基于有色噪聲自適應卡爾曼濾波的GPS單點定位

2015-02-19 02:57:10夏志浩趙長勝馬曉君

測繪通報 2015年3期

夏志浩，趙長勝，馬曉君

(1. 金壇市城鄉測繪院，江蘇金壇 213200； 2. 江蘇師范大學城建與環境學部，江蘇徐州 221116)

GPS Single Point Positioning Based on Adaptive Kalman Filter of the Colored Noise

XIA Zhihao，ZHAO Changsheng，MA Xiaojun

基于有色噪聲自適應卡爾曼濾波的GPS單點定位

夏志浩1，趙長勝2，馬曉君2

(1. 金壇市城鄉測繪院，江蘇金壇 213200； 2. 江蘇師范大學城建與環境學部，江蘇徐州 221116)

GPS Single Point Positioning Based on Adaptive Kalman Filter of the Colored Noise

XIA Zhihao，ZHAO Changsheng，MA Xiaojun

摘要：將有色噪聲一階AR模型的自適應卡爾曼濾波應用到精密單點定位中，采用當前歷元的預測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值確定相關系數ρspan。在使用一階AR模型進行解算時，使用實測數據對模型進行驗證，證明了該方法確定的相關系數能夠有效提高擴展卡爾曼濾波(EKF)解算過程中的收斂速度和幅度。

關鍵詞：擴展卡爾曼濾波；AR模型；自適應；有色噪聲

一、引言

有色噪聲可以看成一個平穩的時間序列，通常使用自回歸(AR)模型，滑動(MA)模型和自回歸滑動平均(ARMA)模型等方法進行建模[1]。在使用AR模型進行建模時，由于相關系數ρk,k-1在整個數據解算的過程中是一個時變參數，而不是一個固定量，因此相關系數難以確定。濾波估計參數向量的初始協方差陣和動態噪聲向量協方差矩陣的確定也是一個難點，而合理的初值和協方差矩陣才能保證動態定位的準確性。

本文在使用一階AR模型進行解算時，采用當前歷元的預測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值來確定相關系數，有效地避免了相關系數的取值不當，提高了擴展卡爾曼濾波解算過程中的收斂速度和幅度。

二、一階AR模型自適應濾波

對觀測值的噪聲使用一階AR模型對有色噪聲進行建模[2]

u(tk)=ρk,k-1u(tk-1)+ξk

(1)

式中，ρk,k-1為k-1與k歷元的相關系數矩陣；u(tk-1)為k-1歷元的觀測噪聲中的非高斯部分；ξk為高斯白噪聲向量。將式(1)代入擴展卡爾曼濾波的狀態方程和觀測方程可得

(2)

(3)

則狀態方程和觀測方程為

(4)

(5)

三、濾波初值的選取

濾波初值的選取直接影響濾波的收斂速度和濾波的是否發散，因此選擇合適的初值對動態精密單點定位有很大的影響。

GPS單點定位參數的初值為

使用以下初始方差矩陣可獲得較好的效果。

狀態估計向量的初始協方差矩陣為

式中，τ為觀測數據的采樣間隔；n為每個歷元的衛星數。

觀測向量的協方差矩陣為

動態噪聲向量協方差矩陣為

四、算例分析

以上海站2012-01-04T14∶19∶00—2012-01-04T16∶31∶30的靜態觀測數據為例，采樣間隔為30s，分別使用擴展卡爾曼濾波(EKF)和基于一階AR模型的擴展卡爾曼濾波(AKF&AR)進行計算，結果如圖1—圖3所示。

圖1　X軸坐標差值比較

圖2　Y軸坐標差值比較

圖3　Z軸坐標差值比較

從圖中可以看出，基于一階AR模型的擴展卡爾曼濾波(EKF&AR)比擴展卡爾曼濾波(EKF)的收斂速度和幅度都得到了提高。兩種濾波最后都近似收斂于同一曲線，這是由于一開始是將IGS參考站已知坐標作為起算初始值，相對應的系統噪聲向量協方差取0.000 3，系統噪聲向量協方差較小,增大預測值對結果的影響，使得最終坐標都收斂于該點。由此可以看出，卡爾曼濾波在進行解算的過程中無論是白噪聲還是有色噪聲都能起到去噪作用(見表1)。

表1　EKF和AKF&AR兩種算法誤差對比圖　m

由表1可以看出，本文中的改進方法可以使3個方向收斂后的均方根差分別減少1 mm、2 mm和1 mm，在濾波解算的過程中，定位結果更加接近坐標的真實值。

如圖4所示，ρk,k-1分別取0.3、0.5、0.8和當前歷元的預測殘差均方根誤差與上一歷元的觀測殘差均方根誤差的比值r。從圖中可以看出當取0.5和0.8時，觀測噪聲中的非高斯部分u(tk)隨著時間推移有增大的趨勢；當取0.3和r時，u(tk)相對比較平穩，更加符合AR模型是基于平穩的時間序列的假設。