考慮細(xì)觀裂紋分形擴(kuò)展的損傷多尺度分析★

李 杰 李兆霞 趙超凡

(東南大學(xué)，江蘇 南京 210096)

·結(jié)構(gòu)·抗震·

考慮細(xì)觀裂紋分形擴(kuò)展的損傷多尺度分析★

李 杰 李兆霞 趙超凡

(東南大學(xué)，江蘇 南京 210096)

依據(jù)焊接區(qū)細(xì)觀裂紋擴(kuò)展形態(tài)的分形特征，建立了分形損傷變量，推導(dǎo)了應(yīng)變—損傷耦合本構(gòu)方程，結(jié)合多尺度數(shù)值分析模型，研究了焊接構(gòu)件從細(xì)觀裂紋開始到構(gòu)件斷裂的跨尺度損傷演化過程，結(jié)構(gòu)表明：數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)相一致，分形損傷變量具有正確性和合理性。

焊接構(gòu)件，細(xì)觀裂紋，分形維數(shù)，損傷變量

在大型鋼結(jié)構(gòu)中，鋼結(jié)構(gòu)部件之間的連接形式中以焊接為主。受焊接工藝的影響，焊接區(qū)存在細(xì)觀孔洞、細(xì)觀裂紋、應(yīng)力集中、殘余應(yīng)力等先天缺陷，這使得焊接區(qū)成為結(jié)構(gòu)中最薄弱的區(qū)域[1]。在結(jié)構(gòu)服役過程中，結(jié)構(gòu)裂化與材料損傷共存，結(jié)構(gòu)的損傷分析往往涉及到從細(xì)觀到宏觀的多個(gè)尺度量級(jí)[2，3]。已有實(shí)驗(yàn)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：焊接區(qū)缺陷主要包括細(xì)觀裂紋和細(xì)觀孔洞，細(xì)觀裂紋的跨尺度演化是焊接構(gòu)件發(fā)生宏觀斷裂的主導(dǎo)因素。細(xì)觀裂紋在擴(kuò)展形態(tài)上有很好的分形特征，近年來，國內(nèi)外學(xué)者基于分形理論對(duì)不同材料的破壞過程研究有了進(jìn)一步的探索和實(shí)踐[4-6]。本文基于細(xì)觀裂紋擴(kuò)展形態(tài)的分形特征，建立了分形損傷變量，推導(dǎo)了焊接結(jié)構(gòu)損傷區(qū)材料損傷本構(gòu)關(guān)系。模擬并分析了焊接構(gòu)件從細(xì)觀裂紋開始到構(gòu)件斷裂的跨尺度損傷演化過程。

1 焊接區(qū)的細(xì)觀裂紋擴(kuò)展形態(tài)的分形度量

細(xì)觀裂紋擴(kuò)展過程中的分形維數(shù)使用盒維數(shù)法來定義。盒維數(shù)計(jì)算方法如下：

(1)

其中，δ為正方形盒子邊長(zhǎng)尺碼；N(δ)為相應(yīng)正方形盒子邊長(zhǎng)尺碼下盒子數(shù)目。已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[7]表明：細(xì)觀裂紋的擴(kuò)展形態(tài)具有顯著的分形特征，能夠用分形維數(shù)來度量，且分形維數(shù)與累積塑性應(yīng)變之間具有很好的線性關(guān)系。綜上，可以基于細(xì)觀損傷力學(xué)的思想，將細(xì)觀裂紋的分形維數(shù)作為損傷參量，根據(jù)力學(xué)平均化方法，求得材料變形和損傷過程與細(xì)觀損傷參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。

2 焊接區(qū)材料損傷本構(gòu)模型

2.1 分形損傷變量的建立

在焊接金屬結(jié)構(gòu)焊接損傷區(qū)，細(xì)觀裂紋為損傷的主要形式。如上文所述，分形維數(shù)可以很好的反映細(xì)觀裂紋的擴(kuò)展形態(tài)，且與材料變形有良好的關(guān)聯(lián)，因此可以作為損傷參數(shù)。現(xiàn)將分形維數(shù)作為損傷度量，并將其無量綱化，得到損傷變量的形式如下：

(2)

其中，df為細(xì)觀裂紋形成宏觀裂紋導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效時(shí)的分形維數(shù)。

細(xì)觀裂紋擴(kuò)展形態(tài)的分形維數(shù)與損傷區(qū)累積塑性應(yīng)變之間有顯著的線性關(guān)系：

d=d0+k·p

(3)

