混合型多屬性決策的HB-SIR方法

王　方， 李　華， 張　曉

(西安電子科技大學經(jīng)濟與管理學院， 陜西 西安 710071)

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混合型多屬性決策的HB-SIR方法

王方， 李華， 張曉

(西安電子科技大學經(jīng)濟與管理學院， 陜西 西安 710071)

摘要：針對權(quán)重已知且屬性值為精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的混合型多屬性決策問題，提出了一種新的混合型級別高于方法(hybrid superiority and inferiority ranking，HB-SIR)。該方法依據(jù)混合型多屬性決策矩陣構(gòu)建正負理想方案，將混合型多屬性決策矩陣轉(zhuǎn)化成標準優(yōu)勢和劣勢差異信息矩陣，進而通過高斯準則計算各個方案的優(yōu)勢指數(shù)和劣勢指數(shù)，構(gòu)建優(yōu)勢矩陣和劣勢矩陣，并使用簡單加權(quán)(simple additive weighting，SAW)方法計算出方案的優(yōu)勢流和劣勢流，據(jù)此獲得方案的部分或完全排序。最后，通過一個算例驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：混合型多屬性決策; 級別高于關(guān)系; 高斯準則; 排序

0引言

級別高于方法是近年來研究最為活躍、應用十分廣泛的解決多屬性決策問題的一類方法。相對于其他力圖建立可行方案集上完全序的方法，它所要求的條件較弱，且結(jié)果更為可靠[1]。PROMETHEE方法和ELECTRE方法是2類常被用來解決多屬性決策問題的級別高于方法。與ELECTRE方法相比，PROMETHEE方法在級別高于關(guān)系的判定上更為精確，且較為簡單、易于實施[1-2]。文獻[3]于2001年對PROMETHEE方法進行擴展，提出了優(yōu)勢劣勢排序方法(superiority and inferiority ranking, SIR)，適于處理屬性值及其權(quán)重均是精確數(shù)形式的多屬性決策問題。SIR方法基于一般性準則構(gòu)建優(yōu)勢矩陣和劣勢矩陣，并通過適當?shù)亩鄬傩孕畔⒕C合處理方法求出各個方案的優(yōu)勢流和劣勢流，據(jù)此確定所有方案的部分或全部排序。自SIR方法提出以來，贏得了廣大研究者和實踐者的普遍關(guān)注[4]。文獻[4]針對屬性值及其權(quán)重均是猶豫模糊數(shù)的多屬性群決策問題，提出了猶豫模糊SIR方法(hesitant fuzzy-SIR，HF-SIR)和區(qū)間型猶豫模糊SIR方法(interval-valued HF-SIR，IVHF-SIR)。文獻[5-6]針對屬性值及其權(quán)重均是以直覺模糊數(shù)形式給出的多屬性決策問題，提出了一種直覺模糊SIR方法(IF-SIR)，并將其應用到供應商的選擇上。文獻[7]針對屬性值是精確數(shù)，而屬性權(quán)重信息不完全的多屬性決策問題，提出了2種SIR方法。文獻[8]針對屬性值是精確數(shù)，而屬性權(quán)重信息未知的多屬性決策問題，提出了基于層次分析法(analytical hierarchy process,AHP)求取屬性權(quán)重的SIR方法。文獻[9]則從多屬性信息綜合處理方法的視角，提出了不同于已有方法(SIR·TOPSIS[3,7])的灰色SIR方法(SIR·Grey)，用于解決大規(guī)模避難所選址問題。

