問題啟發(fā)課堂思維，探究提升信息素養(yǎng)

陳朝暉

● 問題啟發(fā)：馮·諾依曼為何選擇二進(jìn)制

1.信息表達(dá)

計(jì)算機(jī)是機(jī)器，在當(dāng)時背景下，用機(jī)器表達(dá)信息的局限性決定了使用二進(jìn)制更加方便。書本從電流、電壓等方面做了解釋（如電位中高電位為1，低電位為0;線路中線路開通為1，閉合為0等）。

2.運(yùn)算處理

計(jì)算機(jī)（ENIAC）研發(fā)的初衷是計(jì)算，機(jī)器在做計(jì)算時選擇不同進(jìn)制，將直接導(dǎo)致運(yùn)算難度差異。下面我們通過比較1位數(shù)值A(chǔ)和數(shù)值B做加法運(yùn)算，在實(shí)現(xiàn)上需考慮的情形。

（1）簡單的二進(jìn)制相加

表1 ? ?二進(jìn)制相加表

從表1我們可以看出：二進(jìn)制數(shù)值A(chǔ)和數(shù)值B做A+B運(yùn)算，需考慮的情形僅有4種。結(jié)合當(dāng)時條件，毫無疑問用二進(jìn)制處理數(shù)據(jù)在機(jī)器實(shí)現(xiàn)上相對簡單。

（2）較復(fù)雜的十進(jìn)制相加

如果使用我們熟悉的十進(jìn)制（如表2），做A+B運(yùn)算需考慮的情形總共有100種，機(jī)器實(shí)現(xiàn)難度可想而知。從中我們可以看出馮·諾依曼選擇二進(jìn)制系統(tǒng)，在當(dāng)時背景條件下毫無疑問是極其明智的。

表2 ? ? ?十進(jìn)制相加表

● 科學(xué)探究：百花齊放的不同進(jìn)制

用心去慢慢品味，你會發(fā)現(xiàn)我們生活中存在多種進(jìn)制類型：①星期（星期一、星期二、……、星期七，七進(jìn)制）;②月份（一月、二月、……、十二月，十二進(jìn)制）;③時間（1點(diǎn)、2點(diǎn)、……、24點(diǎn)，二十四進(jìn)制）。書本中還提到八進(jìn)制、十六進(jìn)制。不同進(jìn)制運(yùn)用于不同場合，為我們生活帶來諸多便利。請學(xué)生結(jié)合生活中不同進(jìn)制，并對其做深入探究。

1.基數(shù)的探究

基數(shù)，即基本數(shù)字，在不同進(jìn)制中，常指數(shù)據(jù)在某一位置上允許出現(xiàn)的數(shù)字個數(shù)。下面，我們列舉幾種不同進(jìn)制類型，對其基數(shù)進(jìn)行比較。

表3 ?不同進(jìn)制類型的基數(shù)比較表

進(jìn)制類型 基本數(shù)字 基數(shù)

十進(jìn)制 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 10

七進(jìn)制 0、1、2、3、4、5、6 7

二進(jìn)制 0、1 2

2.十六進(jìn)制中為何有字母

按表3理解，十六進(jìn)制基本數(shù)字應(yīng)為0、1、……、15。這樣似乎很合理，但禁不住推敲。例如，數(shù)字10是代表某個具體位置，還是分別代表兩個位置上的數(shù)字（一個位置為1，另一個位置為0）？很明顯，如果十六進(jìn)制基數(shù)這樣表述，極易引發(fā)位置上的錯位、混淆。

怎樣解決這個問題？我們可以創(chuàng)建新符號來替代那些易引發(fā)混淆的雙位數(shù)值（如畫一個三角形符號代表數(shù)字10），用新符號來替代雙位數(shù)值問題就解決了。人們常常將十六進(jìn)制基本數(shù)字表達(dá)成0、1、……、9、A、B、……、F（如雙位數(shù)值10用大寫字母A表示），這種表述簡單方便，易達(dá)成共識。

3.七進(jìn)制的困惑（奇妙的0）

前面我們提到星期是七進(jìn)制，它的基數(shù)是1、2、……、7。如果做七進(jìn)制運(yùn)算或許你會感到困惑：7+1=（ ），3+4=（ ），七進(jìn)制逢7不進(jìn)位，這讓人難以接受，所以將七進(jìn)制基數(shù)定為0、1、……、6將更加合理。

● 科學(xué)探究：“位置標(biāo)記”是進(jìn)制的核心

要探究不同進(jìn)制本質(zhì)，我們先來分析熟悉的十進(jìn)制，并挖掘其中蘊(yùn)含的規(guī)律——位置標(biāo)記。

（表中第1行是“位置標(biāo)記”，第2行是對應(yīng)位置下的數(shù)值）

（52154.23）10=5*104+2*103+1*102+

5*101+4*100+2*10-1+3*10-2……①

1.“位置標(biāo)記”的便利

在每一個數(shù)字上方標(biāo)記出對應(yīng)位置，這就是“位置標(biāo)記”。表4（52154.23）10中有兩個數(shù)字5，“位置標(biāo)記”描述了數(shù)字5的差異，在位置4下方數(shù)字5=5*104，而在位置1下方數(shù)字5=5*101。

