三維尺寸鏈的偏差分析

張蕾

（合肥工業大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009）

0 引 言

在實際生產制造過程中，很難制造出完美的零件，實際制造出來的零件往往與理想設計存在偏差，零件在裝配過程中也會產生定位偏差，這些偏差在裝配過程中不斷累積，最終累積成產品的尺寸偏差。過度的尺寸偏差會導致產品失效或達不到預期目標，給生產制造帶來損失。因此，如何及早地發現過大的尺寸偏差并提出優化方案就成為目前機械制造領域研究的熱點。

目前，對尺寸偏差的分析大多建立在裝配尺寸鏈的基礎上。尺寸鏈是指在零件加工或總成裝配過程中，由相互聯系的尺寸按一定順序首尾相連排列而成的封閉尺寸組，組成尺寸鏈的各尺寸稱作尺寸鏈的環，有組成環和封閉環之分。通常把控制尺寸作為封閉環，已知尺寸作為組成環，然后通過已知尺寸的偏差計算出關鍵尺寸的偏差。這種方法在一維尺寸鏈上應用廣泛，并取得了較多的研究成果［1-3］。但是目前對三維尺寸鏈的偏差分析大多為定性分析［5-7］，能給出明確的計算公式的文獻相對較少且計算公式較為復雜［8］。

本文在前人研究的基礎上，將每個零件尺寸看作三維空間中的有向矢量，利用空間矢量的矢量長度和空間姿態角來表示矢量，建立了三維尺寸鏈的計算公式，并得到了三維尺寸鏈的偏差傳遞公式。

1 三維尺寸鏈的偏差分析

1.1 三維尺寸鏈模型

在三維裝配中，可以根據零部件間的尺寸關系和位置關系，確定零部件之間的裝配點，然后將這些裝配點依次相連，形成一個封閉的矢量環，如圖1所示，這樣，每一個零件都被簡化成矢量環上的一個矢量。這個封閉的矢量環即為所需的尺寸鏈模型，需要控制的那個尺寸矢量即為封閉環矢量，其他的尺寸矢量即為組成環。

1.2 三維尺寸鏈計算公式

三維尺寸鏈可以看作是由三維空間中一個個的矢量前后連接而成，每一個矢量都可以用空間向量來表示。圖2所示為簡單的三維尺寸鏈，l→1和l→2為組成環向量，l→3為封閉環向量。該尺寸鏈的向量表示形式為：l→3=l→1+l→2。

在三維空間中，每一個向量都可以用三維坐標來表示。對于尺寸鏈各組成環來說，決定其空間向量坐標的有3個值，組成環的長度l、姿態角α、姿態角β，如圖3所示。由幾何關系可得：

該尺寸鏈模型不僅適用于三維空間，同樣適用于一維空間和二維空間。當β1=β2=0時，該公式則變為二維尺寸鏈計算公式當 β1=β2=0 且 α1=α2=0時，該公式則變為一維尺寸鏈的計算公式

1.3 三維尺寸鏈的偏差計算公式

三維空間中的組成環要比一維空間和和二維空間中的更復雜，它的偏差不僅包括尺寸鏈長度的變化Δl，還包括姿態角的變化Δα和Δβ，并且在尺寸鏈計算過程中還存在三角函數的運算，這使得三維空間中的偏差計算更為復雜。

假設圖1中的組成環l→1和l→2分別產生了偏差Δl1、Δα1、Δβ1和Δl2、Δα2、Δβ2，此時組成環變為為l→1′和l→2′，其坐標式為：

由于 Δl、Δα、Δβ 的值均比較小，所以可認為 cosΔα≈1，cosΔβ≈1，sinΔα≈Δα，sinΔβ≈Δβ， 且認為 ΔαΔβ≈0，ΔβΔl≈0，ΔαΔl≈0。

則 cos（ β+Δβ）cos（ α+Δα） ≈cosβcosα-cosβsinαΔαsinβcosαΔβ，cos（ β+Δβ）sin（ α+Δα）≈cosβsinα+cosβcosαΔαsinβsinαΔβ，sin（ β+Δβ）≈sinβ+cosβΔβ。

最后，計算得到的封閉環為

1.4 敏感度矩陣

對應于偏差流理論［9］中的偏差傳遞公式 U=S·V，裝配偏差矩陣為U=l→3′-l→3，偏差源矩陣為裝配偏差對偏差源敏感度矩陣為S=

2 實例計算

下面以前大燈支撐側板總成為例進行實例分析。圖4所示為前大燈支撐側板總成，該總成由4個零件裝配而成，為了減少計算量，僅選取其中2個相連的零件進行分析。根據裝配關系我們可以把每個零件簡化成尺寸鏈上的一個組成環，圖中A、B、C 3點為零件之間的裝配點，因此可以用空間向量來表示這兩個零件。 在由這兩個零件組成的簡單尺寸鏈中，為組成環，為封閉環，。

在空間坐標系，測得A點坐標為（-636.7384，-432.3098，320.0523），B 點坐標為（ -494.7559，-762.1346，311.3680），C 點坐標為（ -281.3382，-735.7764，518.5242）。可得組成環=（141.9825，-329.8248，-8.6843），l1=359.1920，α1=1.164 294，β1=-0.024 180， 組成環=（ 213.4177，26.3582，207.1562），l2=298.5893，α2=0.122 883，β2=0.766 729。 則組成環=（355.4002，-303.4666，198.4719）。可求得該尺寸鏈的偏差傳遞公式為

由敏感度矩陣可以看出，不同的偏差對封閉環尺寸同一方向的影響不同，同一偏差對封閉環尺寸不同方向的影響也不同。敏感度反映了各偏差源在偏差傳遞過程中被放大的倍數。以封閉環在X軸方向的投影為例，它對Δα1的敏感度為329.8248，也就是說姿態角α1的極小偏差傳遞到封閉環X方向時，將會被放大300多倍。同時，根據敏感度矩陣中數值的正負，我們可以判斷出尺寸鏈上的增環和減環。敏感度矩陣直觀地反映了零件偏差對裝配偏差的影響，為后期進行公差優化提供了參考。

3 結 語

本文采用空間向量來表示尺寸鏈的各組成環和封閉環，并根據三維尺寸鏈的矢量關系，建立了三維尺寸鏈的偏差傳遞公式，得到了封閉環偏差對各組成環偏差的敏感度矩陣。

在尺寸鏈分析過程中，我們可以將所有零件根據裝配關系簡化成尺寸鏈上的一個個矢量，每個矢量由矢量長度和空間姿態角來進行坐標表示。在零件裝配過程中，制造偏差和裝配偏差直接反映為矢量長度的偏差和姿態角的偏差，各零件的偏差通過尺寸鏈傳遞到封閉環。

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