欠驅動水面機器人的有限時間鎮定控制

（廣東海洋大學寸金學院，廣東 湛江 524094）

水面機器人也叫水面無人艇（unmaned surface vessel,USV），是一種在海洋或湖泊中能自主航行，并能完成指定任務的小型水面船舶。由于無人水面機器人在情報搜集、偵查、氣象探測、搜救等方面具有突出的優勢，成為各國競向發展的新裝備。

由于水面機器人在橫向上不具有驅動機構，故被稱為欠驅動船舶，這種特性再加上海洋環境不確定性的影響，使得這種機構的動力學系統具有強非線性、耦合性和各不確定性的動態特性，從而造成控制器的設計和分析更為復雜。針對水面機器人的控制問題，許多學者做了大量研究，如Ghommam J等人[1]提出了一種非連續反饋控制方法解決了無人艇的控制問題，而廖煜雷等人[2]則提出了一種時變光滑的鎮定控制律。Ma Baoli等人[3]設計了一種指數穩定的變切換控制律。劉楊等人[4]提出了一種非連續變參數鎮定控制器。Frdric M等人[5]實現了全局一致性漸近鎮定控制。孟威等人[6]利用滑模變結構理論，提出了一種非線性的滑模軌跡跟蹤控制策略。最近，萬磊等人[7]針對非完全對稱欠驅動的無人艇，設計了一種全局漸近鎮定的控制器。這些研究成果均保證了系統的漸近穩定性，但是，至今未見到有限時間穩定的水面機器人控制器的研究成果。

有限時間穩定[8]是指系統的狀態能在有限的時間內到達平衡點，具有比傳統的漸近收斂更好的動態特性和更強的魯棒性，因而，有限時間鎮定控制作為一種新的非線性控制方法得到學者的廣泛關注，從而取得了一系列的研究成果，如文獻[9-11]等。本文針對欠驅動水面機器人的復雜性特點，研究提出了一種有限時間收斂的控制器，從而獲得了更好的控制性能。

1 非完全對稱水面機器人模型

1.1 運動學與動力學模型

考慮水面機器人在縱蕩、橫蕩和艏搖三個方向上運動的運動學模型[7]

式中：η = [x，y，φ]T，x為縱蕩位移，y為橫蕩位移，φ為艏搖角度，參考方向為正北，R（φ）為艏搖的旋轉矩陣，定義為

ν=[u，ν，r]T，u為縱蕩速度，ν為橫蕩速度，r為艏搖角速度。水面機器人水平面非線性動力學模型[5]為

式中，τ為控制力，由于該水面機器人為無欠驅動系統，因此只考慮縱蕩方向和艏搖方向兩個控制輸入，即 τ＝ [τu，0，τr]T，M（ν）為慣性系統矩陣，且

C（ν）為科氏力和向心力矩陣，且

其中，c13=-c31＝ -m22ν- （m23+m32）r/2；c23=-c32=m11u；D（ν）為阻尼系數矩陣，且

實際上，由于水面機器人系統的非對角線元素不全為零，使得對系統的分析和控制器設計變得異常困難，為此，本文利用文獻[7]中的兩次全局微分同胚變換，得到如下形式的級聯系統：

1.2 有限時間穩定性定理

判別系統有限時間穩定性的有限時間Lyapunov穩定性理論及相關概念如下：

定義1有限時間控制：考慮非線性系統

其中，f：Rn×m→Rn是連續的。如果存在一個連續反饋控制律u＝ 準（x），其中 準（0）=0，使得閉環系統的原點x=0是（局部）有限時間穩定的平衡點，則閉環系統x觶＝f（x，準（x））是有限時間穩定的，此反饋控制律u＝準（x）被稱為有限時間穩定性控制器。

引理1[8]針對非線性系統（4），如果存在一個定義在原點鄰域U奐Rn上的函數V（x），并且V（x）是C1光滑的，且存在實數0<μ<1和d>0，使得下列條件成立：

（1）V（x）在U上是正定的；

（2）V觶（x）+dVμ（x）≤0，坌x綴U坌坌0

則系統（4）是局部有時間穩定的。在初始狀態x（0）=x0下的停息時間估計為：

式中，x0為原點某一開鄰域內的任意一點。如果U=Rn并且V（x）是正則的，則系統（1）是全局有限時間穩定的。

引理 2對于任意給定的實數ai,i=1，…，n，若0<μ1<1，0<μ2<2，則以下不等式成立:

定義如下的 Sig(·)α向量：

其中x=[x1，…，xn]T綴Rn，0< α <1,sgn(·)是標準的符號函數。

2 有限時間鎮定器設計

考慮系統（3）的兩個子系統

為設計輸入量f1，引入虛擬輸入σ，則系統（9）就化為：

選擇如下的Lyapunov函數

對上式求導，并結合式（11）可得

若選擇如下的控制律

將式（14）代入式（13），有

為保證z2的有限時間收斂，選擇如下的虛擬輸入量：

為設計控制輸入f2，定義誤差變量s=z6-σ，則，z6=s+σ將式（3）表示為如下形式：

選擇如下Lyapunov函數

對式（18）求導可得：

因此，設計控制律為

則有

實際上，V2≤-lV2≤0意味著V2是有界的，因此，z2,z3,z4和s是一致有界的。證畢。

3 仿真

為說明本文算法的有效性，對上述控制律進行機器人鎮定控制仿真實驗，模型參數[7]為：m11=1.127，m22=1.890 2，m33=0.127 8，m23=m32=-0.074，d11＝0.035 8，d22=0.118 3，d33=0.030 8，d23=-0.012 4，d32=-0.004，機器人初始狀態為：x(0)=-1m，y(0)=-1m，φ(0)=/2，u(0)=0，ν(0)=0，r(0)=0，可計算出對應微分同胚變換的初始狀態為：z1(0)=-1.039 2，z2(0)=0.857 7，z3(0)=1.570 8，z4(0)=1.039 2，z5(0)=0，z6(0)=0。控制參數選擇為：k2=2，k3=1，k4=1.5，k6=1.5，λ=sin(t)，α=0.8。仿真結果如圖1、圖2所示，從圖中容易看出，原系統和變換后的系統狀態變量都是有限時間收斂的，從而說明了本文方法的有效性。

圖1變換后系統變量的收斂響應曲線

圖2原系統變量的收斂響應曲線

4 結束語

針對欠驅動水面機器人的特性，采用全局微分同胚變換方法和有限時間穩定性定理設計的有限時間鎮定器，一方面提高了系統的瞬態響應特性，另一方面也確保了系統的有限時間收斂特性，保證了系統的穩定性。理論分析和仿真實驗表明了該方法的有效性和可行性。

[1]Ghommam J，Mnif F，Benali A，et al.Asymptotic backstepping stabilization of an underactuated surface vessel[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2006，14(6):1150-1157.

[2]廖煜雷，龐永杰，張鐵棟．欠驅動自治水面船的全局k-指數鎮定控制方法[J]．哈爾濱工程大學學報，2011，32(4):417-422.

[3]Ma Baoli.Global k-exponential asymptotic stabilization of underactuated surface vessels[J].systems&Control Letters，2009，58:191-201.

[4]劉 楊，郭 晨，劉 雨.欠驅動船舶運動的非連續變參數鎮定控制[J].大連海事大學學報，2009，35(1):9-12.

[5]Frdric M，Kristin P，Henk N.Global uniform asymptotic stabilization of an underactuated surface vessel[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(10):1759-1762.

[6]孟 威，郭 晨，孫富春，劉 楊，等.欠驅動水面船舶的非線性滑模軌跡跟蹤控制[J].哈爾濱工程大學學報，2012，33(5):585-589.

[7]萬 磊，董早鵬，李岳明，何 斌，等.非完全對稱欠驅動無人艇全局漸近鎮定控制[J].華中科技大學學報：自然科學版，2014，42(8):48-53.

[8]Bhat SP，Bernstein D S.Finite-time stability of homogeneous systems [C]. Proceedings of the American Control Conference，1997:2513-2514.

[9 Bhat S P，Bernstein D S.Finite-time stability of continuous autonomous systems[J].SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38(3):751-766.

[10]Hong Y，Wang J，Cheng D.Adaptive finite-time control of nonlinear systems with parametric uncertainty[J].Automatic Control，IEEE Transactions on，2006，51(5):858-862.

[11]Feng Y，Yu X，Man Z.Non-singular terminal slidingmode control of rigid manipulators[J].Automatica，2002，38(12):2159-2167.