廣義指數與麥克斯韋分布的尾部性質

黃建文，劉衍民，羅國旺

(遵義師范學院 數學與計算科學學院,貴州 遵義 563002)

廣義指數與麥克斯韋分布的尾部性質

黃建文，劉衍民，羅國旺

(遵義師范學院 數學與計算科學學院,貴州 遵義 563002)

研究了廣義指數與麥克斯韋分布的累積分布函數以及概率密度函數漸近的尾部性質。尤其當自由度參數以適當的方式趨于正無窮時，考慮了廣義指數和t分布(類似地對于麥克斯韋和t分布)概率密度函數(累積分布函數)比值的漸近性質。作為推論，得到了廣義指數與麥克斯韋分布的Mill’s率，且舉例說明該結果在極值理論中的應用。

廣義指數分布；麥克斯韋分布；Mill’s率；t分布；尾部性質

1 研究背景

由于廣義指數與麥克斯韋分布是比廣義伽馬分布更加簡潔和靈活的廣義伽馬分布子族的兩個模型，因而它們在經濟研究和持續(xù)時間分析中得到越來越多的關注，詳細介紹參見文獻[1]。

廣義指數分布(generalized exponential distribution)是在1999年由Gupta 和 Kundu[2]定義的。廣義指數分布主要的應用領域為生存分析、產品的壽命分析、可靠性工程和地球信號時頻分析等。同時，發(fā)現廣義指數分布使用非常靈活，能夠代替著名的伽馬、韋伯或者對數正態(tài)分布，可十分有效地用于分析正的壽命數據[3-4]。同時，廣義指數分布也有一個漂亮的物理解釋：假設在一個并聯的系統中有n個元件，并且每個元件的壽命分布是獨立同分布的，如果每個元件的壽命分布是廣義指數分布，則這個并聯系統的壽命分布也是廣義指數分布。

廣義指數隨機變量的概率密度函數是

(1)

其中α,λ>0。令Gλ,α(·)表示相應的累積分布函數，當參數α=1時，它就退化為指數分布(或壽命分布)。

麥克斯韋隨機變量的概率密度函數為

(2)

其中σ>0。令Mσ(·)表示相應的累積分布函數。麥克斯韋分布從化學到物理有很多應用領域，尤其是在統計動力學中。此外，其應用領域還包括分子的速度、接近熱力學平衡的理想氣體、量子效應、非相對論速度、描述動量和分子能量的分布等。

Finneretal[5]研究了當自由度以適當的方式趨于正無窮時，相比于正態(tài)分布t分布的尾部性質。他們得到了一些成果，包括t分布的密度函數比值的漸近性質、大偏差定理和漸近的Mill’s率。關于某些指定分布的尾部性質最近受到極值統計領域專家和學者的關注和研究。彭作祥等[6]研究了廣義誤差分布的尾部性質，并且得到相應的漸近Mill’s類型率。藺富明和彭作祥[7]討論了短尾對稱分布的尾部性質，并且得到了相應的獨立同分布隨機變量序列最大值的極限分布。藺富明和蔣英英[8]考慮了廣義短尾對稱分布，并且得到了相應的漸近尾部性質、Mill’s率和部分最大值的漸近分布。廖昕等[9]研究了對數偏正態(tài)分布的尾部性質、次指數性和極值分布。

Mills[10]給出了概率密度函數為φ(x)的正態(tài)分布函數Φ(x)下面的不等式和Mill’s率:對于x>0,

(3)

當x→∞時，

(4)

為了得到主要結果，需要以下定理：

(5)

其中fv(xv)和Fv(xv)分別表示自由度為v的t分布的概率密度函數和累積分布函數。

2 廣義指數分布的尾部

對于固定的v,λ和α,很容易驗證:當x→∞時,

(6)

因此，下面將討論當t分布的自由度以適當的方式趨于無窮時，相比于t分布，廣義指數分布的尾部性質。

定理2 對于x>0，假設v=v(x),λ=λ(x)，使得

(7)

成立。對于固定的α>0,則

(8)

證明 注意到

(9)

并且

(10)

(11)

再結合式(11)，即可完成對定理2的證明。

定理3是相應的大偏差定理。

定理3 在定理2的條件下，有

(12)

證明 給出t分布的一個結果[11]：對于所有的x>0和v>0，有

(13)

利用式(7)，則有

(14)

其中

注意到

(15)

結合式(13)和(14)，則有

(16)

再由定理2以及式(7)可知定理3得證。

推論1 在定理2的條件下，有

(17)

注記1 式(4)，(5)以及式(17)給出的Mill’s率對于一些經濟和金融數據的尾部性質研究是非常重要的，而且風險率(或失效率)與Mill’s率的倒數是一致的。

3 麥克斯韋分布的尾部性質

定理4 令σ=σ(x),v=v(x)，使得

(18)

則對于x>0,有

證明 注意到當v→∞時，

(19)

并且

(20)

結合式(19)，定理4得證。

對于t分布和麥克斯韋分布的漸近尾部性質，將給出如下的大偏差定理。

定理5 在定理4的條件下，有

(21)

