穩(wěn)定分布條件下的動態(tài)風(fēng)險度量模型

武 東，李 瓊，劉愛國

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，合肥 230036；2.安徽商職業(yè)學(xué)院 電子信息系，合肥 230022）

0 引言

金融時間序列主要研究資產(chǎn)價值隨時間變化的理論與實踐。最為常見的金融時間序列是股票序列，其主要特征有收益率序列非平穩(wěn)性、弱相關(guān)性、波動性聚類、厚尾性和杠桿效應(yīng)等諸多特征。為了刻畫金融時間序列的這些特征，常采用GARCH族模型[1]進(jìn)行擬合。1982年，Engle首創(chuàng)了自回歸條件異方差模型[2](簡稱ARCH模型)，該條件方差模型是過去新息平方的函數(shù)，它運用ARCH模型并結(jié)合AR模型成功預(yù)測了英國通貨膨脹問題。1986年，Bollerslev推廣了ARCH模型，將過去的條件方差引入條件方差模型得到GARCH模型[3]，該模型能較好地計算股票收益率序列的波動率。然而，ARCH模型和GARCH模型的條件方差均為過去新息平方的函數(shù),因此價格的升降變化對條件方差的影響是對稱的。但實踐中，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)好消息出現(xiàn)時，證券市場波動變化不大，而壞消息出現(xiàn)時，證券市場波動變化增大。通常，EGARCH模型和GJR-GARC H模型等非對稱GARCH模型均能刻畫新息的不對稱影響。

近來，文獻(xiàn)[4]推廣了GARCH模型和EGARCH模型得到了基于穩(wěn)定分布的PARCH模型和EPGARCH模型，并對滬深股票市場進(jìn)行了實證研究。EPGARCH-S模型能刻畫金融時間序列的厚尾性、波動聚類性和杠桿效應(yīng)等特征。在證券市場的實證分析中，首先對滬深港美股票指數(shù)的對數(shù)收益率序列進(jìn)行了描述性分析，得出它們均具有高峰厚尾特性和GARCH效應(yīng)。然后，利用EPGARCH-S模型和EGARCH-t模型對滬深指數(shù)的對數(shù)收益率序列計算了風(fēng)險值(VaR[5])。統(tǒng)計表明，基于EPGARCH-S模型的VaR能較好地評價金融風(fēng)險。

1 模型

Mandelbrot(1963)[6]和Fama(1965)[7]指出股票價格的對數(shù)收益率序列呈非正態(tài)性，建議使用穩(wěn)定分布擬合股票價格的對數(shù)收益率。眾所周知，穩(wěn)定分布族是正態(tài)分布的一種推廣，但穩(wěn)定分布沒有解析的密度函數(shù)形式只能用它的特征函數(shù)進(jìn)行描述。下面給出一種較為常用的穩(wěn)定分布的特征函數(shù)的定義[8]。

定義1若隨機變量X的特征函數(shù)可表示為

則稱隨機變量X服從穩(wěn)定分布，記為S(α，β，γ，δ)，如果參數(shù)γ=1，δ=0，則稱為標(biāo)準(zhǔn)穩(wěn)定分布,并簡記為S(α，β)。這里α表示尾部特征參數(shù)，主要反映分布尾部的厚薄程度；而β表示偏性參數(shù)，β＞0表示分布密度曲線是左偏的，β＜0表示分布密度曲線是右偏的，當(dāng)β=0時,這時分布是對稱的。

假設(shè)證券價格的日收益率的條件均值方程為

其中新息zt的分布是零均值單位方差的標(biāo)準(zhǔn)化分布，由于EGARCH模型能較好地捕獲金融時間序列的高峰厚尾特性和杠桿效應(yīng)等，文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步推廣了EGARC H模型得到了EPGARCH模型，本文的條件方差函數(shù)采用EPGARCH模型，其表述形式為

若條件方差模型中的新息分布為穩(wěn)定分布，從而得到基于穩(wěn)定分布的EPGARCH模型，記為EPGARCH-S模型。當(dāng)d=2時，則退化為EGARCH模型，若取新息分布為t分布，則能得到基于t分布的EGARCH模型，簡記為EGARCH-t模型。下面利用這兩個模型對滬深證券市場的收益率序列進(jìn)行統(tǒng)計建模并考查二者在VaR計算方面的有效性。

2 證券市場的實證分析

2.1 證券市場的特征分析

現(xiàn)在將上證綜合指數(shù)(000001)、深證成指(399001)、創(chuàng)業(yè)板指(399006)和創(chuàng)業(yè)300(399012)的日收盤價格作為研究對象。時間區(qū)間為2010年6月1日到2014年4月30日。這是因為2008～2009年是全球金融風(fēng)暴，故選擇的時間起點為2010年，這樣可以減少在此之前股票價格大幅度波動對數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響。收益率選取日收盤價格的對數(shù)收益率，即pt為第t天的收盤價格，則第t天的收益率的公式為rt=100(lnpt-lnpt-1)。

表1 滬深指數(shù)日對數(shù)收益率的描述統(tǒng)計

表1列舉了滬深港美股指收益率序列的描述性統(tǒng)計指標(biāo)。四只股票指數(shù)的日對數(shù)收益率的峰度均大于3，說明其具有高峰厚尾特性。下面利用EGARCH類模型對上述股票指數(shù)的收益率序列進(jìn)行建模，表2列舉了股票指數(shù)的EGARCH類模型的參數(shù)估計結(jié)果。在EGARCH-t模型的參數(shù)估計中，α表示t分布的自由度，模型參數(shù)估計的方法采用了約束條件下的非線性優(yōu)化算法[4]。從表2中的α值可以看出,股票的收益率序列都具有高峰厚尾特性,因為EPGARCH-S模型中的參數(shù)α是刻畫尾部特征的，β是偏性參數(shù)。說明EPGARCH-S模型可以刻畫股票市場的非對稱性(杠桿效應(yīng))。

