球面三角形法在數(shù)字天頂儀中的應(yīng)用

劉先一 周召發(fā) 張志利 張新帥

1 第二炮兵工程大學(xué)，西安市同心路2號，710025

數(shù)字天頂儀是一種高精度的天文定位儀器。通過對獲取的星圖進(jìn)行處理，再結(jié)合GPS測得的大地坐標(biāo)，可以快速精確地實(shí)現(xiàn)對測站點(diǎn)的定位。Halicioglu等［1－2］對切平面法在天文定位中的運(yùn)用進(jìn)行研究，孫榮煜等［3］對切平面法進(jìn)行改進(jìn)。但以上方法都會(huì)因恒星質(zhì)心的測量誤差、定位星匹配錯(cuò)誤等導(dǎo)致定位精度降低，并且在數(shù)據(jù)處理過程中存在迭代次數(shù)較多、數(shù)據(jù)收斂速度較慢等問題。本文采用球面三角形法，充分運(yùn)用恒星的坐標(biāo)信息，使用最小二乘平差法和迭代法，減小了恒星質(zhì)心測量誤差對解算結(jié)果的影響，提高了解算結(jié)果的精度和數(shù)據(jù)的收斂速度。

1 數(shù)字天頂儀定位原理

通過對CCD 獲取的恒星影像進(jìn)行處理，可以得到相應(yīng)的CCD 坐標(biāo)。運(yùn)用星表對所得恒星進(jìn)行匹配，得出恒星的切平面坐標(biāo)。通過像坐標(biāo)、切平面坐標(biāo)和天文坐標(biāo)的高精度轉(zhuǎn)換，可以對測站點(diǎn)進(jìn)行精確定位。

將恒星赤道坐標(biāo)系投影到與天球相切的切平面上，建立切平面坐標(biāo)系o－ξη（圖1）。其中η指向天球正北方向，ξ指向天球正東方向。以GPS測得的（α0，δ0）作為測站點(diǎn)初始概略天文坐標(biāo)值，并以此點(diǎn)為原點(diǎn)作切平面，天球上任意恒星（α，δ）在切平面上的投影坐標(biāo)可表示為（ξ，η）。則有：

圖1 切平面示意圖Fig.1 Sketch map of tangent plane

建立天球切平面坐標(biāo)（ξ，η）與影像坐標(biāo)（x，y）之間的映射關(guān)系，則有：

通過最小二乘法求解相應(yīng)的系數(shù)，在影像坐標(biāo)系中求得光軸中心的影像坐標(biāo)（x0，y0），通過映射關(guān)系可以求出光軸中心的切平面坐標(biāo)（ξz，ηz），從而得出光軸的天球赤道坐標(biāo)（αz，δz）：

2 球面三角形法定位原理

在測站點(diǎn)上使數(shù)字天頂儀的光軸垂直指向天頂，獲取恒星的影像。恒星的天球赤道坐標(biāo)是已知的，計(jì)算出恒星影像坐標(biāo)的理論值，并測量恒星影像坐標(biāo)的實(shí)際值，通過最小二乘平差法，獲得測站天頂?shù)奶烨虺嗟雷鴺?biāo)。

以CCD 面陣的一角為原點(diǎn)，兩邊為坐標(biāo)軸，建立成像面量測坐標(biāo)系O－XY。CCD 的理想坐標(biāo)系O′－NE的坐標(biāo)平面與數(shù)字天頂儀的主光軸垂直，并與以數(shù)字天頂儀焦距f為半徑的球面相切，切點(diǎn)即為O′，N軸指向正北，E軸指向正東。兩坐標(biāo)系之間的夾角為θ（圖2）。

圖2 恒星投影原理Fig.2 The principle of a star projection

由天球的北極P、測站點(diǎn)和任意一顆恒星構(gòu)成球面三角形。由投影關(guān)系，可以得出恒星在量測坐標(biāo)系中的理論坐標(biāo)為：

式中，xc、yc為O′在O－XY中的坐標(biāo)，焦距f的單位為mm，兩者均為已知量；pix 為CCD 像元尺寸，單位為mm；α0、δ0為測站點(diǎn)的天球赤道經(jīng)緯度，α、δ為恒星的赤經(jīng)赤緯。

以GPS測得的經(jīng)緯度（αa，δa）作為測站點(diǎn)初始概略天文坐標(biāo)值，對于任意一顆恒星的影像，測量坐標(biāo)的誤差方程為：

在VTWV＝min的條件下可得：

式中，W為權(quán)系數(shù)矩陣，此處權(quán)系數(shù)相同。

首先根據(jù)初始值用式（8）、（9）計(jì)算出一顆恒星的理論坐標(biāo)，結(jié)合實(shí)際測量坐標(biāo)值，代入式（12）、（13）計(jì)算出B、f。把B、f代入式（11），計(jì)算3個(gè)未知量的偏差ΔX。把此偏差疊加到初始值中求逼近的解，再把求得的結(jié)果當(dāng)作初始值，重復(fù)上面的過程。經(jīng)過數(shù)次重復(fù)計(jì)算后，就可以得出非常精確的解，從而求出測站點(diǎn)的天文經(jīng)緯度。

3 數(shù)據(jù)仿真及分析

數(shù)字天頂儀中的CCD 像素為4 096×4 096，視場角大小為3°×3°。運(yùn)用Matlab對數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真。設(shè)測站點(diǎn)精確天文赤道坐標(biāo)為（109.12，34.30），取初始概略天文赤道坐標(biāo)為（108.00，34.50），在視場中取15顆星對目標(biāo)定位。表1給出了部分仿真恒星的位置坐標(biāo)。

表1 部分識別恒星的數(shù)據(jù)Tab.1 Part of the recognized star data

由球面三角形法可以解算出測站點(diǎn)的天球坐標(biāo)，如圖3所示。當(dāng)給定的概略位置坐標(biāo)與精確位置坐標(biāo)分別相差5°、3°和1°時(shí)，由切平面法和球面三角形法分別解算測站點(diǎn)位置坐標(biāo)時(shí)需要迭代的次數(shù)，如圖4所示。

從圖4可知，由球面三角形法解算出來的天文經(jīng)緯度精度較高。在數(shù)據(jù)迭代過程中，當(dāng)概略位置與精確位置相差較多時(shí)，球面三角形法迭代次數(shù)較少；當(dāng)概略位置坐標(biāo)與精確位置坐標(biāo)相差較少時(shí)，兩種算法的迭代次數(shù)接近。就總體的迭代次數(shù)而言，球面三角形法解算數(shù)據(jù)的收斂速度要快于切平面法。

4 結(jié) 語

傳統(tǒng)的切平面法在解算天文經(jīng)緯度時(shí)對數(shù)據(jù)的處理存在一定的誤差，精度較低。本文在傳統(tǒng)的切平面定位方法的基礎(chǔ)上引進(jìn)球面三角形法，運(yùn)用迭代和最小二乘平差法對數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的處理，提高了定位精度。實(shí)驗(yàn)表明，球面三角形法的求解精度要高于切平面法，并且在迭代過程中數(shù)據(jù)收斂速度較快。

圖3 精度的比較Fig.3 Comparision of precision

圖4 不同差值時(shí)的迭代次數(shù)比較Fig.4 Comparision of iteration number in different D－vaule

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