求函數(shù)的周期

范國華

（江蘇省蘇州市常熟市中學(xué)）

函數(shù)的周期出現(xiàn)在新教材必修（4）第一章三角函數(shù)中，它的定義是：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x 的值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期，對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期。函數(shù)的周期不僅僅是三角函數(shù)的一個(gè)考點(diǎn)，在抽象函數(shù)上也是考查的一個(gè)對象，在此，我從問題的給出形式上做歸納總結(jié)，同時(shí)介紹處理的一些常用方法。

一、三角函數(shù)的周期

如果函數(shù)y=（fx）的周期為T，函數(shù)左右上下平移及縱坐標(biāo)的變化都不能改變函數(shù)的周期，只有y=（fx）→y=（fax）時(shí)周期為T′=，一般地，它的考查點(diǎn)是三角函數(shù)，y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數(shù)，且Aω≠0），它們的周期T=；y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數(shù)，且Aω≠0）的周期T=。還有通過圖像的變換求函數(shù)的周期：

二、抽象函數(shù)給出幾何性質(zhì)

主要有以下幾種形式

1．已知函數(shù)y=f（x），x∈R 滿足f（x+T）=-f（x），則函數(shù)f（x）以2T 為周期的周期函數(shù)（證明：f（x+2T）=-f（x+T）=f（x））。

5．已知函數(shù)y=f（x），x∈R，滿足f（a+x）=f（b+x）（b＞a），則函數(shù)f（x）以a-b 為周期的周期函數(shù)b-a（證明：f（a+x）=f（b+x）（b＞a））?f（（b-a）+x）=f（x））

6．若y=f（x），x∈R 滿足f（x）=f（x-m）+f（x+m），則y=f（x）是以6 m 為周期的周期函數(shù)（m∈R+）。

（證略f（x）=f（x-m）+f（x+m） ①

所以f（x+m）=f（x）+f（x+2m） ②

所以f（x+2m）=-f（x-m）?f（x+3m）=-f（x）?f（x+6m）=f（x））

除了以上幾種外，還有些非常有規(guī)律的形式

Ⅰ.函數(shù)的對稱軸和奇偶性

1．已知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)且關(guān)于x=a 對稱，則函數(shù)y=f（x）以4a 為周期的周期函數(shù)（證明：函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a 對稱，所以f（a+x）=f（a-x）?f（-x）=f（2a+x），又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）；所以f（2a+x）=-f（x））。

2．已知函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)且關(guān)于x=a 對稱，則函數(shù)f（x）以2a 為周期的周期

函數(shù)（證明：函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a 對稱，所以f（a+x）=f（a-x）?f（-x）=f（2a+x），又因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）；所以f（2a+x）=f（x））。

Ⅱ.函數(shù)的兩條對稱軸

1．已知函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a 對稱且關(guān)于x=b（b＞a）對稱，則函數(shù)f（x）以2（b-a）周期為周期函數(shù)（證明：函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a 對稱，所以f（a+x）=f（a-x）?f（-x）=f（2a+x）），同理f（-x）=f（2b+x），所以f（2a-x）=f（2b+x））

Ⅲ.函數(shù)的兩個(gè)對稱點(diǎn)

1.若函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于兩點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）（b＞a）皆對稱，y=f（x）是以2（b-a）為周期的周期函數(shù)。

（證明：因?yàn)槿艉瘮?shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于兩點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），則f（x）=-f（2a-x） ①

f（x）=-f（2b-x） ②

所以f（2a-x）=f（2b-x））即f（x）=f（x+2（b-a））

推廣：若函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于兩點(diǎn)A（a，y0）和B（b，y0）（b＞a）皆對稱，y=f（x）是以2（b-a）為周期的周期函數(shù)。（證明：把圖象的平移關(guān)于兩點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）對稱即可證明。）

Ⅳ.函數(shù)的對稱點(diǎn)與對稱軸

若函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，0）和直線x=b（b＞a）皆對稱，則函數(shù)y=f（x）具有周期4（b-a）。

（證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，0），則f（x）=-f（2a-x） ①

函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于直線x=b 對稱，則f（x）=f（2b-x） ②

所以f（2b-x）=-f（2a-x）即f（x+2（b-a）=-f（x）

推廣：若函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，y0）和直線x=b（b＞a）皆對稱，則函數(shù)y=f（x）具有周期4（b-a）。

（證明：把圖像的平移關(guān)于點(diǎn)A（a，0）和直線x=b 對稱即可證明。）