需要指出的是，上述SIR方法為解決現(xiàn)實中存在級別高于關(guān)系的多屬性決策問題提供了較好的思路和支撐。然而，由于現(xiàn)實決策問題的復雜性和不確定性，屬性值不一定僅是一種形式的數(shù)值，如精確數(shù)[3,7,9]或模糊數(shù)[4,6]等，而往往可能是精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等多種類型同時存在的情形。例如某航空公司在評價擬購買的客機時，通常考慮購機費用、直接運營成本、可靠性、維修性、適應性和技術(shù)先進性等屬性，其中購機費用、直接運營成本和可靠性是定量屬性，常以精確數(shù)或區(qū)間數(shù)的形式表示，而維修性、適應性和技術(shù)先進性是定性屬性，往往難以量化，則常用語言變量或三角模糊數(shù)或梯形模糊數(shù)的形式來表示[10]。這種既包括定量屬性又包括定性屬性的多屬性決策問題稱為混合型多屬性決策問題[11]，對其研究具有重要的理論意義和應用價值。目前，關(guān)于混合型多屬性決策問題的研究雖已取得了大量成果[12-17]，但其主要是建立可行方案集上完全序的方法，而對于實際中存在級別高于關(guān)系的混合型多屬性決策問題關(guān)注較少。因此，本文針對屬性值是精確數(shù)、區(qū)間數(shù)和模糊數(shù)(包括三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù))的混合型多屬性決策問題，提出一種新的混合型級別高于方法(hybrid superiority and inferiority ranking，HB-SIR)。該方法依據(jù)由不同類型屬性值組成的混合型多屬性決策矩陣構(gòu)建正負理想方案，將混合型多屬性決策矩陣轉(zhuǎn)化成標準優(yōu)勢和劣勢差異信息矩陣，進而基于高斯準則計算各個方案的優(yōu)勢指數(shù)和劣勢指數(shù)，構(gòu)建優(yōu)勢矩陣和劣勢矩陣，并使用簡單加權(quán)(simple additive weighting，SAW)方法計算方案的優(yōu)勢流和劣勢流，據(jù)此獲得方案的部分或完全排序。

1預備知識

1.1距離的測度

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2SIR方法步驟

為方便表述令M={1,2,…,m}，N={1,2,…,n}。記A={A1, A2, A3,…,Am}表示由m個備選方案組成的方案集，C={C1, C2, C3, …, Cn}表示由n個屬性組成的屬性集。設決策矩陣為D=[tij]m×n，其中tij表示方案Ai針對屬性Cj的后果值，tij為精確數(shù)。w=(w1,w2,w3,…,wn)T表示屬性的權(quán)向量，其中wj是屬性Cj的權(quán)重。不失一般性，此處假設所有屬性均是越大越好，決策矩陣D可表示為

(5)

步驟 1構(gòu)建優(yōu)勢和劣勢矩陣

為反映方案Ai針對屬性Cj較方案Ak的優(yōu)勢度，或反映方案Ak針對屬性Cj較方案Ai的劣勢度，定義Ψj(Ai,Ak)=φj(tij-tkj)表示偏好強度。φj(t)是偏好函數(shù)，代表決策者的偏好結(jié)構(gòu)，通常有6種形式可供選擇，決策者亦可根據(jù)其偏好進行重新定義[3]。記Sj(Ai)和Ij(Ai)分別表示方案Ai針對屬性Cj的優(yōu)勢和劣勢指數(shù)，則所有方案的屬性的優(yōu)勢和劣勢指數(shù)分別構(gòu)成優(yōu)勢和劣勢矩陣：

(6)

式中，Sj(Ai)和Ij(Ai)可由式(7)計算：

(7)

步驟 2確定優(yōu)勢流和劣勢流

(8)

決策者可根據(jù)自己的需求選擇合適的綜合函數(shù)：當選用簡單加權(quán)SAW方法時，便可構(gòu)成SIR·SAW方法；當選用TOPSIS方法時，便可構(gòu)成SIR·TOPSIS方法。

步驟 3根據(jù)優(yōu)勢流和劣勢流確定方案排序

2混合型多屬性決策HB-SIR方法

步驟 1構(gòu)建正理想方案(positive ideal alternative, PIA)APIA=(tJcPIA，tJIPIA，tJFPIA，tJGPIA)和負理想方案(negative ideal alternative, NIA)ANIA=(tJcNIA，tJINIA，tJFNIA，tJGNIA)。

(9)

式中

(10)

式中

(11)

式中

(12)

式中

(13)

式中

(14)

式中

(15)

式中

(16)

式中

因此，基于式(9)～式(16)便可構(gòu)建正負理想方案

(17)

步驟 2構(gòu)建標準優(yōu)勢和劣勢差異信息矩陣X=[xij]m×n和Y=[yij]m×n。

(18)

(19)

(20)

