基于三相橋臂坐標的SVPWM 過調制方法

吳德會 夏曉昊 張忠遠 李 超

（廈門大學機電工程系 廈門 361005）

1 引言

空間矢量脈寬調制（Space Vector Pulse Width Modulation,SVPWM）技術[1]，由于具有較高的直流電壓利用率、較低的開關諧波及易于數字實現等優點，而被廣泛應用于變頻逆變及電機拖動領域[2]。而如何采用過調制方式提高電源電壓利用率是改善電機性能、獲得更大電磁轉矩的有效手段，也是當前人們較關注的一個熱點研究問題[3]。

目前關于過調制的策略大略可分為兩類[4]。一類是Holtz 提出的一種比較經典的SVPWM 過調制連續控制方法[5]。該法根據調制系數的不同，將過調制區分為Ⅰ、Ⅱ兩個階段；過調制Ⅰ區僅僅改變矢量的幅值，而過調制Ⅱ區要同時改變矢量的幅值和相角，以保證逆變器輸出電壓的連續性[6]。文獻[7]中提出了一種邏輯判斷法則，不需要計算保持角并將過調制Ⅰ、Ⅱ兩個分區的方法進行統一處理。文獻[8]中討論了一種矢量疊加的過調制策略，通過在兩分區中進行圓形軌跡和六邊形軌跡的加權疊加，能改善一定的過渡平滑性。另一類是Bolognani等學者提出的將兩個階段的過調制合成為單模式策略。該方法易于計算機處理。但是該方法過程簡單，精度不高[9]。Lee 等通過建立基波輸出電壓和調制系數的函數關系，通過傅里葉級數來計算不同調制度條件下的參考角和保持角，在全過調制范圍內都能得到輸出電壓的線性控制。但是該方法的在線計算量較大，采用離線查表的方式又限制了可實施精度[10]。

以上這些過調制策略在一定程度上進一步提高了SVPWM 方法的電壓利用率[11]。但由于基本思路都是針對經典SVPWM 實施步驟，因此均需要補充額外的“過調制算法”來實現[12]。本文通過對SVPWM 的本質分析，從一個新的角度來看待SVPWM 的過調制問題。在該角度下，取消了扇區的概念以簡化計算，并統一了SVPWM 進行線性調制與過調制的算法，避免了常規過調制算法中控制角和保持角的計算，可實現從線性調制到六階梯模式的連續平滑調制。

2 經典SVPWM 過調制策略分析

2.1 SVPWM 原理[1]

經典SVPWM 的思想是用三相橋臂（6 個開關器件）對應的8 個基本電壓矢量組合，將空間劃分為6 個扇區。在每個扇區內，用相鄰的2 個非零電壓矢量和零矢量的組合去逼近參考電壓矢量。

圖1 為SVPWM 的電壓空間矢量圖示意。其中，Uref為參考電壓矢量，θ 為其旋轉角。不妨記上橋臂導通并且下橋臂關斷為1，反之為0，則電壓矢量標號以abc 為順序；可視000 和111 狀態為一種狀態，統稱為零矢量，100、110、010、011、001 和101稱為非零矢量。

圖1 中的Uref位于Ⅰ扇區，不妨以其為例，設調制周期為Ts，矢量U1作用時間為T1，矢量U2作用時間為T2，用U0表示零矢量，其作用時間為T0。則有

圖1 電壓空間矢量分布及扇區劃分示意 Fig.1 Diagram of the voltage space vector and sectors division

根據電壓矢量空間合成原理，將式（1）在直角坐標下進行分解。通過三相逆變器拓撲結構，可確定電壓矢量U1、U2及U0，并代入式（1），可得如下幾何關系

式中，Ud為逆變器直流側電壓。

[13]定義逆變器的調制度為

則聯立式（2）和式（3），可直接求解得到Ⅰ扇區下的T1、T2和T0為

2.2 SVPWM 過調制算法分析

由式（4）可以直接計算零矢量的作用時間為

目前比較普遍的是采用分區過調制算法。在過調制Ⅰ區中，過調制曲線分布如圖2a 所示，其基本思路是：參考電壓矢量Uref的軌跡超出正六邊形的 部分（即α ＜θ ＜ /3π -α，α 為控制角），將保持其 相位不變并拉回至六邊形的邊界，形成新的待合成電壓矢量ref′U ；而對于未超出六邊形部分，仍保持圓形軌跡，即。

