面向數學教育的TPACK研究*

徐章韜，玄 德

(1.華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學 計算機科學學院， 湖北 武漢 430079)

面向數學教育的TPACK研究*

徐章韜1，玄 德2

(1.華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學 計算機科學學院， 湖北 武漢 430079)

TPACK研究應深入到具體學科之中。數學教師TPACK結構模型可以聚類成四個成份：技術的觀念和運用、內容的深度和寬度、基于技術的數學教學、基于技術的課堂管理。此結構模型指引了數學教師的TPACK發展之路。根據該模型，分階段漸次發展TPACK，把設計學習法和類型活動法融合起來，發展教師對技術與內容、學生學習的理解；然后通過微格教學法、課例研究法、發展實驗法等方式發展TPACK中的教學法成份，有助于卓越數字化教師的培養。

TPACK；結構模型；發展策略

一、面向學科教育是技術與課程整合的發展方向之一

信息技術與學科課程整合之路很曲折。自20世紀90年代以來，美國探索“信息技術與課程整合”途徑與方法的過程大致可劃分為三個階段：基于網絡的探究階段；運用技術加強理科學習階段；TPACK階段[1]。通過教育信息化在教學過程中的應用，實現教育質量的顯著提升是教育信息化的重大意義所在。《普通高中數學課程標準(2003)》也指出，現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響[2]。教學應恰當地使用信息技術，改善學生的學習方式，引導學生借助信息技術學習有關數學內容，進而探索、研究一些有意義、有價值的數學問題。NCTM在《學校數學教育的原則和標準》中，特別設置了一個“科技原則”[3]。這一原則認為，現代科技不僅有助于提高學生的學習，而且也有助于提高數學教學的有效性，甚至影響到數學課程的合理設置和組織。雖然計算機、網絡和其它數字技術(如數碼照相機、數字投影儀)在第一階段得到了充分發展，但美國教育部2010年發布的《國家教育技術規劃》指出，大多數教師并不能很好地把技術運用到他們的教育實踐中。在我國，情況也是類似的。“粉筆+黑板+教科書”依然是課堂教學的主旋律。學科教育信息化的道路任重而道遠。

TPACK概念指引了信息技術與學科課程整合的新方向。Gardner認為學科思考可能是人類最偉大的發明，進行學科教學是學校教育最重要的、最不可替代的目的。學科通過發展知識、方法、目的和表征的過程，成為強有力的認識世界的視角[4]。由于每個學科的旨趣、研究方法和研究結果都不盡相同，實踐已經證明，罔顧學科特點，在學科教育信息化中追求普適信息技術的做法是行不通的。從已有的研究來看，焦建利等[5]、詹藝等[6]在綜述了當前國內外TPACK的研究議題及其進展后，認為深入到具體學科中研究教師課堂實踐中的TPACK應是未來的研究方向之一。祝智庭也支持該看法[7]。姚姿如等基于對西方教育信息技術知識研究的回溯，指出TPACK已逐漸成為教育信息技術知識研究的基本取向。如果要充分發揮教育信息技術在課堂教學中的優勢，教育信息技術知識應凸顯“技術服務學科教學”的價值訴求，將普適化的教育技術知識改造為關注具體學科內容和教授方法的“學科化”的教育信息技術知識[8]。Jimonyannis創立了科學學科教育的TPACK框架——TPASK(Technological Pedagogical Science Knowledge)[9]，Lesser和Groth 提出了面向統計學科教育的TPACK框架——TPSK(Technological Pedagogical Statistical Knowledge)[10]。關注基礎教育的信息化是我國《教育信息化十年發展規劃(2011-2020年)》的意志體現，2014年國家正式啟動“卓越教師計劃”，培養卓越中學數字化教師是其中一個重要子項目。數學教育是基礎教育的重要組成部分，在數學課堂教學中有效地使用技術，是數學教育工作者長期考慮的一個問題。詹藝等通過設計學習法和自我提問策略設計微型課程并進行實驗，通過前后測的對比，師范生的TPACK得到了發展[11]。為了更好地落實國家意志以及推動學科教育的信息化，培養卓越數學數字化教師，應深入到數學學科中研究TPACK，應關注數學教師的TPACK。

