立幾入門教學的再探究

高春麗

摘 要：立體幾何是研究幾何圖形的性質及其應用的一門科學，是培養學生邏輯思維能力、空間想象能力及分析和解決問題能力必須具備的重要知識，也是高考年年必考的重要內容。由此立體幾何的學習就顯得尤為重要，筆者積累了以下幾點，供分析與探究。

關鍵詞：立體幾何；入門教學；數學語言

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-224-01

一、注重學生作圖，識圖能力的培養

作圖、識圖是學習幾何的基本功，作為培養空間思維的立體幾何，其知識的掌握程度常常取決于我們對空間圖形認識和掌握程度，圖形繪制的正誤優劣往往關系到問題解決的成敗，忽視圖形繪制過程的合理性，將直接影響題目信息的呈現和利用，導致受阻。因此，解決好立幾問題的第一步是繪制出直觀、規范、簡潔、準確的圖形。但從平面觀念過渡到空間觀念，對學生來說有一定困難，因為他們已習慣了平幾的那一套，形成了強大的思維定勢，初學立幾，往往會從平幾的角度來認識、理解空間圖形問題，這就極大地妨礙了三維空間的建立。為此可采用幾何模型、實物演示，讓學生多角度“寫生”等，以縮小對空間圖形的陌生感和距離感，從中悟出空間圖形與平面圖形的差異與聯系，從而正確、合理地作出圖形。如本人在高二（下A）第10頁的例1教學中，根據題意需畫出空間四邊形ABCD及過AB、AD的中點E、H，CD、CB上的點F、G（其中F、G滿足CF/CB=CG/CD=2/3）的四邊形EFGH。對此，先讓學生理解空間四邊形的定義，之后讓學生將一矩形紙片沿一條對角線對折，并讓對折后的兩三角形不在同一平面內，這時再讓學生觀察，得出“矩形的四個頂點不在同一平面內”，照此實物就可畫出空間四邊形，并強調為增強圖形的立體感，應將折痕（即矩形的一條對角線）一并畫出來，如圖中BD。最后，再讓學生找出實物中的E、H、F、C四點，并觀察想象它們構成的四邊形面與己知兩三角形面間的位置關系，從而畫出四邊形EFGH，并將被它遮住的部分畫成虛線。這樣，經過一段時間的訓練，學生的畫圖能力明顯提高。

在學生具有了一定的作圖能力之后，還要注重學生識圖能力的培養。如在學習了相交面的畫法之后，可讓學生辯識圖1中的哪個畫法正確。掌握了空間圖形的畫法規則后，讓學生說明圖2中，各圖形的不同之處；這樣，經過正、反兩方面的訓練，同學們的識圖、作圖能力必會更上一層樓。

（a） （b） （c）

圖2

二、掌握三種數學語言的互譯

數學語言是解決數學問題必不可少的重要工具，尤其在立幾中，掌握立體幾何的數學語言是學好立幾的重要基礎。數學語言按其所使用的主要詞匯分為三種：文字語言、圖形語言、符號語言；文字語言言簡意賅，寓意深刻，符號語言簡明扼要，國際通行；圖形語言形象生動，記憶深刻，它是聯系文字語言、符號語言的橋梁。這幾種語言各有所長，對開發同學們思維的敏捷性、條理性、層次性都有重要意義。因而在立幾學習中，應充分發揮不同語言的教育功能，掌握好三種語言的互譯。筆者在立幾入門教學中，對每個定義、定理、公理都要求學生會用三種語言來表達，對例習題也做同樣的要求。經過一段時間的訓練，不僅學生運用語言的能力大大提高，而且也加深了對定義、定理的理解，培養了學生準確的表達能力，規范的解題能力和空間想象能力。

三、學會立幾、平幾間的轉化、類比

平幾是立幾的基礎，立幾是平幾的延伸與拓展，它們之間有著緊密的聯系。立體幾何中的許多定理、公式、法則都是平幾的定理、公式、法則在空間的推廣，有些問題的處理思想和方法也有許多相似之處。因此，如果在立幾問題中注意聯想平幾中類似問題的圖形與解法，從平幾問題中得到啟發，適當添加輔助線、面，將分散的元素進行集中，將各種關系體現在同一個平面圖形內，就可化未知為已知，化立幾為平幾，從而使問題迎刃而解。比如求空間的距離時，主要是設法作出各種距離和構造三角形，從而在三角形中應用勾股定理、正余弦定理等來求解。再如求空間的各種角，通過平移、旋轉、割補、射影、作截面等手段，往往可將隱藏的關系集中顯現出來，將問題歸結到一個聯系己知量和待求量的基本圖形——三角形中去討論，從而將線線角、線面角、二面角化歸為三角形的內角，然后利用解三角形的知識就可求解。在解題思路和思維方法上，立幾也可類比平幾。比如平幾中可用面積法證明“三角形內任一點到各邊距離之和等于定值”。在空間可用體積法證明類似的命題：“正四面體內任一點到各面的距離之和為定值”。這樣的例子很多，在此不再贅述。

以上是立幾入門教學的三個中心環節，只要教師在平時的教學工作中幫助學生過好這三關，相信立體幾何的學習必會取得豐碩的成果。