式中

步驟 3計算方案的優(yōu)勢指數(shù)和劣勢指數(shù)并構(gòu)造優(yōu)勢矩陣S=[Sj(Ai)]m×n和劣勢矩陣I=[Ij(Ai)]m×n。

根據(jù)式(21)計算各個方案Ai相對于正負理想方案(ANIA和APIA)關(guān)于每一個屬性Cj的優(yōu)勢指數(shù)和劣勢指數(shù)：

(21)

式中，Sj(Ai)是關(guān)于屬性Cj方案Ai相對于負理想方案ANIA的優(yōu)勢指數(shù)；Ij(Ai)是方案Ai相對于正理想方案APIA的劣勢指數(shù)；函數(shù)φ(t)是偏好函數(shù)，反映決策者的偏好結(jié)構(gòu)和偏好強度，在6種常見的形式中高斯準則(Gaussian criterion)在實際中得到了廣泛應用[2]。基于此，本文選擇高斯準則來反映決策者的偏好結(jié)構(gòu)和偏好強度，具體形式如下：

(22)

式中，σ反映了決策者偏好隨t(優(yōu)勢差異xij和劣勢差異yij)變化的強度，實際中σ的值由決策者給出。關(guān)于不同σ取值的偏好函數(shù)φ(t)的圖像如圖1所示。

圖1　不同σ值下決策者偏好函數(shù)φ(t)

基于式(21)和(22)，構(gòu)建的優(yōu)勢矩陣S=[Sj(Ai)]m×n和劣勢矩陣I=[Ij(Ai)]m×n分別如下：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

若要得到整個備選方案的完全排序，可利用凈流(n-flow)對方案進行完全排序[3]有

(28)

3算例

為了便于對比，下面通過文獻[12]和文獻[14]中的實例進行分析。某國國防部擬研發(fā)一種戰(zhàn)術(shù)導彈，研發(fā)部門提供了4種導彈型號的有關(guān)信息，結(jié)果如表1所示。為了選擇出合適的導彈型號，國防部派出的專家組對4種導彈的6種屬性進行了詳細考察，并給出了各屬性的權(quán)重w=(0.2,0.2, 0.1,0.1,0.2,0.2)及偏好函數(shù)參數(shù)σ=2。其中，可靠性和可維修性屬于定性屬性。為驗證方法的有效性，此處將可維修性的屬性值按照表2[19]轉(zhuǎn)化成梯形模糊數(shù)，將可靠性的屬性值按照表3[20]轉(zhuǎn)化成三角模糊數(shù)。

表1　4種不同型號導彈武器性能指標

表2　語言變量和梯形模糊數(shù)之間的對應關(guān)系

表3　語言變量和三角模糊數(shù)之間的對應關(guān)系

其次，由式(21)～式(24)，構(gòu)建優(yōu)勢矩陣S=[Sj(Ai)]m×n和劣勢矩陣I=[Ij(Ai)]m×n，此處參數(shù)σ=2。

表4　4種不同型號導彈武器的優(yōu)勢流、劣勢流、凈流及其排序

最后，基于式(26)～式(27)，并結(jié)合表4中的數(shù)據(jù)可知方案的部分和完全排序結(jié)果一致，即有

A1→A3→A4→A2

上述結(jié)果與文獻[14]一致，而與文獻[12]采用TOPSIS法獲得的結(jié)果(A3fA1fA4fA2)存在差異。從表1可知，方案A1除可靠性外，其他屬性均優(yōu)于方案A3，且方案A1中區(qū)間數(shù)的區(qū)間長度較小，即不確定性較低，因而判斷方案A1優(yōu)于方案A3更為合理[14]，這說明了本文所提方法的可行性和有效性。

為增強與文獻[12]的可比性，此處采用文獻[12]中的混合型多屬性決策矩陣，即將決策矩陣中的定性指標(C5可靠性、C6可維護性)均用三角模糊數(shù)表示。使用文中所提出的HB-SIR方法，可得到表5所示結(jié)果。

