締合勒讓德函數(shù)的解析表達(dá)式研究

張捍衛(wèi) 李明艷 雷偉偉

1 河南理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，焦作市世紀(jì)大道2001號(hào)，454003

勒讓德方程在物理和工程中具有廣泛應(yīng)用。Boyd［1］給出切比雪夫多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式和雅可比多項(xiàng)式之間的理論關(guān)系，Parodi［2］利用勒讓德函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式系數(shù)來模擬簽名特征，Morais［3］構(gòu)建了一個(gè)適用于長橢球形狀的完備正交函數(shù)系，Yalcnbas［4］在近似求解第二類線性Fredholm 積分方程時(shí)引入勒讓德多項(xiàng)式，Liu［5］利用勒讓德多項(xiàng)式生成的正交小波基進(jìn)行偏微分方程的數(shù)值求解，Vladimir［6］也研究了勒讓德多項(xiàng)式和其他正交函數(shù)系之間的理論關(guān)系。在國內(nèi)，張傳定［7］利用球面上的正交函數(shù)系研究了物理大地測(cè)量中的一階、二階梯度邊值問題，張玉靈［8］根據(jù)勒讓德函數(shù)的遞推公式和基本性質(zhì)推導(dǎo)了不同階次勒讓德函數(shù)的加權(quán)正交性，吳星［9］介紹了勒讓德函數(shù)的多種遞推計(jì)算方法，王建強(qiáng)［10］指出跨階次遞推法是計(jì)算超高階次勒讓德函數(shù)的較優(yōu)方法，劉纘武［11］提出一個(gè)修正的勒讓德函數(shù)遞推算法，黃國藍(lán)［12］利用理論計(jì)算和數(shù)值方法對(duì)勒讓德多項(xiàng)式進(jìn)行分析，區(qū)家明［13］利用勒讓德多項(xiàng)式建立小尺度地磁場(chǎng)模型。但是，到目前為止，還沒有一個(gè)適用于任意階次的勒讓德函數(shù)解析表達(dá)式。本文把任意階次的勒讓德函數(shù)表示為三角函數(shù)的倍角形式，不但方便勒讓德函數(shù)對(duì)角度求導(dǎo)數(shù)和積分，以研究其加權(quán)正交性，而且可以簡化其應(yīng)用。

1 勒讓德函數(shù)的定義與其級(jí)數(shù)展開式

1.1 勒讓德函數(shù)的定義

勒讓德函數(shù)的定義是［14］：式中，n稱為階，且n∈N，N 是自然數(shù)集合。締合勒讓德函數(shù)的定義是：

式中，m稱為次（級(jí)），m∈N，且m≤n。顯然，當(dāng)m＝0時(shí)，

式中，x是屬于區(qū)間［－1，1］的實(shí)數(shù)。

1.2 勒讓德函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式

由于

式中，k∈N，！表示階乘。當(dāng)l≥n時(shí)，xl對(duì)x的n階導(dǎo)數(shù)是：

式中，l∈N。利用式（4）和式（5），可把式（1）寫為：

式中，n2＝intn／［ ］2 ，以保證n－2k≥0。

把式（6）代入式（2），并考慮到式（5），則式（2）可寫為：

2 勒讓德函數(shù)的三角函數(shù)形式

2.1 以三角函數(shù)冪次形式表示的締合勒讓德函數(shù)

假設(shè)x＝cosθ，θ∈［0，π］，則式（7）寫為：

同樣，sinθ和cosθ的冪次必須大于等于0。

2.2 以三角函數(shù)倍角形式表示的勒讓德函數(shù)

勒讓德函數(shù)的生成函數(shù)是：

式中，w為復(fù)數(shù)變量，且其模數(shù)。如果令x＝cosθ，則式（9）等號(hào)右邊可寫為：

式中，i2＝－1。因?yàn)?/p>

利用無窮級(jí)數(shù)的柯西法則：

有：

比較式（9）和式（10）可得：

當(dāng)上式的k代換為（n－k）時(shí)，求和號(hào)內(nèi)系數(shù)相等，只是ei（n－2k）θ變?yōu)閑－i（n－2k）θ，因此有：

此時(shí)約定：

式（11）就是以三角函數(shù)倍角形式表示的勒讓德函數(shù)。

3 勒讓德函數(shù)的遞推公式

勒讓德函數(shù)的遞推公式［14］為：

如果在式（13）中出現(xiàn)n－1＜m的情況，則設(shè)置為零。如果已知低階次的勒讓德函數(shù)的數(shù)值，原則上可利用式（13）和式（14）求得任意階次勒讓德函數(shù)的數(shù)值，但不能求得其解析表達(dá)式。如果能把也表示為式（11）的形式，則對(duì)于理論研究和實(shí)際應(yīng)用來說將很有意義。另外，還有兩個(gè)常用的遞推公式［14］：

當(dāng)式（8）代入式（16），又變?yōu)樵瓉淼氖剑?）。根據(jù)式（16），可得：

設(shè)式（11）求和號(hào)內(nèi)的系數(shù)是ak，則式（17）可表示為：

利用勒讓德微分方程：

可把式（18）表示為：

但不能推求m≥3情況下Pmn（cosθ）的解析表達(dá)式。

4 以三角函數(shù)倍角形式表示的締合勒讓德函數(shù)