在進(jìn)制系統(tǒng)中，“位置標(biāo)記”是人類數(shù)值表達(dá)上的一大進(jìn)步。筆者認(rèn)為，其他進(jìn)制也采用了“位置標(biāo)記”法，這是進(jìn)制系統(tǒng)的核心，也是不同進(jìn)制彼此相通之處，是我們掌握進(jìn)制換算的關(guān)鍵密鑰。

2.統(tǒng)一進(jìn)制，比較大小

（52154.23）8 （1001110.01）2 （5E1.A3）16

要讓不同進(jìn)制進(jìn)行大小比較，我們必須統(tǒng)一進(jìn)制。在表4①處，我們利用“位置標(biāo)記”將（52154.23）10逐位展開。同樣通過這種方式，我們可以將八進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制：

（52154.23）8=5*84+2*83+1*82+5*81

+4*80+2*8-1+3*8-2=（ ?）10

現(xiàn)在要將任意R進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，只需要調(diào)整基數(shù)R即可。為什么轉(zhuǎn)換之后得到的就是十進(jìn)制數(shù)？這是因?yàn)樵凇拔恢脴?biāo)記”法等式右端，我們的計(jì)算處理采用了十進(jìn)制累加形式，因此不同進(jìn)制數(shù)據(jù)都將換算成十進(jìn)制。

3.4位二進(jìn)制等同1位十六進(jìn)制

在課堂教學(xué)中，許多教師都會提到，每4位二進(jìn)制等同1位十六進(jìn)制及“8421”法則。“知其然，更要知其所以然”，下面我們來揭開其神秘面紗。

請觀察②展開式中的基數(shù)變化，你會發(fā)現(xiàn)二進(jìn)制已轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制。

4.“8421”法則的由來

將②括號中的每組數(shù)據(jù)寫成通式為：（x*23+x*22+x*21+x*20）=（x*8+x*4+x*2+x*1）（x值為0或1），4位二進(jìn)制剛好對應(yīng)1位十六進(jìn)制數(shù)，這就是“8421”法則的由來。

如果二進(jìn)制數(shù)據(jù)帶有小數(shù)部分，則從小數(shù)點(diǎn)位置開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每4位為一組用1位十六進(jìn)制數(shù)表示，不足4位用“0”補(bǔ)足4位，這樣就得到1位十六進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制形態(tài)。

為什么打點(diǎn)分組？因?yàn)樾?shù)部分無論如何轉(zhuǎn)換，都不可能變成整數(shù)部分。將“8421”法則直接運(yùn)用到計(jì)算中更加方便。我們將x值為“1”和“8421”對應(yīng)數(shù)字累加，最后結(jié)果寫成對應(yīng)的十六進(jìn)制形態(tài)即可。另外，十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制是其逆運(yùn)算過程，八進(jìn)制與二進(jìn)制轉(zhuǎn)換與此類似。

● 問題啟發(fā)：任意進(jìn)制的衍生

前面，我們可以將任意進(jìn)制統(tǒng)一成十進(jìn)制并比較大小。相反，如果給定十進(jìn)制數(shù)據(jù)，我們怎樣得到其他進(jìn)制？我們先來回顧任意R進(jìn)制“位置標(biāo)記”法。

（52719）R=5*R4+2*R3+7*R2+1*R1

+9*R0……③

1.用余數(shù)構(gòu)造基數(shù)

不同進(jìn)制的不同主要是基數(shù)不同（八進(jìn)制有8個基本數(shù)字：0、1、……、7）。現(xiàn)在我們來考慮十進(jìn)制整數(shù)除以R可能產(chǎn)生哪些余數(shù)？

除以2的余數(shù)為：{0、1}

除以8的余數(shù)為：{0、1、……、7}

當(dāng)一個整數(shù)除以R時，其余數(shù){0、1、……、R-1}恰好構(gòu)成R進(jìn)制的基本數(shù)字。

2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成任意R進(jìn)制

觀察上面展開式③，你會發(fā)現(xiàn)其逆運(yùn)算過程就是得到任意R進(jìn)制的方法。

“將十進(jìn)制的整數(shù)部分除以R，得到一個商和余數(shù);再將這個商除以R，又得到一個商和余數(shù);反復(fù)執(zhí)行這個過程，直到商為0結(jié)束”，這就是“除以R取余”法。

3.除法為何倒立書寫

倒立書寫是為了使除法運(yùn)算不斷重復(fù)下去，在相除過程中，被除數(shù)在不斷變小，直至為0。倒立書寫為下一次除法預(yù)留了書寫空間。另外，從直觀上考慮，我們不妨將每次相除后得到的余數(shù)直接寫在商旁邊（如圖1）。

很明顯，現(xiàn)在得到的這組余數(shù)就是R進(jìn)制數(shù)據(jù)。接下來是排列問題，這組余數(shù)是從上往下排列嗎？

（1）列反例加以證實(shí)

圖1中（54）10=（110110）2，當(dāng)被除數(shù)剛好整除時，余數(shù)為0，但0是不可以當(dāng)高位的，這說明書寫順序不可以從上往下。

（2）用十進(jìn)制檢驗(yàn)

進(jìn)制數(shù)據(jù)處理彼此相通。當(dāng)遇到困惑時，不妨回歸到我們熟悉的十進(jìn)制，或許馬上就能有答案，如圖2。

總之，《二進(jìn)制與編碼》在教學(xué)中極易被教師忽視。教師通過問題啟發(fā)課堂思維，探究提升信息素養(yǎng)的方法，不僅能使課堂趣味橫生，也在無形中提升了學(xué)生的信息素養(yǎng)。