非均勻內流對航空燃油管道振動特性影響的波動法研究

王良偉

（中國特種飛行器研究所，湖北 荊門 448035）

0 引言

輸流管道的流致振動問題普遍存在于眾多的工程領域中。在很多發達國家，每年因管道振動造成的損失都接近100億美元［1］。管道的流致振動問題困擾著工業領域的工程師和研究者，解決管道系統流致振動問題的關鍵是獲取能夠準確描述輸流管道系統流致振動規律的動力學模型［2］。事實上，在輸流管道動力學的研究中，非均勻流和均勻流模型的本質區別在于其速度沿截面的分布不同。在目前已有的輸流管道研究中，大部分研究者采用的是活塞流模型［3］，即認為截面上的流速是均勻分布的。活塞流模型有一定的合理性，但是在理論上并不精確，由于管壁和流體之間摩擦力的存在，輸流管道中同一個截面上流體速度并不是處處相等的。根據流體力學相關理論，其內流場的分布與管內流體的雷諾數直接相關［4］。當流體的雷諾數超過臨界值時，管中流體形式為湍流，由于湍流的流速沿截面的分布是近似均勻的，因此可以用活塞流模型來描述。但是當流體的雷諾數尚未超過臨界值時，管中輸送的流體以層流形式存在，此時，流速沿橫截面的分布呈拋物面形［4］。

目前，研究者已經對于管內輸送層流和湍流的情況進行了初步的研究，針對已有的輸流管道動力學方程沒有考慮流體流動的非均勻性，C.Q.Guo［5］等對于輸送層流和湍流時管道的動力學方程進行了一定的修正，這種修正在已有的輸流管道動力學方程中的離心力項增添了一個表征流體非均勻性的參數。A.M.Helluma［6］等采用NPLUG模型來表征非均勻流場，即認為非均勻流場是由多層均勻流組合而成。

在求解輸流管道動力學方程的方法中，波傳播解法是一種新型的半解析方法，通過彈性波在介質中的循環傳播以及在介質邊界處的反射與透射過程來建立控制方程，從而求解系統的動力學特性。B.H.Li等利用波動方法求解過輸流多跨直管道和彎曲管道自由振動的動力學響應［7-8］。波傳播解法易于編程實現，并有較高的計算效率。

本文采用開放系統Hamilton原理直接建立輸送層流時航空燃油管道的動力學控制方程，并利用波傳播解法對于控制方程進行求解，得到管道的前四階固有頻率，并將輸送均勻流和非均勻流時管道的固有頻率進行了對比，為非均勻流對管道的動力學特性的研究提供了一定的借鑒。

1 非均勻流管道動力學模型

含有非均勻流的管道如圖1所示，假定管內流體處于層流狀態。

圖1 含非均勻流的管道示意圖

對于層流來說，截面上流速的分布呈拋物面型，流速方程為

式中：r為管道橫截面的徑向坐標；2R為管道的內徑；V為管流流速，V0為管道中心處的流體流速。

本文所研究的管道是細長管，因此采用Euler-Bernoulli梁模型，假設管道兩端簡支，其橫向振動位移簡圖如圖 2 所示［9］。

圖2 簡支管道橫向振動示意圖

采用Hamilton原理進行輸流管道動力學模型的建立，輸流管道系統是一個開放系統，開放系統的Hamilton原理具有以下形式：

式中∶￡為系統的拉格朗日函數，即系統的動能函數與勢能函數之差；δW為非保守力做功；M為單位長度流體質量；re為管道流體出口端的位置矢量。

經過推導得到輸送層流時的管道動力學方程為

通過式（3）和式（4）的對比，發現采用非均勻流模型建模時，動力學方程中的離心力項，以及科氏力項 MV與采用均勻流模型時的動力學方程中的對應項有所區別。而對于非均勻流和均勻流來說，動力學方程中的彎矩項以及加速度項（m+M）是相同的。

事實上，非均勻流和均勻流模型的本質區別在于其速度沿截面的分布不同，因此，在動力學方程中，涉及流速分布的項是不同的，而不涉及流速分布的項是相同的。因此，對于比較簡單的非均勻流場，可以直接采用較少的參數對于均勻流情況下輸流管道動力學方程中流速項進行修正，即得到非均勻流情況下輸流管道的動力學方程。