表2 滬深指數(shù)日對數(shù)收益率的EGARCH類模型的參數(shù)估計

2.2 風(fēng)險度量的計算原理

定義2設(shè)隨機變量Z表示投資一定數(shù)額的資產(chǎn)W后，在未來某一持有期T內(nèi)的損益，則稱滿足P{Z＜-VaR}=α的正數(shù)VaR為該投資組合在未來持有期T內(nèi)置信水平為1-α的風(fēng)險值。

假設(shè)該投資組合在[0 ，T]時期內(nèi)的收益率X=Z/W的分布函數(shù)為F(x)，且該投資組合的收益率分布的下側(cè)α分位數(shù)為xα=sup{x|P{X≤x} ≤α} ，則VaR(Z)=-xαW， 對于收益率序列{rt},可以得到VaR(rt)的計算公式為

2.3 EGARCH類模型在風(fēng)險值計算中的比較分析

表3和表4給出利用EGARCH類模型計算得到股票收益率的風(fēng)險值模型結(jié)果。下面利用Kupiec提出的似然比檢驗法[9]驗證EGARCH類模型的有效性。在Kupiec假設(shè)檢驗中，若N為檢驗樣本中損失高于VaR值的次數(shù)，n為樣本量。假設(shè)損失超出VaR值的次數(shù)服從二項分布，即N～B(n，1-α)，其中α為所用模型采用的置信水平，因此失效率f=N/T應(yīng)等于p。Kupiec假設(shè)檢驗的原假設(shè)為H0:f=p，相應(yīng)的似然比統(tǒng)計量為

由表3和表4可以得到如下結(jié)論：第一，從Kupiec檢驗的P值可見，在顯著性水平0.05，0.01下，EPGARCH-S模型基本上都是有效的，只有當(dāng)顯著性水平為0.05時，創(chuàng)業(yè)板指的VaR模型失效，因為其P值小于給定顯著性水平，而基于EGARCH-t模型的VaR模型都是失效的，因為所有P值均很小，說明EPGARCH-S模型能較好地刻畫風(fēng)險，而EGARCH-t模型擬合效果欠佳；第二，從失效天數(shù)、失效比率可以發(fā)現(xiàn)，基于EEPGARCH-S模型計算得到的失效比率接近于顯著性水平，而基于GARCH-t模型計算的失效比率偏離顯著性水平較大；第三，從VaR均值比較可見，基于EPGARCH-S模型的VaR均值要略低于基于EGARCH-t模型的VaR均值，說明基于EGARCH-t模型的VaR值過于保守且不夠準(zhǔn)確；第四，由VaR均值可以得到結(jié)論：在一定顯著性水平下，創(chuàng)業(yè)板指(399006)和創(chuàng)業(yè)300(399012)兩只創(chuàng)業(yè)股的風(fēng)險值要大于兩只綜合指數(shù)股，說明其風(fēng)險更高，投資時須謹(jǐn)慎。

表3 基于EGARCH類模型的VaR計算(α=0.05)

表4 基于EGARCH類模型的VaR計算(α=0.01)

通過上面的比較分析,可以得出結(jié)論：一方面，由于穩(wěn)定分布相對于t分布更具有靈活多變的特征，而穩(wěn)定分布能較為準(zhǔn)確地刻畫金融時間序列的尾部特征；另一方面，EPGARCH模型比EGARCH模型增加了一個未知參數(shù)，形式更加靈活，對收益序列的波動率的捕獲能力更強。綜上所言，EPGARCH-S模型對我國股票市場的對數(shù)收益率波動率的擬合準(zhǔn)確度較高,能較好地描述證券市場的對數(shù)收益率的“易變性聚類”現(xiàn)象和“高峰厚尾”特性。

3 結(jié)論

EPGARCH-S模型融合了穩(wěn)定分布和EPGARCH模型二者的優(yōu)點，從而能很好地刻畫證券市場對數(shù)收益率序列的諸多特征,如高峰厚尾,波動聚集性,非對稱性等。故本文采用了EPGARCH-S模型對我國證券市場的對數(shù)收益率序列進(jìn)行了風(fēng)險值計算，從Kupiec檢驗結(jié)果來看，其精度高于傳統(tǒng)的EGARCH-t模型。統(tǒng)計表明，EPGARCH-S模型能很好地計算和評估股票市場的風(fēng)險價值。

[1]張世英,樊智,協(xié)整理論與波動模型:金融時間序列分析及應(yīng)用[M],北京:清華大學(xué)出版社，2004.

[2]Engle R F.Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimation of The Variance of United Kingdom Inflation[J].Econometrica,1982,(50).

[3]Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics,1986,(31).

[4]武東,湯銀才,基于穩(wěn)定分布的EPGARCH模型[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2008,25(1).

[5]Jorison P.Value at Risk:The New Benchmark for Controlling Market Risk[M].New York:McGraw-Hill Companies,1997.

[6]Mandelbrot,B.The Variation of Certain Speculation Prices[J].Journal of Business,1963,(26).

[7]Fama E F.The Behavier of Stock Prices[J].Journal of The Business,1965,(38).

[8]武東,湯銀才.穩(wěn)定分布及其在金融中的應(yīng)用[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2007,23(4).

[9]Kupiec P.Techniques for Verifying The Accuracy of Risk Measurement Models[J].Journal of Derivatives,1995,(2).