其中，d0為損傷初始時(shí)刻細(xì)觀裂紋的分形維數(shù)；p為焊接損傷區(qū)累積塑性應(yīng)變；k為分形維數(shù)與累積塑性應(yīng)變之間的線性系數(shù)。因此，規(guī)格化后的損傷變量可以寫成如下形式：

(4)

初始狀態(tài)時(shí)，d=d0，D=D0=0，表示焊接區(qū)域內(nèi)分布的細(xì)觀裂紋引起的損傷初始狀態(tài)，損傷沒有開始演化；材料失效時(shí)，d=df，D=1；在材料受載荷作用變形過程中，伴隨細(xì)觀裂紋的擴(kuò)展、貫通，d0

分形維數(shù)是一個(gè)跨細(xì)觀、宏觀的多尺度變量，因此此處建立的分形損傷變量能夠適用于以細(xì)觀裂紋分形擴(kuò)展為主導(dǎo)的損傷跨尺度演化分析。

2.2 應(yīng)變—損傷耦合本構(gòu)方程

損傷的作用通過Lemaitre應(yīng)變—損傷耦合的方法來表現(xiàn)，即考慮彈性模量隨損傷的演化而逐漸退化：

(5)

當(dāng)損傷發(fā)生時(shí)，根據(jù)有效應(yīng)力[8]的概念和應(yīng)變等效原理[9]，塑性屈服函數(shù)可以寫成如下形式：

(6)

其中，σij′為Cauchy應(yīng)力偏張量分量；Xij′為背應(yīng)力張量分量；σy+R為考慮各項(xiàng)同性強(qiáng)化時(shí)的后繼屈服應(yīng)力。

耦合損傷后的塑性耗散勢(shì)函數(shù)如下：

(7)

考慮各項(xiàng)同性強(qiáng)化為線性可向同性強(qiáng)化，Hi為線性各項(xiàng)同性強(qiáng)化系數(shù)，則有：

(8)

采用Prager線性隨動(dòng)強(qiáng)化準(zhǔn)則[10]，Hk為隨動(dòng)強(qiáng)化系數(shù)：

(9)

其中，M為混合強(qiáng)化系數(shù)，取值在0～0.2之間[11]，M=0，1分別對(duì)應(yīng)隨動(dòng)強(qiáng)化和各項(xiàng)同性強(qiáng)化。

3 焊接損傷跨尺度演化的數(shù)值分析方法

3.1 多尺度數(shù)值分析模型的建立

在焊接結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中，針對(duì)焊區(qū)材料和母材需要采用不同的材料模型。焊接區(qū)內(nèi)部存在細(xì)觀裂紋的演化，需要考慮該區(qū)域材料的細(xì)觀力學(xué)行為，采用細(xì)觀建模的方式，材料采用上文建立的損傷本構(gòu)關(guān)系；母材受焊接區(qū)損傷演化的影響材料應(yīng)力水平普遍較低，內(nèi)部即使有損傷也不演化或演化程度較低，因此采用宏觀建模的方式，材料采用一般彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系。以單軸拉伸焊接構(gòu)件為例，由于焊接區(qū)體積較大的宏觀孔洞對(duì)細(xì)觀裂紋出現(xiàn)的位置以及擴(kuò)展方向有著重要的影響，因此根據(jù)實(shí)驗(yàn)CT電鏡對(duì)焊接構(gòu)件試樣的觀測(cè)結(jié)果，在焊接構(gòu)件模型中建立初始宏觀孔洞缺陷，如圖1所示。

在焊接構(gòu)件三維有限元模型中，綜合考慮計(jì)算量和計(jì)算收斂性，焊接區(qū)中間層采用C3D4單元，其他部分采用C3D8I單元。

3.2 焊接區(qū)材料本構(gòu)損傷關(guān)系的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法

以增量的形式改寫了焊接區(qū)材料損傷本構(gòu)關(guān)系，并基于ABAQUS/standard求解器，用Fortran語言編寫了材料損傷本構(gòu)模型UMAT子程序。在調(diào)用材料用戶子程序UMAT過程中，定義材料的損傷本構(gòu)關(guān)系以及相關(guān)算法。在編寫材料損傷本構(gòu)模型UMAT子程序時(shí)，采用基于完全隱式向后Euler法的徑向返回算法實(shí)現(xiàn)應(yīng)力增量和相關(guān)狀態(tài)變量的求解和更新，并通過Newton-Raphson方法提高局部狀態(tài)變量求解的收斂速度和進(jìn)度。在UMAT中，可通過調(diào)用子程序UHARD來實(shí)現(xiàn)后屈服特性R的定義。

