可測函數的性質

王一

摘 要：可測函數是從測度觀點來研究函數時所必然要考慮的一類函數，它一方面包含大家熟悉的連續函數作為特例，另一方面又在應用上和理論上具有足夠的廣泛性。文章從可測函數的定義入手，給出簡單函數的定義，還有提了幾個常見的簡單函數，在此基礎上將討論可測函數的性質，比如任何非負可測函數都可以用單調遞增簡單函數逐點逼近，對于一般的可測函數來說也可以利用逐點逼近法，可測函數的收斂性，逐步進入可測函數的主要應用—— 積分領域。

關鍵詞：可測函數 簡單函數 可測函數的逼近 可測函數的性質

中圖分類號：O174.1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0138-02

實變函數論的核心內容是建立在可測函數類上的Lebesgue積分理論，而可測函數是借助于測度論定義的。因此，三者關系能體現出可測函數是實變函數論的基本概念，理解與掌握它是學好Lebesgue積分理論的關鍵。由于通常將一般可測函數的L積分定義為它的正部與負部兩個非負可測函數L積分的差（要求其中至少一個積分值有限），因此研究非負可測函數L積分的定義具有重要意義。該文將研究非負可測函數L積分的定義方法，文中可測集與可測函數均指L可測集與L可測函數。

1 可測函數的定義

1.1 可測函數

（1）定義：設是定義在可測集的實函數，如果對于任何有限實數，[都是可測集，則稱為定義在上的可測函數。

（2）定理：設是定義在可測集上的實函數，下列任一條件都是在上可測的充要件：（1）對任何有限實數，都可測；（2）對任何有限實數，都可測；（3）對任何有限實數，都可測；（4）對任何有限實數，都可測。

例如，區間[]上的連續函數及單調函數都是可測函數。

1.2 簡單函數

定義：設的定義域可分為有限個互不相交的可測集，，使在每個上都等于某常數，則為簡單函數。

例如，在區間[0，1]上的狄利克雷函數便是一簡單函數。

2 可測函數的性質

2.1 基本性質

（1）性質1：若是上的可測函數，可測，則限制在上也是可測函數；反之，若，限制在上是可測函數，則在上也是可測函數。

引理：設與為上的可測函數，則都是可測集。

（2）性質2：設，在上可測，則下列函數（假定它們在上有定義）也在上可測：

①+；②||；③1/；④.；⑤都在上可測。

（3）性質3：{}是上一列可測函數，則，也在上可測，特別當存在時，它也在上可測。

證明（略）。

例：上的可微函數的導函數是可測函數。

注意：函數列收斂與函數列收斂于之間的不同。

（4）性質4：R中的可測子集E上的單調函數必為可測函數。

定義：（幾乎處處成立）設是一個與集合的點有關的命題，如果存在的子集，適合，使得在＼上恒成立，也就是說，＼[成立]=零測度集，則我們稱在上幾乎處處成立，或說a.e.于成立。

2.2 可測函數的收斂性關系與區別

定義：（依測度收斂）設是上的一列a.e.有限的可測函數，若有上a.e.有限的可測函數滿足下列關系：對任一有，則稱函數列依測度收斂于，或度量收斂于。記為：

改用說法：對任意>0及，存在整數，使時，。

測度收斂和我們熟知的處處收斂或幾乎處處收斂概念是有很大區別的。

盡管兩種收斂區別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但是下列定理反映出它們還是有密切聯系的。

定理1：（里斯）設在上測度收斂于，則存在子列在上a.e.收斂于。

定理2：（勒貝格）設（1）；（2）是上a.e.有限的可測函數列；（3）在上a.e.于a.e.有限的函數，則。

上面定理說明a.e.收斂的函數列在何時成為以測度收斂的。要注意，這個條件是不能去掉的。再結合例1，在條件下，測度收斂弱于a.e.收斂。

定理3：設，，則在上幾乎處處成立。

證明（略）。

2.3 可測函數的逼近

在數學分析中知道，一致收斂是函數列很重要的性質，它能保證極限過程和一些運算的可交換性。但一般而言，一個收斂的函數列在其收斂域上是不一定一致收斂的。例如在[]上不一致收斂。但是只要從[]的右端點去掉任何小的一段成為[]，則{}在其上就一致收斂了。其實這一現象在某種意義下是帶有普遍性的。但有兩個問題是必須考慮的：（1）什么樣的函數可以用好的函數按某種收斂意義逼近？（2）幾種收斂性的關系如何？這就是下面要講的Egoroff定理。

引理：設，上的一列幾乎處處有限的可測函數，a.e.于，且||a.e.于，則對任意和任意正整數n，作，我們有

推論：設，上一列a.e.收斂于一個a.e.有限的函數的可測函數列，則對任意有。

定理：（Egoroff）設，是上一列a.e.收斂于一個a.e.有限的函數的可測函數，則對任意，存在子集，使在上一致收斂，且。

3 結語

本文章先給出了可測函數定義，討論了它的性質，逐步進入了并討論了一般函數、簡單函數、可積函數以及它們之間的關系。這個定理告訴我們，凡是滿足定理假設的a.e.收斂的可測函數列，即使不一致收斂，也是“基本上”（指去掉一個測度可任意小的某點集外）一致收斂的。

參考文獻

[1] 程其蘘，張奠宙，魏國強，等.實變函數與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 江澤堅，吳智泉，紀友清.實變函數論[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 徐森林.實變函數論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2002.endprint