來炒，這樣才能把辣椒、花椒等香辛料的香辣味封存起來，再兌上燉牛肉的高湯，原油化原湯有木有，紅油湯底就會散發出渾然一體的濃烈香氣，在煮火鍋時，會與食材一起激發出特別復雜撩人，嗆辣又醇厚的味道。至于涮料嘛，其實最早都是毛肚、鴨腸、牛血旺之類的，所以早先的重慶火鍋又叫毛肚火鍋。

（3）旗桿與地面內任意一條不經過旗桿位置的直線關系如何？依據是什么？（引導學生再發現：旗桿所在的直線與地面內任意一條直線都垂直）

（4）（如圖1）直線l 與平面α 垂直嗎？（學生可以在平面α 內找到一條直線與l 不垂直）

圖1

圖2

（5）平面α 內可以找到一條直線與l 垂直嗎？能找到幾條？（圖2，學生發現過點P 可以找到直線m 與l 垂直，進而發現無數條與直線m 平行的直線也與l 垂直）這樣，學生就自悟：盡管直線l與平面內的無數條直線都垂直，但直線l 不一定與平面α 垂直，這樣體現了有效地對教材安排的信息資源再創造運用，教學效果更好。

然后探究定理：

請同學們準備一塊三角形紙片來做一個實驗：過△ABC 的頂點A，翻折紙片得到折痕AD（圖3）將翻折后的紙片豎起放置在桌面（BD、DC 與桌面接觸）

引入情境問題：

（6）折痕AD 與桌面垂直嗎？

（7）如何翻折才能使折痕AD 與桌面所在的平面垂直？

圖3

圖4

圖5

在這個活動中，學生在操作中辨析、思考折紙過程的數學本質，最后得出圖4 情形。在探究定理做同樣的實驗時，可以故意去掉“過△ABC 的頂點A 翻折”，放手讓學生翻折，這樣可以把握時機，尋求學生思維的突破口。引導學生探究出圖5 情形這兩種情形為歸納出定理奠定了基礎。

反思：定義中的“任意一條”能否用“無數條”替換這個事實不能直接拋給學生，應該讓學生自己直觀感知，在教材內容的關鍵點，設計的問題串完全可以使學生可以“跳一跳，摘桃子”。對探究定理設計的問題情境，去掉“過△ABC 的頂點A 翻折”，是創造性開發使用教材。有效的問題串能激發學生積極思維，培養思維能力，提高課堂教學效益。

二、巧設開放性的問題串，提高課堂教學效益

高中數學課堂教學中，條件開放的問題，會讓學生在解決問題的過程中廣泛地類比、聯想與猜想，具有很強的探究性。

案例2：高中數學人教A 版“圓錐曲線”一章有這樣一道題：

已知P（x，y）在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0 上，求2x＋y 的取值范圍。可以設計以下問題，引導學生進行思考尋找解決問題的方法并且進行歸納總結。

問題一：根據所學知識，尋找不同的解題方法。

解法1：設2x＋y=b，問題轉化為研究圓C 與直線2x＋y＝b 有公共點時b 的取值范圍。由直線與圓聯立，消y 得5x2－4bx＋b2－2b＝0，得0≤b≤10。

解法2：還可以用圓心到直線的距離小于等于半徑。由點到直線距離公式，解得0≤b≤10。

解法3：既然是直線與圓有公共點，可研究特殊狀態（相切）。聯想數形結合，由平面幾何知識得直線截距的值b=0 或b=10。故有0≤b≤10。

解法4：可以引入圓的參數方程：（為參數），代入2x＋y 中，問題轉化為三角函數求最值。

解法5：觀察圓的方程，并化簡：2x＋y＝（x2＋y2），只要求的最值。聯想用數形結合，當OP 經過圓心時最大，所以，因此0≤2x＋y≤10。

問題二：學習要考慮多解擇優，能將上面解法歸類，并將題目適當變化嗎？

（1）曲線方程可以變化。

變化1：將圓C 改成半圓。解題時用解法3、解法5 較方便。

變化2：將圓C 改成其他圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線），解題時用解法1、解法4 較方便。

（2）求取值范圍的式子可以變化。

變化3：將2x＋y 改成ax＋by（a、b∈R）或（a、b、c、d∈R），解題時可用解法1、解法2、解法3、解法4。

變化4：將2x＋y 改成二元二次解析式，解題時可用法4。

反思：在教師引導下以問題串為導向的探究教學，舉一反三，舊中探新。這樣不但使學生掌握了解題方法，更重要的是學生的思維得到了升華。

總之，教師在設計問題串時，一定要緊扣課題，既要考慮教學內容，又要考慮學生的差異，這樣才有利于激發學生思維的積極性，有利于當時所研究的課題的解決，從而啟發學生的數學思維活動，提高課堂效益。