證明 為了證明定理5,首先給出以下不等式[12]:

(22)

結合不等式(13)和(22)，有

(23)

利用定理4和式(18)，有

(24)

類似地，對于下界，有

(25)

結合式(24)和(25)，定理5得證。

推論2 在定理4的條件下，有

由于

則由推論2可得：當x→∞時，有

因此，由文獻[13]的命題1.18，有Mσ∈D(Λ)。

以下推論給出的Mσ(-x)分布表示的是推論2另一方面的應用。

推論3 在推論2的條件下，對于充分大的x，則有

其中：

證明 由推論2以及基本計算過程，結論得證。

注記3 在推論3中給出的Mσ(-x)分布的表示的一個直接應用是表明：對于σ>0，Mσ∈D(Λ)，參見文獻[13]中的推論1.7。也可以考慮麥克斯韋分布規(guī)范化最大值的一致收斂速度(來自于文獻[13]第2.4.2部分)和大偏差性質(來自于文獻[13]命題2.10)，而輔助函數f(t)在這些研究中起著重要的作用。除此之外,推論3的重要應用是得到最優(yōu)的規(guī)范化常數βn，滿足

并且αn=f(βn)，使得對于n>n0,有

其中C1

[1] MORTEZA K,ALIREZA A.Some properties of generalized gamma distribution[J].Math Sci Q J,2010,4(1):9-28.

[2] GUPTA R D,KUNDU D.Generalized exponential Distributions[J].Austral and New Zealand J Statist,1999,41(2):173-188.

[3] GUPTA R D.Exponentiated Exponential Family:An Alternative to Gamma and Weibull Distributions[J].Biometrical Journal,2001,43(1):117-130.

[4] GUPTA R D,KUNDU D.Generalized exponential distribution:Existing results and some recent developments[J].J Stat Plan Infer,2007,137(11):3537-3547.

[5] FINNER H,DICKHAUS T,ROTERS M.Asymptotic tail properties of Student’st-distribution[J].Commun Stat Theory Methods,2008,37:175-179.

[6] PENG Z,TONG B,NADARAJAH S.Tail Behavior of the General Error Distribution[J].Commun Stat Theory Methods,2009,38(11):1884-1892.

[7] LIN F,PENG Z.Tail Behavior and Extremes of Short-Tailed Symmetric Distribution[J].Commun Stat Theory Methods,2010,39(15):2811-2817.

[8] LIN F,JIANG Y.A General Version of the Short-Tailed Symmetric Distribution[J].Commun Stat Theory Methods,2012,41(12):2088-2095.

[9] LIAO X,PENG Z,NADARAJAH S.Tail properties and asymptotic expansions for the maximum of the logarithmic skew-normal distribution[J].J Appl Probab,2013,50(3):900-907.

[10]MILLS J P.Table of the ratio:Area to bounding ordinate,for any portion of the normal curve[J].Biometrika,1926,18:395-400.

[11]SOMS A P.Bounds for thet-tail area[J].Commun Statist Simul Computat,1983,12:559-568.

[12]劉豹,付穎.麥克斯韋分布的逐點收斂速度[J].西南大學學報(自然科學版),2013,35(5):80-83.

[13]RESNICK S I.Extreme value,Regular Variation,and Point Processes[M].New York:Springer-Verlag,1987.

[14]LIU C,LIU B.Convergence Rate of Extremes from Maxwell Sample[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,2013:477.

(責任編輯 何杰玲)

Tail behavior of Generalized Exponential and Maxwell Distributions

HUANG Jian-wen, LIU Yan-min, LUO Guo-wang

(School of Mathematics and Computational Science, Zunyi Normal College, Zunyi 563002, China)

The asymptotic behavior of the probability density function (pdf) and the cumulative distribution function (cdf) of the generalized exponential and Maxwell distributions were studied. Specially, we considered the asymptotic behavior of the ratio of the pdfs (cdfs) of the generalized exponential and Student’st-distributions (likewise for the Maxwell and Student’st-distributions) as the degrees of freedom parameter approach infinity in an appropriate way. As by products, Mills’ ratios for the generalized exponential and Maxwell distributions were gained. Moreover, we illustrated some examples to indicate the application of our results in extreme value theory.

generalized exponential distribution; Maxwell distribution; Mills’ ratio;t-distribution; tail behavior

2015-10-11 基金項目：國家自然科學基金資助項目(71461027); 貴州省科技基金資助項目(黔科合J字LKZS[2014]29號); 貴州省科技計劃課題(黔科合LH字[2015]7001號, 黔科合LH字[2015]7006號)

黃建文(1988—), 男，甘肅甘谷人，碩士研究生，講師,主要從事極值統計分析研究。

黃建文，劉衍民，羅國旺.廣義指數與麥克斯韋分布的尾部性質[J].重慶理工大學學報(自然科學版)，2015(12):147-151.

format：HUANG Jian-wen, LIU Yan-min, LUO Guo-wang.Tail behavior of Generalized Exponential and Maxwell Distributions[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2015(12):147-151.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.12.025

O211.67

A

1674-8425(2015)12-0147-05