圖2 SVPWM 分區過調制策略示意（第Ⅰ扇區） Fig.2 Over-modulation strategy of SVPWM zoning （sectorⅠ）

在過調制Ⅱ區形成的調制曲線如圖2b 所示。為了獲得更大的伏秒平衡區域，其基本思路是：調制輸出電壓ref′U 必須保持在正六邊形的頂點一段時間，以獲得足夠的電壓利用率；然后ref′U 再保持其相位不變，并沿著正六邊形邊界走完剩余的調制周 期（即α ＜θ ＜ /3π -α，這里α 又稱為保持角）。過 調制Ⅰ區和Ⅱ區的具體實現算法，在文獻[9]中有詳細介紹，本文不再贅述。

從本質上看，經典SVPWM 的計算公式自身沒有約束性，其計算結果中會出現與現實相餑的情況（T0＜0），因此需要引入過調制算法進行結果修正。但如果能換角度重新構造SVPWM，并保證計算結果始終可在逆變器上實施，則無需再引入額外的過調制算法來提高電壓利用率。

3 三相橋臂坐標下的SVPWM 過調制

3.1 三相橋臂坐標

經典的SVPWM 方法中，共構造了8 個基本電壓矢量。而每個扇區內的參考電壓矢量Uref又由2個非零矢量和零矢量來合成。但當調制度m 較大時，有可能計算得到的作用時間T0、T1、T2之和大于調制周期Ts，使實際逆變器無法有效輸出。

如果換個角度來看，逆變器本質上是使用三相橋臂的對應輸出電壓矢量Ua、Ub和Uc來合成Uref。則可以不考慮8 個基本電壓矢量，而直接立足三相橋臂輸出來實現SVPWM 調制。本文中定義3 個“新的”基本電壓矢量Ua、Ub和Uc，并記Ta、Tb和Tc分別表示Ua、Ub和Uc的作用時間。

很明顯，經典SVPWM 計算得到的作用時間T0、T1、T2需要由逆變器順序執行，即是一種“串行”時間關系。而本文新方法中定義的作用時間Ta、Tb、Tc可由逆變器三相橋臂同步執行，是一種“并行”的時間關系，可在0～Ts范圍內自由取值，相互之間無約束。圖3 中給出了兩種方法定義的作用時間在相同5 段式時序關系的示意。

圖3 兩種方法定義作用時間的時序關系（5 段式） Fig.3 Sequential relationship of action time defined by two methods (five-step)

由于經典SVPWM 采用了“串行”時間關系，因此計算得到的T0、T1、T2之和有可能大于調制周期Ts。而新方法中的Ta、Tb、Tc是“并行”的時間關系，不存在上述矛盾。三相橋臂的輸出電壓矢量Ua、Ub和Uc互成夾角，因此構成的三相橋臂坐標系如圖4 所示。

圖4 基于三相橋臂坐標系的電壓矢量合成關系 Fig.4 Synthetic relationship of voltage vectors based on three-phase-bridge-arm coordinates

三相橋臂坐標系下的參考電壓矢量Uref合成，應滿足如下伏秒平衡關系

式（6）中的矢量是2 維的，而存在Ta、Tb和Tc3 個待定系數，因此式（6）的解不唯一。本文對式（6）進行簡化，根據三相橋臂坐標軸關系，不難得出。代入式（6）可得