二、數學教師TPACK結構模型

雖然研究者提出了不少TPACK概念框架，還從不同方面發展了TPACK的結構模型[12][13]，但結合具體的數學學科討論TPACK時，還需要提出切合其學科特點的TPACK結構模型。以往考慮技術在數學教育中的整體應用時，我們曾過分地聚焦將“什么”技術拿來應用，而很少關注這些技術可能“怎樣”被應用于教與學。對數學教育工作者而言，界定在數學教學中如何最有效地應用技術是一個結構不良問題，為應對這種窘境，需要一個框架來思考技術與課程整合。雖然國內有研究者提出了數學教師TPACK結構模型TPMK[14]，并對之進行了詮釋，但這個模型移植、借鑒的痕跡太重，需要重新審視。

Guerrero[15]結合數學學科的特點，把TPACK細化成四個成份：技術的觀念和運用(Conception &Use of Technology)、基于技術的數學教學(Technologybased Mathematics Instruction)、基于技術的課堂管理(Technology-based Classroom Management)、內容的深度和寬度(Depth & Breadth of Content)，如下圖所示。

技術的觀念和應用是指教師對用技術支持數學的學與教有全面的認識，認為在技術的支持下應如何教授數學，學生應學習什么樣的數學。這個成份是教師做教學決策的基礎，具有價值取向、目標定位作用，從而使得學科內容在技術的支持下更易于學生理解。教師必須決定如何更好地運用技術去闡述學習心理、內容和教法之間的關系，然后決定哪種技術能更好地實現這些目標。知道如何以適當的教學方式運用技術，真正地支持教學而不是作為一種輔助的顯示、呈現工具。一般地，教學上的恰當運用是指能用技術動態呈現和明確表述數學的旨趣、內容、方法和實質，通過最有用的表征、演示、例子和應用把“抽象棲居在形象之上”，把變化中的不變性和不變量揭示出來，推動學生對數學更好地理解，能無縫式地整合技術以提高數學探究、推理、情境化的學習及應用等。

基于技術的數學教學是指在技術支持下進行數學教學時教師知識和能力的調用。按此觀點，教師需要把技術理解成一種教學工具，它不能代替教師，它只是教師教學技能的一部分。在技術支持下進行教學時，為了達到教學目的，要把技術融入到有意義的課程和教學框架之中。一旦教師已經選擇了某種技術工具，教師必須考慮工具如何最有效地實現教學目標，表達教學內容，要有能力精心安排課堂環境，并充分利用由技術即興創造的各種生成性資源，要有能力適當調整技術的運用，以適應不同數學能力、情感和興趣的學生的多樣化需求。例如，知道學生對圓錐曲線的焦點、準線的來源不清楚的根源，并能用超級畫板等動態技術展示焦點、準線的來源，及時解除學生的困惑。能嫻熟地使用技術，不會花費太多的時間就能達到教學目標。

基于技術的課堂管理是指在處理與技術支持下的學與教相關的管理問題時，教師知道如何處理學生對待技術的態度和運用技術時的行為；知道學生學習的困難所在，有能力使學生保持對技術的投入；知道如何運用技術為學生提供最真實的學習環境，使學生沉浸在虛擬環境提供的真實問題情境之中；知道如何正確處理好外在興趣和內在理趣之間的關系。在教學中運用技術時，同時也引入了很多管理變量和問題，這是在傳統教學中很少遇到的。例如，教師如何處理把計算機作為一種物理屏蔽遮擋而脫離學習任務的行為，如何處理把手機當作一種泛在學習的工具而偏離了正常的教學任務，如何處理學生使用iPad時的參與情況，及時回應學生等。

內容的深度和寬度是指教師必須有責任擔當，能在一定深度和寬度上理解數學和數學課程。通過技術開發，能不斷影響內容的深度和寬度，學生可能會提出教師沒有準備處理或介紹的主題和思想。教師對此要持開放的心態，并承認自己之不足，樂于投入時間和精力，獨立地鉆研各種各樣的主題內容，并把它通俗地呈現給學生。例如，學生若能在學習圓錐曲線之后，仿照其定義提出卡西尼卵形線的技術實現問題，教師要有能力回應學生的要求。又如，等寬曲線是微分幾何中的一個內容，又是一個很有趣的初等數學問題，如何實現等寬曲線在平面上的滾動，對教師知識的深度和寬度無疑提出了挑戰。

