高職數學線性規劃問題建立數學模型教學方法小議

馬耀勇

數學規劃模型是在實際問題的數學建模中應用最廣泛的模型之一，也是運籌學的一個重要分支。在生產實踐中，經常要制定使問題的某一項指標“最優”的方案，這里的最優包括“最大”“最小”“最多”“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的資源（人力、物力及資金等）以獲得“最大收益”等諸如此類的問題，就是所謂的數學規劃問題。數學規劃又分為線性規劃、非線性規劃 、整數規劃、動態規劃等。

求一組變量非負值，滿足由變量的線性方程式或線性不等式構成的約束條件，且使作為變量線性函數的目標函數取最優值（最大值或最小值），這樣的問題稱為線性規劃問題。

線性規劃問題應明確三樣東西：決策變量、目標函數和約束條件。

決策變量：它們是決策者所控制的那些數量，它們取什么數值需要決策者來決策，最優化問題的求解就是找出決策變量的最優取值。

目標函數：它代表決策者希望對其進行優化的那個指標。目標函數就是指標與決策變量之間的函數。

約束條件：它們是決策變量在現實世界中所受到的限制，或者說決策變量在這些限制范圍之內取值才有實際意義。

高職學生在學習高職數學線性規劃內容時，對建立線性規劃數學模型覺得有困難.本文主要是根據自己在教學中的經驗，通過幾個實際例子，來說明建立線性規劃問題數學模型的方法。建立線性規劃問題的數學模型都可歸結為下面三個步驟：

（1）設立決策變量；

（2） 用決策變量的線性函數表示目標（即建立目標函數），并確定目標求最大還是最小值；

（3） 明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示，根據決策變量的實際意義確定變量是否有非負性。解題思路見下面的圖1。

圖1

下面通過幾個例子來說明。

例1.（生產規劃問題）某廠生產A、B、C 三種產品，需要耗費的資源（人力、物力 、財力）、獲得的利潤、備用資源如下表：

問該廠應如何安排生產，才可獲最大利潤？最大利潤是多少？解題思路見下面圖2。

圖2

解：設產品A、B、C分別生產x1、x2、x3單位，總利潤為S，則問題的數學模型為

注意：此題中“x必須滿足的約束條件”是根據耗費的資源（人力、物力 、財力）不能超過備用資源，產量 xi（i=1，2，3）必須非負。

例2.（運輸問題）設有兩個磚廠A1、A2，其產量分別為23萬塊、27萬塊，它們生產的磚供應B1、B2、B3三個工地，其需要量分別為18萬塊、17萬塊、15萬塊。而知道各產地Ai到各工地Bj（i=1，2；j=1，2，3）運價如下表。問應如何調運，才使總運費最省？

解：設磚廠Ai供應工地Bj磚塊的數量為xij （i=1，2； j=1，2，3），則問題的數學模型為：

minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+60x23

將以上模型輸入Mathematica 模型，可以得到最優解（值）：

x11=6，x12=17，x13=0，x21=12，x22=0，x23=15，minS=2940.

例3.（下料問題）某家具廠需要長80厘米的角鋼150根與長60厘米的角鋼330根，這兩種長度不同的角鋼由長210厘米的角鋼截得，工廠應如何下料，才使得用料最省.

設第i種下料方案的原材料根數為 ，則問題的數學xi（i=1，2，3），模型為

將以上模型輸入Mathematica 模型，可以得到結果：最優解為x1= 0， =150 ， =10 ，最優值S=160 ，即按方案2用料150根，方案3用料10根下料，一共160根，用料最省。

【參考文獻】

[1]何品榮.數學管理方法.北京：人民郵電出版社，2013.endprint