由式（8）來看，僅存在2 個未知系數TA和TB。根據Ua、Ub的坐標軸關系，可通過坐標投影可得到如下唯一解

再由TA、TB的定義，可方便地重構出三相橋臂的作用時間Ta、Tb和Tc為

3.2 過調制的實現

很明顯，式（10）中min(Ta,Tb,Tc)=0 恒成立，則電壓矢量合成范圍（正六邊形區域）滿足max(Ta,Tb,Tc)≤Ts，六條邊滿足max(Ta,Tb,Tc)=Ts。因此，在三相橋臂坐標系下，超出合成區域的判斷準則為max(Ta,Tb,Tc)＞Ts。當然，由于Ta、Tb和Tc是并行的作用時間，相互之間無約束，因此給處理過調制問題帶來優勢。

較理想的過調制處理是最小誤差策略，即實際 合成的電壓矢量應滿足。在線性 調制區，很明顯有，但在過調制區，需要確定的求取模型。圖5 給出了最小誤差策略在第Ⅰ扇區中實現過調制的示意。

圖5 最小誤差策略的過調制原理示意 Fig.5 Over-modulation principle of minimum error strate gy

如圖5 所示，當出現過調制時，參考電壓矢量Uref位于六邊形之外。投影Uref到六邊形AB 邊于點C，由幾何關系不難看出，矢量OC 在六邊形區域內與Uref具有最小的擬合誤差，因此矢量OC 即為所求的待合成電壓矢量ref′U 。這種策略在相角上不能保證完全跟隨，但是可以實現誤差幅值的最小化。

參數的一般表達為

結合式（9）、式（10）及式（13），可得到基于三相橋臂坐標下SVPWM 的線性調制和過調制的通用求解模型

當然，利用式（14）中求解的aT′、bT′和cT′來直接控制逆變器三相橋臂作用時間，即可實現5 段式SVPWM。7 段式SVPWM 時序關系可在aT′、bT′和cT′中劈零來實現，其原理比較簡單，本文不再贅述。

將式（14）與式（4）中經典SVPWM 在一個扇區的求解模型比較，不難看出：新方法無需進行經典SVPWM 扇區的判斷，也簡化了多扇區求解模型的復雜度。雖然，新方法增加了TA、TB以及Ta、Tb、Tc之間的比較，但總體計算量更小。同時，新方法將“串行”的合成時間關系推導為“并行”，取消了傳統扇區的劃分，給出的是線性調制和過調制統一的求解模型，避免了現有過調制算法中控制角和保持角的計算。

4 過調制性能分析

4.1 過調制Ⅰ區

當參考電壓矢量Uref始終處于圖1 所示正六邊形區域之內時，有max(Ta,Tb,Tc)≤Ts成立，其調制過程處于線性區，最大調制度為0.906 9。根據求解模型式（14），在線性區實際合成的電壓矢量。但當所求時，說明對應的Uref處于六邊形區域之外，進入過調制區域。

圖6 給出了新方法在過調制Ⅰ區實際合成的電壓矢量軌跡。其中，粗實線為實際合成的電壓矢量軌跡，長虛圓弧線為期望的參考電壓矢量Uref軌跡，短虛線表示調制波中的基波分量UB。

圖6 新方法在過調制Ⅰ區實際合成電壓矢量軌跡 Fig.6 Actual synthetic voltage vector trajectory in over modulation regionⅠwith the new method

在過調制Ⅰ區，參考電壓矢量Uref的幅值滿足：，因此Uref的軌跡僅有部分 處于正六邊形區域之內。如圖6 中粗實線所示，對于處于六邊形內的部分，新方法實際合成的電壓矢量仍保持圓形軌跡，即。而對于超出正六邊形的部分，新方法無需計算控制角α，可直接在三相橋臂坐標系下調整，將實際合成的約束到六邊形的邊界上。從圖6 中不難看出，此時Ts明顯成立，因此在過調制Ⅰ區，求解模型式（14）中的限幅運算符不會發揮作用。

4.2 過調制Ⅱ區

如果進一步擴大參考電壓矢量Uref的幅值，并 使，則Uref的軌跡與正六邊形無交點。 通過本文的新調制方法后，可獲得更大的電壓利用率，我們稱此階段為過調制Ⅱ區。根據基于三相橋臂坐標的通用求解模型式（14），過調制Ⅱ區中實際合成的軌跡仍將被限制在正六邊形邊界上。圖7 給出了在過調制Ⅱ區實際合成的電壓矢量軌跡示意。

