Schr?dinger型算子與新BMO函數的交換子的極大算子在L空間上的一個估計

白莉紅

(甘肅建筑職業技術學院 基礎課部，甘肅 蘭州 730050)

Schr?dinger型算子與新BMO函數的交換子的極大算子在L空間上的一個估計

白莉紅

(甘肅建筑職業技術學院 基礎課部，甘肅 蘭州 730050)

二進 Sharp 極大函數定義為

Schr?dinger 算子；交換子；反向 H?lder 不等式；Sharp 極大函數:BMOV(Rd)

1 引言及結果

(1.1)

把滿足 (1.1) 式的函數的集合記作RHq. 與Schr?dinger算子L相關的算子半群定義為

Tt，f(x)=e-tLf(x)=∫Rdkt(x,y)f(y)dy,f∈L2(Rd),t>0.

(1.2)

其中 kt(x,y)為r-tL的核.

我們首先給出一些記號和定義.

(1.3)

易知 ρ(x)>0, 且對任意 x∈Rd，ρ(x)≥0有限[4]. 關于ρ(x), 我們有下面估計.

命題1[5]存在常數c和k0≥1 , 使得對x,y∈Rd, 成立

(1.4)

特別地,當y∈Br(x), 且r≤ρ(x)時,有ρ(x)～ρ(y).

(i)∪kQk=Rd;

(ii)存在N=N(ρ), 使得每一k≥1, 有card{j:4Qj∩4Qk≠?}≤N,其中Qk:={|x-xk|<ρ(xk)}.

定義1 BMOV(Rd)空間定義為:

-fB|dx<∞.

(1.6)

顯然有BMO(Rd)?BMOV(Rd), 當V=0或α=0時,BMO(Rd)=BMOV(Rd)若存在常數C0>1使得任意球B*?2B, 有

ψ(B*)≤A0ψ(B)

(1.7)

則稱ψ滿足D∞條件.

(a) T 可擴展為L2(Rn)上的有界線性算子.

(c) 核K(x,y)滿足Calderon-Zygmund估計：

(1.8)

(1.9)

(1.10)

在證Lp有界性的過程當中C-Z算子的光滑條件(1.9)起了重要的作用.但由于位勢V的緣故這里的核不具有這樣的光滑條件,但我們可以通過另外一種光滑性條件來證明Lp有界性.

定義4 二進Sharp極大函數定義為

本文主要結果如下：

定理 設 T 是 C-Z 算子，對任意s>1, 有

2 定理的證明

為證明定理, 需要以下引理:

引理1[5]假設V∈RHq, 則有

‖(-Δ+V)-1Vf‖p≤Cp‖f‖p;

對p0'≤p<∞，有

記Γ(x,y,τ)是Schr?dinger算子

-Δ+(V(x)+iτ),τ∈R的基本解. Γ0(x,y,τ)是算子-Δ+iτ,τ∈R的基本解.易知Γ(x,y,τ)=Γ(y,x,-τ), 關于Γ(x,y,τ)有以下引理:

Γ(x,y,τ)≤

其中Ck是與x,y,τ無關的常數.

引理4[5]假設V∈RHq0,q0>1,假設對某x0∈Rn,R>0,在B(x0,2R)上成立

-Δu+(V(x)+iτ)u=0.

則有

(i)對x∈B(x0,R),

(∫B(x0,2R)|

命題3 令m>1, 假設對?p∈(m′，∞),T是Lp有界的,K滿足Hm條件, 則?b∈BMOV,[b,T]是Lp有界的, 且

‖[b,Tf]‖p≤Cp‖b‖BMOV‖f‖p

定理的證明：對任意的λ, 有[b,T]f(x)=(b(x)-λ)Tf(x)-T((b-λ)f)(x)

-T((b-λ)f)(y)-D|dy

=I+II+III

≤Cψ(B)‖b‖BMOVMr(Tf)(x).

對于II, 利用Kolmogorov不等式得

≤Cψ(B)‖b‖BMOVMr(f)(x).

-bB(x,2k+1)||f(ω)|dω

-bb(x,2k+1)|∫B(x,2k+1)|f(ω)|dω

≤Cψ(B)‖b‖BMOVMs(f)(x).

由于ψ(B)<1, 由極大函數的性質得

≤C‖b‖BMQVMs(f)(x)

+C‖b‖BMQVMs(Tf)(x).

對于第二部分, 由H?lder不等式和Kolmogorov不等式得：

-T((b-λ)f)(y)|dy

≤C‖b‖BMOV(Ms(Tf)(x)+Ms(f)(x)).

綜上得

定理證畢.

[1]Dziubański J, Zienkiewicz J. Hardy space H′ assocoiated to Schr?dinger operators with potential satisfying reverse H?lder inequality[J]. Rev. Math. Iberoam., 1999, 15(2):279-296.

[2]Dziubański J, Zienkiewicz J. Hpspaces assocoiated with Schr?dinger operators with potentials from reverse H?lder classes[J]. Colloq. Math., 2003, 98(1):5-38.

[3]Dziubański J, Garrigós G, Martínez T, Torrea J, Zienkiewicz J. BMO spaces related to Schr?dinger operators with potentials satisfying a reverse H?lder inequality [J]. Math. Z., 2005, 249(2):329-356.

[4]Bongioannia B, Harbour E, Salinasa O. Weighted inequalities for negative powers of Schr?dinger operators～[J]. J. Math. Anal. Appl., 2008, 348(1):12-27.

[5]Shen Z V. LPestimate for Schr?dinger operators with certain potentials [J]. Ann. Inst. Fourier, 1995, 45(2):513-546.

[6]Zhong J., Harmonic analysis for some Schr?dinger operators [D], Ph.D.Thesis, Priceton University, 1993.

[責任編輯：Z]

L Estimate for Maximal Operators of Commutators Associated to Schr?dinger and New BMO Functions

BAI Li-hong

(Gansu Institute of Architectural Technology, Lanzhou 730050, China)

Schr?dinger operators; Commutators; Reverse H?lder iequality; Sharp maximal function；BMOV(Rd)

2015-05-10

2014年甘肅省高等學?？蒲匈Y助項目(2014A-142)

白莉紅(1978—), 女, 甘肅張掖市人，講師，主要研究方向為調和分析。

O

A

1671-5330(2015)05-0010-04