4.1 整體代入法

因?yàn)?/p>

把以上兩式代入式（8），可得：

式中，Lk2＝int（L2－k）。3個(gè)求和號(hào)相乘有［1＋2（m＋1）個(gè)組合，且（k＋l）的最大值是L2。故有：

這樣，在式（24）中，就有（L2＋m＋1）個(gè)倍角出現(xiàn)。但是，這些倍角中可能出現(xiàn)正負(fù)反對(duì)稱情況，需根據(jù)m進(jìn)行合并。最后，式（24）可化為：

4.2 逐步代入法

在n和m已知的情況下，定義2個(gè)數(shù)組：

把式（22）代入式（8），則有：

根據(jù)兩個(gè)求和號(hào)結(jié)構(gòu)，可把上式寫為：

其中，

再把式（23）代入式（27），可得：

其中數(shù)組D（j）的定義是：

式（29）中，求和號(hào)相乘共有（L2＋1）（m＋1）個(gè)組合，這些組合中倍角的最大值和最小值分別是：

因此，式（29）可化為：

其中，當(dāng)k≤L2且j≤m時(shí)，有：

當(dāng)L2＋1≤k≤L2＋m且m≥1時(shí)，有：

式中，L3＝min（L2，L2＋m－k）。可見，如果采用逐步代入法，可得的具體解析表達(dá)式。在式（30）中，也有（L2＋m＋1）個(gè)倍角出現(xiàn)，但這些倍角中也可能出現(xiàn)正負(fù)反對(duì)稱情況，此時(shí)需根據(jù)m數(shù)值進(jìn)行合并，最后改化為式（25）的形式。

5 實(shí)際計(jì)算

在n和m確定的情況下，計(jì)算數(shù)組A（k）、B（k，l）和D（j），其中數(shù)組下標(biāo)的取值范圍分別是：

利用式（28）計(jì)算數(shù)組C（k），此時(shí)k取值范圍同上。利用式（31）和式（32）計(jì)算數(shù)組，此時(shí)k的取值范圍則是k∈［0，L2＋m］。

以式（25）為標(biāo)準(zhǔn)，表1 給出0～5 階勒讓德函數(shù)展開式，與有關(guān)文獻(xiàn)完全一致，表明本文公式正確。

表1 0～5階的勒讓德函數(shù)的系數(shù)Tab.1 The coefficient of Legendre function until order 5

［1］Boyd J P，Petschek R.The Relationships between Chebyshev，Legendre and Jacobi Polynomials：The Generic Superiority of Chebyshev Polynomials and Three Important Exceptions［J］.Journal of Scientific Computing，2014，59（1）：1－27

［2］Parodi M，Gómez J C.Legendre Polynomials Based Feature Extraction for Online Signature Verification，Consistency Analysis of Feature Combinations［J］.Pattern Recognition，2014，47（1）：128－140

［3］Morais J.An Orthogonal System of Monogenic Polynomials over Prolate Spheroids in R3［J］.Mathematical and Computer Modelling，2013，57（3）：425－434

［5］Liu N，Lin E.Legendre Wavelet Method for Numerical Solutions of Partial Differential Equations［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations，2010，26（1）：81－94

［6］Vladimir G，Mariana M.Orthogonal Polynomials and Related Special Functions Applied in Geosciences and Engineering Computations［J］.Komunikacie，2010，12（1）：12－15

［7］張傳定，陸仲連.廣義球諧函數(shù)及其在梯度邊值問題的應(yīng)用［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，1998，27（3）：252－258（Zhang Chuanding，Lu Zhonglian.General Spherical Harmonics and Its Application［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1998，27（3）：252－258）

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［10］王建強(qiáng)，趙國強(qiáng)，朱廣彬.常用超高階次締合勒讓德函數(shù)計(jì)算方法對(duì)比分析［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2009，29（2）：126－130（Wang Jianqiang，Zhao Guoqiang，Zhu Guangbin.Contrastive Analysis of Common Computing Methods of Ultra－Hing Degree and Order Fully Normalized Associated Legendre Function［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，29（2）：126－130）

［11］劉纘武，劉世晗，黃歐.超高階次勒讓德函數(shù)遞推計(jì)算中的壓縮因子和Horner求和技術(shù)［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40（4）：454－458（Liu Zanwu，Liu Shihan，Huang Ou.Scale Factors in Recursion of Ultra－High Degree and Order Legendre Functions and Horner’s Scheme of Summation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（4）：454－458）

［12］黃國藍(lán)，樊江紅，盧方武.勒讓德多項(xiàng)式的數(shù)值分析及應(yīng)用研究［J］.高師理科學(xué)刊，2012，32（6）：7－10（Huang Guolan，F(xiàn)an Jianghong，Lu Fangwu.The Numerical Analysis and Applied Research of Legendre Polynomial［J］.Journal of Science of Teachers’College and University，2012，32（6）：7－10）

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［14］方俊.重力測(cè)量與地球形狀學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1975（Fang Jun.Gravity Measurement and Shape of the Earth［M］.Beijing：Science Press，1975）