2 非均勻流管道的波傳播解法

輸流管道的橫向振動可以看作是簡諧振動的疊加，簡諧振動方程為

式中：k為波數；ω為圓頻率；c為常數。

將式（7）代入式（3）中，可以得到原偏微分方程的特征方程：

式（8）中k有4個根，4種不同的波數分別對應4種波模式。管道的位移形式可以寫為

為表示方便，以下標1、2代表左行波，3、4代表右行波。簡支管道中的波傳播如圖3所示。

圖3 簡支管道中的波模式

圖（3）中所示 l、r分別表示左右兩端部，上標+、-分別表示向正、負方向傳播的波。波的具體形式為∶

依據波的循環傳播原理［10］，彈性波在管道中傳播，并且在管道端部發生反射，其傳播矩陣和反射矩陣分別為TR，TL，Rr，Rl波的循環傳播關系為：

根據管道兩端簡支的邊界條件，可以得到在邊界處的反射矩陣為

上述方程有非零解的條件是

通過求解式（16）可以得到輸流管道系統的固有頻率。

由于在求解過程中，一部分數值計算可以用較為簡單的理論計算所替代，因此波傳播解法的計算效率較高［8］，此外，波傳播解法作為一種半解析的方法，在計算過程中用波動函數作為形函數，因此波傳播解法的計算精度較高。

3 算例及分析

以圖4所示的輸油管道為例進行分析，系統幾何尺寸如圖4。

圖4 管道尺寸示意圖

3.1 均勻流輸液管道的固有頻率

在對方程（16）進行求解時，直接尋找H實部和虛部同時為零的點存在困難，因此對于H的模進行取對數運算，并且作“頻率-ln|H|”曲線，曲線上斜率為負無窮的點（即圖中的尖點）即近似認為是固有頻率點。

假設管道內流為均勻流，利用波傳播解法計算流速分別為7.5 m/s、15 m/s和22.5 m/s時其固有頻率，結果如圖5所示。圖5中每個斜率接近負無窮的點對應的橫坐標即是輸流管道的固有頻率點。可以看出，管道內流為均勻流時，輸液管道的各階固有頻率隨流速的增加而減小。

3.2 非均勻流輸液管道的固有頻率

假設管道內流為非均勻流，截面上流速的分布呈拋物面型，利用波傳播解法計算截面最大流速分別為15 m/s、30 m/s和45 m/s時的固有頻率，結果如圖6所示。圖6中每個斜率接近負無窮的點對應的橫坐標即是輸流管道的固有頻率點。可以看出，管道內流為非均勻流時，隨著流速的增加，其各階固有頻率也會減小，這和均勻流的計算結果是一致的。事實上，隨著流速的增加，兩端簡支管道的剛度會有一定的降低，當流速增加至足夠大時，輸流管道將會發生失穩。

圖5 管道輸送均勻流時固有頻率計算結果

3.3 結果討論與分析

將管道輸送均勻流和非均勻流時的計算結果進行對比如表1。

從表1中可以看出，在同樣的有效均流速下，輸送層流時管道的固有頻率高于輸送均勻流時的固有頻率。這看起來似乎不合常理，因為層流是非均勻流，輸送層流的管道似乎應當有更小的固有頻率，事實上，均勻流是充分發展的湍流，而層流是雷諾數不超過臨界值的穩定流，輸送層流的管道應當有更大的剛度。

另一方面，從兩種情況下的動力學方程的對比中（式（4）、式（5））可以看出，非均勻流影響到的是方程的離心力項，非均勻流使離心力項相比于均勻流來說有所增大，這使輸流管道的固有頻率有所降低，而從振動的角度來說，非均勻流使整個系統的剛度增大了，前者的效果被后者抵消掉，因此整體上來說，固有頻率會有所提高。

對于更高的流速的層流，本文不作計算，因為流體的雷諾數正比于流速，隨著流速的增加，流體雷諾數達到臨界值，層流不復存在，而轉捩成湍流。

圖6 管道輸送層流時固有頻率計算結果

表1 管道輸送均勻流和非均勻流時的前四階固有頻率 rad/s

4 結 論

應用開放系統的Hamilton原理推導了非均勻流輸液管道的動力學控制方程，利用波傳播解法求解了輸流管道系統的固有頻率，并與均勻流時的計算結果進行對比，得到以下結論∶1）無論對于非均勻流還是均勻流，輸流管道的固有頻率隨內流流速的增加而減小。2）非均勻流輸流管道相比于均勻流輸流管道有較高的固有頻率，這是由于非均勻流時，輸流管道的剛度有所增大導致的。

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（編輯昊 天）