4 焊接損傷跨尺度演化致構(gòu)件斷裂分析

焊接區(qū)材料損傷模型中的材料參數(shù)通過UMAT中的材料性能定義：隨動(dòng)強(qiáng)化模量HK=1 100MPa，混合強(qiáng)化參數(shù)M=0.2，分形維數(shù)與累積塑性應(yīng)變之間的關(guān)系由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，如下式：

d=1.195p+1.176

(10)

對(duì)焊接構(gòu)件單軸拉伸模擬后發(fā)現(xiàn)，損傷最大值出現(xiàn)在橢球形孔洞上下邊緣，達(dá)到0.97。選取圖1中橢球孔洞所在截面，截面不同位置損傷演化趨勢(shì)如圖2所示。結(jié)果表明隨著載荷、變形的不斷增加，結(jié)構(gòu)服役過程中應(yīng)力在分布上呈現(xiàn)不均勻性，細(xì)觀裂紋的演化也將出現(xiàn)相對(duì)較密集和疏松的區(qū)域，而分形維數(shù)具有表征裂紋密集程度的物理意義，因此在裂紋演化密集區(qū)域表現(xiàn)為分形損傷變量值較大，損傷在此區(qū)域更容易進(jìn)一步演化，導(dǎo)致細(xì)觀裂紋擴(kuò)展形態(tài)的分形損傷變量值繼續(xù)增大。綜合以上對(duì)損傷演化過程的多尺度分析，并將有限元模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，表明本文建立的分形損傷變量具有合理性和正確性。

傳統(tǒng)損傷宏觀唯象理論中，通過材料受損后的有效承載面積來定義損傷。由于測(cè)定有效承載面積具有一定的困難，通過測(cè)量材料受損后的卸載彈性模量來標(biāo)定損傷：

(11)

通過已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采集卸載彈性模量計(jì)算得到宏觀損傷值，焊接構(gòu)件跨尺度損傷演化過程中的分形損傷值與宏觀損傷值對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

分形損傷值是一個(gè)多尺度損傷表征變量，與宏觀損傷值之間吻合較好。對(duì)于金屬材料而言，損傷起始于細(xì)觀裂紋，終止于宏觀裂紋擴(kuò)展致材料斷裂。因此，分形損傷變量能夠更好地描述從細(xì)觀至宏觀的跨尺度損傷演化過程。

5 結(jié)語

1)本文基于細(xì)觀力學(xué)思想，以分形維數(shù)為基礎(chǔ)建立了分形損傷變量，推導(dǎo)了基于分形損傷變量的材料損傷本構(gòu)關(guān)系。2)針對(duì)焊接區(qū)損傷跨尺度演化，給出了其數(shù)值分析方法。焊材采用上文建立的材料損傷本構(gòu)關(guān)系。母材采用一般的彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系。并基于商用有限元軟件ABAQUS給出了焊接區(qū)材料損傷本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法。3)通過對(duì)焊接構(gòu)件單軸拉伸模擬發(fā)現(xiàn)，焊接損傷區(qū)從細(xì)觀裂紋開始至構(gòu)件斷裂的跨尺度損傷演化過程與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)現(xiàn)象基本符合，表明分形損傷變量以及基于該損傷變量的材料損傷本構(gòu)模型具有合理性和正確性。4)數(shù)值模擬得到的分形損傷值與實(shí)驗(yàn)測(cè)得宏觀損傷值吻合較好。由于分形維數(shù)是一個(gè)多尺度變量，因此分形損傷變量能夠更好的描述從細(xì)觀裂紋開始到構(gòu)件宏觀斷裂的跨尺度損傷演化過程。

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The damage multi-scale analysis considering the microcosmic cracks fractal extension★

Li Jie Li Zhaoxia Zhao Chaofan

(SoutheastUniversity，Nanjing210096，China)

According to the fractal characteristics of microcosmic cracks extension form in welding area,this paper established the fractal damage variables,deduced the strain-damage coupled constitutive equation,combining with the multi-scale numerical analysis model,researched the span scale damage evolution process of welding components from microcosmic cracks to component fracture,the results showed that the numerical simulation result was consistent with the experimental observation,the fractal damage variable had correctness and rationality.

welding component,microcosmic crack,fractal dimension,damage variable

2015-10-16 ★：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：11072060)

李 杰(1992- )，男，在讀碩士；李兆霞，女，博士，博士生導(dǎo)師，教授

1009-6825(2015)36-0024-03

O346.5 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

A