表5　4種不同型號導彈武器的優(yōu)勢流、劣勢流、凈流及其排序

進一步，基于式(26)～式(27)，并結(jié)合表5中的數(shù)據(jù)可知方案的部分排序為

方案的完全排序為

A1→A4→A3→A2

結(jié)果與文獻[12]和文獻[14]存在差異。由完全排序結(jié)果可知，不同的方法主要是在對方案A1、A3和A4的排序上有區(qū)別。關(guān)于方案A1排在第1位的合理性，文獻[14]已經(jīng)給出了充分的說明。關(guān)于方案A3和A4的排序，由本文得出的部分排序結(jié)果可知，A3和A4間是一種不可比較的關(guān)系，而這種不可比較關(guān)系恰恰可能導致不同的方法對A3和A4的排序結(jié)果不一致，如本文方法是A4fA3，而文獻[12]和文獻[14]卻是A3fA4。從表1可知，方案A4的命中精度、彈頭載荷和價格均優(yōu)于方案A3，但機動性能、可靠性、可維修性卻均劣于方案A3。從屬性權(quán)重上看，方案A4優(yōu)于(劣于)方案A3的屬性權(quán)重和為0.5(0.5)。因此，判斷方案A3和A4間存在一種不可比較的關(guān)系更貼合實際。

4結(jié)論

本文將SIR方法推廣到混合型多屬性決策領(lǐng)域，豐富了級別高于方法的內(nèi)容體系，為解決現(xiàn)實中存在級別高于關(guān)系的混合型多屬性決策問題提供了新的求解思路和途徑。從實際算例的計算過程可以看出，該方法不僅能夠有效識別出可行方案集中的級別高于關(guān)系(如算例中方案A1級別高于其他方案)，而且可以識別出可行方案集中的不可比較關(guān)系(如算例中方案A3和A4間的不可比較關(guān)系)或無差別關(guān)系，有助于決策者做出正確的選擇。此外，本文方法具有計算過程簡單、性能優(yōu)良等優(yōu)點，可用于金融項目投資選擇、工程項目選址、軍事方案的確立等諸多方面。需要指出的是，本文方法適用于處理屬性值是精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的混合型多屬性決策問題，而對于將語言信息轉(zhuǎn)換成何種具體形式的模糊數(shù)(如三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、正態(tài)模糊數(shù)、猶豫模糊數(shù)、直覺猶豫模糊數(shù)等)，這是另一個值得深入研究的問題，因為不同形式的模糊數(shù)對決策結(jié)果會有一定的影響(如算例)。

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王方(1987-)，男，博士研究生，主要研究方向為決策分析、科技管理。

E-mail：wf.369.abc@163.com

李華(1963-)，男，教授，博士，主要研究方向為決策分析、科技管理、服務系統(tǒng)管理。

E-mail：lihua@xidian.edu.cn

張曉(1985-)，女，講師，博士，主要研究方向為決策理論與方法。

E-mail：zhangxiao.neu@163.com

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141119.2224.009.html

Novel HB-SIR method for hybrid multiple attribute decision making

WANG Fang, LI Hua, ZHANG Xiao

(SchoolofEconomics&Management,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract:For the problem of hybrid multiple attribute decision making with known information on attribute weights to which the attribute values are given in terms of crisp numbers, interval numbers, triangular fuzzy numbers and trapezoidal fuzzy numbers, a hybrid superiority and inferiority ranking (HB-SIR)method is proposed based on the outranking relation. Firstly, according to the hybrid decision matrix, the positive-ideal alternative and negative-ideal alternative are determined, then the hybrid decision matrix is transformed into both standardized advantage difference information matrix and standardized disadvantage difference information matrix based on different distance calculation formulas. Moreover, the superiority matrix (S-matrix) and the inferiority matrix (I-matrix) are constructed by calculating the superiority indexes and the inferiority indexes according to the Gaussian criterion. Furthermore, the simple additive weighting (SAW) method is employed to calculate the superiority flow and inferiority flow, and the complete ranking or partial ranking of the alternatives can be obtained. Finally, a numerical example is used to illustrate the feasibility and validity of the proposed method.

Keywords:hybrid multiple attribute decision making; outranking relation; Gaussian criterion; ranking

作者簡介：

中圖分類號：C 934

文獻標志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.19

基金項目：高等學校博士學科點專項科研基金(20130203120024)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金(BDY251412)；陜西省軟科學項目(2013KRZ25)資助課題

收稿日期：2014-06-24；修回日期：2014-09-26；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014-11-19。