圖7 新方法在過調制Ⅱ區實際合成電壓矢量軌跡 Fig.7 Actual synthesized voltage vector trajectory in over modulation regionⅡwith the new method

圖中長虛圓弧線為期望的參考電壓矢量Uref軌跡，短虛線為調制波中的基波分量UB，粗虛線為實際合成的電壓矢量ref′U 軌跡。由于過調制Ⅱ區中Uref軌跡大于正六邊形外接圓，因此如圖7 中所示，當Uref較靠近頂點B 時，在邊AB 上的投影也將落在頂點B 之外。

通過計算在圖8 中給出了基于三相橋臂坐標下SVPWM 方法調制度變化規律。在線性調制區（0＜m≤0.906 9），調制的基波電壓UB與參考電壓Uref相等，可實現1:1 的線性調制關系。在過調制Ⅰ區，Uref的最大幅值可取（對應調制度1.047 2），但實際合成的沿正六邊形邊界運動，輸出基波 UB調制度m=0.956 6。理論上說，僅當趨于無窮大時，新方法輸出的基波調制度 m=1。但當時，逆變器實際調制度m 已達0.999， 此時已可輸出較理想的六階梯波。

圖8 新方法中參考電壓幅值與調制度的對應關系 Fig.8 The corresponding relationship between reference voltage amplitude and modulation with the new method

5 仿真與實驗

5.1 仿真驗證

在 Matlab/Simulink 環境下編程實現基于三相橋臂坐標的SVPWM 求解模型，并進行仿真驗證實驗。仿真參數為：逆變器直流側母線電壓540V，開關頻率2kHz；輸出頻率為50Hz，輸出電壓幅值隨調制度m 可調。圖9 為調制度m 從0.9～1.0 連續變化時，逆變器輸出的電壓波形圖（5 段式時序關系）。

圖9 不同調制度下新方法的輸出波形 Fig.9 Output waveform under different modulation with new method

從圖9a 中可以看出，線性調制區時，新方法生成的相電壓調制波呈雙峰分布。隨著調制度m 的增加，逆變器逐漸由線性調制進入到過調制，對應的調制波波峰逐漸被削平；在過調制Ⅱ區已無雙峰特性，演化為梯形波；最后當調制度 1m= 時，工作在方波輸出狀態下。圖9b 為逆變器實際輸出相電壓Ua和線電壓Uab的PWM 波形。不難看出，隨著調制度m 的增加，逆變器輸出電壓波形中的脈沖數逐漸減少，最后輸出六階梯波。

仿真實驗結果充分表明，利用本文所提新方法，無需采用獨立的“過調制算法”，可實現從線性調制區到過調制Ⅰ區，過調制Ⅱ區，直至六階梯模式的連續調制。

5.2 諧波分析

圖10 調制波的頻譜對比分析 Fig.10 Comparative analysis of spectrum for modulation wave

從圖中不難看出，兩種方法生成線電壓的基波（50Hz）幅值相同，均為580V 左右，因此兩種方法均可實現過調制，提高電壓利用率。但是，常規分區過調制算法生成的調制波中，存在較明顯的低次諧波（5 次、7 次、11 次、13 次等），實測其THD為16.48%。新方法生成的調制波中5 次、7 次諧波的幅值更小，而11 次、13 次以上的諧波基本沒有，其調制波THD 為12.17%。

再設置新方法仿真模型的調制度m 從0.9 到1.0變化（每間隔0.001 實驗1 次），該組實驗包括線性區、過調制Ⅰ區、過調制Ⅱ區及六階梯模式運行模式。同時，記錄不同調制度 m 下輸出調制波型的THD 值，繪制諧波強度與調制度關系曲線圖，并與現有常見幾種過調制算法結果進行對比[8,14,15]，其結果如圖11 所示。

圖11 不同方法輸出的過調制波THD 對比 Fig.11 Contrast of THD of output over modulation wave with different methods

