正方形的一個(gè)軌跡問題

晏龍藝

（江西省宜豐中學(xué)）

2000 年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)驗(yàn)題：△ABC 是正三角形，在此三角形內(nèi)部求滿足∠QAB+∠QBC+∠QCA=90°的點(diǎn)Q 的軌跡。

其軌跡是△ABC 的三條高。我們進(jìn)一步探討：

問題：四邊形ABCD 是正方形，在此正方形內(nèi)部求滿足∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°的點(diǎn)Q 的軌跡。

解：如圖所示，正方形ABCD 中，E、F、G、H 分別是AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)，連接AC、BD、EG、FH。首先容易驗(yàn)證，若Q 點(diǎn)在線段AC、BD、EG、FH 上，滿足∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°。

其次，我們證明：Q 的軌跡就是線段AC、BD、EG、FH。

假設(shè)Q 點(diǎn)不在線段AC、BD、EG、FH 上，不妨假設(shè)Q 點(diǎn)在△ODG 中，而滿足∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°。作P 與Q關(guān)于EG 對(duì)稱，延長(zhǎng)QP 與AC、BC 分別交于K、I，在線段BI 上作一點(diǎn)J，使得IJ=IC，連接QA、QB、QC、QD、QJ，PA、PB、PC、PD、PJ、JK、OQ。

由輔助線作法容易得到，QI⊥BC，∠KJI=∠KCI=45°，四邊形ABPQ 是等腰梯形，∠DBQ=∠CAP=∠1，∠QBP=∠PAQ=∠2，∠QDP=∠QCP=∠QJP=∠3，∠QDB=∠PCA=∠PJK=∠4。

∵∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°

而∠QAB=45°+∠1+∠2，∠QBC=45°-∠1，∠QCD=45°-∠3-∠4，∠QDA=45°+∠4，將它們代入上式。

∴∠2=∠3

∴B、J、P、Q 四點(diǎn)共圓，又∵四邊形ABPQ 是等腰梯形

∴∠BJQ=∠BPQ=∠AQP∴∠BPQ=180°-∠ABP=180°-45°-（∠1+∠2）

又∵∠BJQ=180°-∠QJC=180°-45°-（∠3+∠4）

∴∠1+∠2=∠3+∠4，又∵∠2=∠3∴∠1=∠4

但在△BOQ 中，∠BOQ=135°+∠QOG 為鈍角，∴BQ＞OB

在△DOQ 中，∠DQO＞∠DGO=90°為鈍角，∴OD＞DQ 而OB=OD，∴BQ＞DQ，∴∠4＞∠1

矛盾！從而命題得證。即Q 的軌跡為線段AC、BD、EG、FH。

我們注意到，2000 年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)驗(yàn)題中Q 點(diǎn)的軌跡是△ABC 的三條對(duì)稱軸在△ABC 內(nèi)部的部分，上面這個(gè)問題中Q 點(diǎn)的軌跡是正方形ABCD 的四條對(duì)稱軸在正方形內(nèi)部的部分。因此，我們提出問題：

猜想：凸n 邊形A1A2A3…An是正n 邊形，在此正n 邊形內(nèi)部滿足∠QA1A2+∠QA2A3+∠QA3A4+…+∠QAnA1=（n-2）90°的點(diǎn)Q 的軌跡是正n 邊形的n 條對(duì)稱軸在正n 邊形內(nèi)部的部分。

馬傳漁.最新國(guó)際國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽優(yōu)化解題題典［M］.長(zhǎng)春：吉林教育出版社，2003-01.