庫存空間約束下多藥品最優訂購策略研究

周 穎，羅 利，吳曉東

（1.四川大學a.商學院；b.華西附屬醫院，成都 610064；2.四川大學 錦城學院，成都 611731）

0 引言

醫院藥品庫存管理是醫院管理中的重要環節，在我國，藥品存貨占醫院流動資金的比例普遍達到了40%～60%，而許多其他行業的存貨占流動資金的比率低于30%[1]。長期以來，大型公立醫院藥品訂購量僅由采購人員憑經驗確定，并不考慮庫存成本，庫存容量和變質損耗等情況。如果醫院藥品訂購量過多，庫存量過大，不僅積壓資金，影響醫院資金周轉，而且還會占用庫存空間導致藥房空間不夠用。如果訂購量太少則發生缺藥現象，不能滿足臨床用藥，影響醫院的服務質量[2]。因此確定合理的藥品的訂購量，成為了醫院藥品管理中亟待解決的問題。

四川大學華西醫院是當今全世界單點規模最大的醫院，是我國西部疑難危急重癥的國家級診療中心。目前，華西醫院三座住院大樓的配藥和送藥均由中心藥房完成。每天早上，中心藥房根據前一天的固定醫囑把患者需要用的藥品配好，以護理單元為單位由中央運輸科的人員配送到各個科室處。至于中心藥房的藥品采購則是每周通過醫院信息系統自動做出藥品采購計劃。各種藥品的具體采購數量則是參照一周的用藥量來確定。由于醫院各種藥品的需求可能并非是平穩的，可見其現有的以“一周的用藥量”作為采購量的做法是不合理的，產生嚴重的藥品積壓，導致中心藥房的儲存空間不足，并且也會影響到各科室用藥的準確性。因此，本文選擇存在問題較為突出的中心藥房進行研究。

本文根據華西醫院住院藥房的實際情況，在允許缺貨和存在訂貨提前期的前提下，以庫存空間為約束條件，建立了以庫存總利潤最大為目標的數學模型，并給出了基于簡約梯度法的算法，最后利用matlab軟件進行了數值仿真。

1 本文的假設和符號說明

本文中的數學模型基于如下假設：

（1）各種藥品之間需求率互不影響，且服從指數分布；

（2）各種藥品的變質率互不影響，為常數；

（3）存在訂貨提前期，且提前期為常數；

（4）在計劃時段初,各種藥品庫存量為0。

本文中的符號說明：

各種藥品的需求函數為D(t)，在(0，T]內D(t)隨時間呈指數變化，即 D(t)=λieβtt，其中 λi＞0，0＜βi＜1；

θi(t)為各種藥品的變質率，為常數且0＜θi(t)＜1；

Ii(t)為t時刻產品i的庫存水平；

tp為貨物的提前期，即補貨時間，為常數；

qi(i=1，2，…，n)為各種藥品的訂購量；

C0i為各藥品的的訂購成本（只與各藥品的訂購次數有關，而與各藥品的訂購數量無關）；

Hi為各藥品的單位庫存成本；

C1i為各種藥品的單位購買成本；

Ti為各種藥品的庫存訂購周期，且當t=Ti時，Ii(t)=0

DCi為藥品i的變質數量；

TRi為藥品i的銷售收入；

pi是銷售單位藥品i的價格；

Hi是單位藥品i在的庫存成本；

Si是單位藥品i在的缺貨量；

wi是分配給單位藥品i的空間；

W是總的庫存空間；

πi(qi)是藥品i在一個周期內運作的總利潤；

π是系統一個周期內運作的總利潤；

Tei為藥品i的保質期；

ai醫院中心藥房的服務水平；

δi醫院中心藥房的最低服務水平；

μi訂貨周期內的需求量。

2 模型的建立

2.1 模型描述

圖1 某種藥品庫存水平變化圖

根據模型描述，建立微分方程如下：

其中：方程（1）描述了當產品i在訂貨提前期時，造成產品i庫存水平不斷下降的原因是顧客需求的到來，此時藥品i庫存水平≤0，即缺貨；方程（2）描述的是當產品i在訂貨提前期之后且在庫存水平下降到0之前，造成庫存下降的原因是顧客需求的到來及自身庫存產品的變質。

將 D(t)=λieβtt，當 t=Ti時，Ii(t)=0 帶入（1）（2）可得到藥i在t時刻的庫存水平方程：

將t=tp代入（4）式可得藥品i在[0，tp)時間內的缺貨量；將t=tp代入（5）式可得藥品i在t=tp時刻的庫存水平。那么，產品i的訂購量qi應為藥品i在[0，tp)時間內的缺貨量與在t=tp時刻庫存水平之和：

問題（P1）解決的目標（15）是尋求每種藥品的最優訂購量q1，q2，…，qn的值，使其在單位時間內總的利潤最大，（16）保證分配給所有藥品的空間不大于倉庫總的空間，（17）保證了中心藥房的服務質量以及分配給每種藥品空間應在一個范圍之內，即有一個最大值和最小值，且最小值一定大于0。

3 模型求解-簡約梯度法

問題（P1）是帶有線性約束的非線性規劃問題，又有定理2知，它是關于 q1，q2，…，qn的凸規劃，因此，采用簡約梯度法一定可以求得最優解。簡約梯度法[4]的基本思想是把變量區分為基變量和非基變量，它們之間的關系由約束條件確定，將基變量由非基變量表示，并從目標函數中消去基變量，得到以非基變量為自變量的簡化的目標函數，進而利用此函數的負梯度構造下降可行方向。

（4）求最大有效步長 λmax，從 q′(k)出發，沿 dk搜索：

minf(q′(k)+ λd(k))

s.t.0≤λ≤λmax

得到最優解λk；

（5）令 q′(k+1)=q′(k)+λkd(k)，置 k:=k+1，轉步驟（2）。

4 數值算例

表1 各參數取值

為了更好的驗證本模型，論文選擇6種藥品為例數值計算。其中參數取值如表1。

用matlab對模型進行數值仿真，得到各藥品的最優訂購量，見表2。

表2 求解結果

總利潤Π=2799.0794，所需庫存空間W=60.7647

5 總結

本文通過建立庫存空間約束模型，研究醫院藥品一次性聯合最優訂購量的策略。在模型中，本文假設需求服從指數分布，變質率為常數，且需求與變質率互不影響。在允許缺貨和具有提前期的情況下，本文給出了帶有庫存空間約束的最優訂購量模型，并且依據簡約梯度法，給出了求解最優訂購量的具體算法。最后以六種藥品為例進行數值仿真。

本文假定藥品之間的需求率和變質率互不影響，且變質率為常數等。這些假設都是為了便于求解模型。而為了使模型更加切合實際，可以對上述假設作進一步改進。如假設變質率不為常數，同藥品之間需求率相互影響等。

[1]熊燕華,李風華.基于協同補貨策略的醫院藥品庫存管理探討[J].中國藥房,2007,25(18).

[2]凌春燕,方蕓.我院藥品庫存管理模式的實踐[J].藥學與臨床研究,2010,18(4).

[3]Nicholson L,Vakharia A J,Erenguc S.Outsourcing Inventory Management Decisions in Healthcare:Models and Application[J].European Journal of Operational Research,2004,154(1).

[4]馬昌鳳.最優化方法及其Matlab程序設計[M].北京：科學出版社,2011.