從圖中可以看出，在本文中，雖仍參照過調制Ⅰ區和Ⅱ區分別對新方法性能進行了討論，但新方法實際僅有一個統一的調制策略，并沒有獨立的“過調制算法”。故從線性區到六階梯模式（0.9≤m≤1），新方法的THD 曲線呈連續光滑。在線性調制（m≤0.906 9）和六階梯模式（ 1m= ）運行時，各種方法實際生成的調制波波形相似，諧波含量相同，THD值也相等。在現有方法中，目前文獻[16]中討論的疊加SVPWM 過調制算法具有公認的較佳諧波抑制效果。如圖11 所示，在過調制Ⅰ區和Ⅱ區的過渡區域，疊加SVPWM 過調制算法生成的調制波與新方法類似，THD 值也基本相等。但在調制區內部（尤其是過調制Ⅱ區），新方法的THD 曲線呈凹弧線分布，具有更小的諧波畸變。

5.3 實驗測試

為驗證所提新方法的可行性進行了實際物理實驗測試。實驗系統選用二電平逆變器拓撲結構，使用K40T120 型IGBT 作為開關器件，開關頻率為9kHz，新方法在DSP 控制單元TMS320F2812 平臺上編程實現。開關器件使用三相驅動芯片IR2233S，其與DSP 管腳之間用高速光耦M456 隔離。負載選用三相星型聯結的阻感性負載，其中負載電感，電阻 100R= Ω。

實驗測試時，逆變器的輸入為三相380V，內部直流母線電壓540V。逆變器輸出參考電壓頻率設定為50Hz，輸出PWM 波的調制度m 在0～1 之間可調。逆變器輸出的相電壓信號Ua、線性電信號Uab及相電流 Ia直接（無低通濾波）與數字示波器TPS2014 連接進行監測，其中設置TPS2014 的有效采樣頻率為50kHz，采樣長度2 500 點（0.5s）。

圖12 中給出了逆變器調制度m 分別為0.8 和1.0 時，實際輸出的PWM 電壓和負載相電流波形；其中，由上到下的三個通道依次為相電流Ia，相電壓Ua和線電壓Uab。

圖12 實際逆變器輸出電壓電流波形 Fig.12 Voltage and current output waveform of actual inverter

從圖12 中可見，實際逆變器輸出的PWM 電壓波形與仿真結果吻合較好。當調制度m =0.8 時（如a 圖所示），逆變系統工作在線性調制區。此時，作用在阻感性負載上的相電流Ia呈現較好的正弦特性，實測其THD 僅為1.18%。繼續提高逆變器的調制度m，實測作用在負載上的相電流Ia幅值也跟隨增大，但進入過調制區后，相電流Ia會出現畸變。從圖12b 中可以清楚地看出，利用文本所提過方法，逆變器可運行在六階梯波模式，實現了最大基波電壓輸出。此時逆變器輸出的相電流Ia畸變亦比較明顯，其波形中每個周期由六段弧線構成，實測其THD 達到11.0%。該實驗驗證了所提的SVPWM 方法在過調制技術上的有效性。

6 結論

（1）經典SVPWM 的計算公式自身沒有約束性，因此在過調制區域，其計算結果中會出現合成矢量時間之和大于調制周期的情況，因此需要額外引入過調制算法進行結果修正。而新方法引入了新的三相橋臂坐標，在該坐標下將經典SVPWM 的串行合成時間關系推導為并行，從而避免了上述情況。

（2）與經典SVPWM 的過調制技術相比，新方法可實現從線性區、過調制Ⅰ區、過調制Ⅱ區直到六階梯模式的連續平滑調制，是一種“無過調制算法”的過調制策略。

（3）新方法取消了傳統扇區的劃分，簡化了多扇區求解模型的復雜度，給出的是線性調制和過調制統一的求解模型，避免了現有過調制算法中控制角和保持角的計算。

（4）新方法在線性調制和六階梯模式下調制效果與經典SVPWM 方法相當；但在過調制區，其輸出PWM 波形的THD 明顯小于常規過調制方法。

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