基于旋量理論的機械手并聯機構剛度分析

張海英， 范進楨

（寧波職業技術學院，浙江 寧波 315800）

0 引 言

在現代化的加工車間，常配有工業機械手，用機械手代替人工完成如搬運、裝配、切割、噴染等作業，以提高生產效率，完成工人難以完成的或者危險的工作。

而剛度在很大程度上影響著機構的動態性能和末端的定位精度，所以剛度問題是設計和評價機構的一項重要指標，因此建立機構的靜剛度矩陣依此來分析機構的剛度問題非常重要［1］。通過對機構的剛度分析可以了解機構是否有足夠的剛度來承受一定的載荷，為機構的優化設計和控制方案設計做理論準備。本文采用旋量理論來分析機械手并聯機構的剛度問題。

1 機構描述

沖床機械手能適用于多工位沖壓生產線，為了完成圓形工件的取放操作，設計了一個機械手爪用于精確取放工件，該機械手手爪的機構圖如圖1所示，共有7個部分組成，其中手指5有3根，都采用軋制鋁材料。手指支架4在絲桿7的帶動下上下移動，可使抓手連桿3和手指 5在空間 360°內張縮運動。

2 機械手并聯機構剛度分析

柔性機構是一種靠構件元素或單元具有的柔性來輸出運動或里的機構，柔性鉸鏈機構和分布柔度全柔性機構是其中的兩種主要類型［2］。 復雜柔性機構的剛度分析是建立在單元柔性單元剛度矩陣基礎上的，對于并聯機構而言，末端剛度是先把所有支鏈的剛度變換到同一坐標系下，再把各個支鏈的剛度相加［3］。

2.1 單元柔性單元剛度矩陣的建立

針對某一個坐標系，作用在柔性單元上的廣義力包括移動量f和轉動量τ兩個部分，可用一個力旋量F來表示［4］：F=（ f；τ） 。

機械手手爪中的各構件是一個獨立的柔性單元，可看成是長度為L，密度為ρ，橫截面積為A的均質梁，位于如圖2所示的坐標系中，在靜止狀態下，只有末端作用一個力旋量F=（f；τ），在此力作用下，柔性單元產生的變形定義為變形旋量 W=（ δ；θ），其中 δ表示移動變形量，θ表示旋轉變形量，那么均質桿柔性單元末端的變形就可以寫成［5］

W（L）=（δx（L），δy（L），δz（L），θx（L），θy（L），θz（L））T。（1）式中：δx（L）、δy（L）、δz（L）分別表示長度為L的均質桿柔性單元在x軸、y軸和z軸方向上的移動變形量；θx（L）、θy（L）、θz（L）分別表示長度為L的均質桿柔性單元在x軸、y軸和z軸方向上的旋轉變形量。

圖2 靜止狀態下桿件的變形

沿著z軸方向的移動變形分量δz（z）、旋轉變形分量θz（z）和力分量fz的關系式為：

將力與彎曲變形投影到oyz平面，可得到oyz平面上移動量f和轉動量τ兩者之間的關系：

同樣將力與彎曲變形投影到oxz平面，可得到oxz平面上移動量f和轉動量τ兩者之間的關系：

根據式（ 2）、（ 3）和式（ 4）可以得到桿件變形旋量 W（ L）和力旋量 F 之間的關系式：W（ L）=A（ L）F。A（ L）為均質桿柔性單元的空間剛度矩陣，令 z=L，A（ L）可用下式表示［6］：

式中：E 表示材料的彈性模量；Ix、Iy、Iz分別表示均質桿柔性單元x、y、z軸的截面慣性矩；I表示截面極慣性矩；G表示均質桿柔性單元的剪切模量；L表示均質桿長度；S為截面積。

2.2 并聯機構剛度分析

將機械手手爪進行簡化后的機構圖如圖3所示，將參考坐標系原點定為C點，柔性單元均質桿材料為鋁（E=70 GPa，G=25 GPa），截面為矩形，如圖 3（ c） 所示，桿件長L=100 mm，厚h=3 mm，寬度b=10 mm，柔性單元分布圓半徑a=40 mm，p=40 mm，傾角β=5°。當受到力旋量作用時，將下端所夾持零件的運動瞬心表現到空間任一點上，機構發生偏移或者旋轉變形。從圖中看出該機構由3個同樣的柔性桿單元，均勻分布在一個圓周上，對于并聯機構而言，末端剛度是先把所有支鏈的剛度變換到同一坐標系下，再把各個支鏈的剛度相加［7-8］。

圖3 機械手手爪機構簡圖

首先確定單個柔性單元的空間剛度矩陣，根據圖3（b），先將該柔性單元的局部坐標取在其幾何中心處，得出該單個柔性單元的剛度矩陣為

式中：E表示材料的彈性模量；G表示均質桿柔性單元的剪切模量；L表示均質桿長度；Ix=b3h/12、Iy=bh3/12分別表示均質桿柔性單元x、y軸的截面慣性矩；I=Ix+Iy=（b3h+bh3）/12 表示截面極慣性矩；S=bh 為截面積［9］。

再將坐標系平移到柔性單元的末端D處，根據式（5）可得到柔性單元在新坐標系下的剛度矩陣為

為了分析機構整體的剛度，需將所有柔性單元的剛度矩陣都變換到同一坐標系下，為了便于分析，假設C點與D點在同一平面上，機構在C處所受合力和合力矩為50 N和50 N·m，將機構已知參數條件代入式（7）得到單個柔性單元的剛度矩陣［10］：

整個機構的總剛度矩陣為3個柔性單元剛度矩陣相加，所以機構的總剛度矩陣為：

根據W（L）=A（L）F=（δx（L），δy（L），δz（L），θx（L），θy（L），θz（L））T可得到

由此得出整體機構在C處的平移變形量δ和旋轉變形量θ。根據計算結果可以看出機構的移動變形量值遠遠小于旋轉變形量值，符合設計要求。

3 結 語

在沖床機械手并聯機構簡圖的基礎上，利用旋量理論建立柔性單元的空間變形旋量與力旋量之間的關系式，得出單個柔性單元的剛度矩陣，并推導出機械手并聯機構的總剛度矩陣。通過分析計算得出了機械手并聯機構的平移變形量和旋轉變形量值，此值可用來評價機械手的動態性能和末端的定位精度，為機構的進一步優化設計奠定了基礎。

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