數學教師TPACK結構模型是從技術觀念、技術管理、技術對教學法的作用和技術對學科內容的作用等方面解析的，強調了面向數學教育的TPACK的獨特性。數學教師TPACK結構模型超越了知識學習意義上的技術工具和技術操作的學習，在本質上達到了如何操作技術以提高數學教與學的境界。盡管這種知識包括學習最基本的操作技能，但它體現的是技術與教學最相關的側面。技術對學情、內容和教學錯綜復雜的作用在數學課堂中表現得更加變化多端，課堂中的技術運用有潛力改變所教的內容，提供新的視角解讀內容，也能改變教學的方式，吸引學生的注意。例如，張景中院士曾用超級畫板做過一個課件，在三角形底邊上任取一點，制作其動畫，把這點及與底邊相對的頂點連接起來，形成一條線段，追蹤線段的中點，當動畫運動起來時，中位線形成了。這樣，中位線的表征一改過去的靜態表象，能動態生成了，還滲透了一一對應等數學思想。這樣的處理法也能很好地吸引學生，不只是因為表面上的動態熱鬧，而是因為其理趣——雖然是基本的初等數學內容，但在技術的支持下，卻能使學生走得更遠，他們在操作中體悟高等數學的思想。技術在數學領域中對學情、教法和內容的影響非常不同于技術對其他領域的影響，數學教師TPACK的核心成份不同于其他學科領域。數學教師在運用技術時，技術知識成為教學知識基礎體系中的一部分，顯示出數學教學科教育的獨特性。

數學教師TPACK模型提供了一種觀測、分析教師技術與課程整合的理論視角，指明了教師在技術支持下專業發展的一個目標或標準。在達到這個目標或標準的過程中，數學教師TPACK是通過哪些路徑和方法發展的，圍繞哪些主題展開的，在這個過程中能達到怎樣的水平，還要進一步探討。

三、數學教師TPACK的發展

有數學學科特點的TPACK結構模型是數學教師是將技術應用于數學，演繹精彩課堂教學的重要知識基礎。Collbert和Boyd等給出擁有深厚TPACK教師的特征[16]：“(1)擁有深厚TPACK的數學教師能自發地嘗試新技術支持的課堂教學，并相信在師生的共同努力下，將取得良好的效果；(2)擁有深厚TPACK的教師將有效地關注數學概念，并充分利用技術營造的教育機會；(3)擁有深厚TPACK的教師會努力知道學生將在哪里遇到概念困難，如何過渡到下一步，如何讓學生通過精心設計的課堂互動和任務序列達到一定的水平；(4)擁有深厚TPACK的教師時常向學生說明“為什么”特定的技術對某一數學主題的教學是有效的；(5)擁有深厚TPACK的教師明顯地有技術管理能力，如能運用標準化測試提供的數據指導教學，這種數據驅動的決策過程幫助教師選擇課程進度；(6)擁有深厚TPACK的教師將是實現教學變革的熱心者”，這樣的教師可謂數學數字化教師。

如何基于學科，培養和發展教師的TPACK，回應國家的意志，需要在培養機制上進行探討。Fuson等[17]提出了教師指導學生學習數學的三個原則：教師必須關注學生先前的理解，必須幫助學生建立事實性知識的堅實基礎，必須幫助學生采取元認知方法監控他們的學習。這種框架與深厚的內容準備和技術運用相結合時，將有助于培養和發展教師的TPACK。目前，發展教師TPACK的主要路徑包括：設計學習法、學習活動類型法、基于微格教學的課例研究法和教師發展實驗法等。設計學習法是以小組合作的形式，讓參與學習的教師把真實問題在虛擬環境中建模表達出來，開發針對真實數學問題的技術解決方案，參與學習的教師成了“認知學徒”，與同伴一起探索與數學學習有關問題，獲得對技術、設計和數學學習的有關認識，從而發展TPACK。學習活動類型法強調教師要圍繞教學目標選擇恰當的學習活動類型，或探究學習，或有意義地接受學習，再選擇恰當的技術和資源，在開發系統的、基于課程的活動實踐中發展TPACK。基于微格教學的課例研究法建立在微格教學和課例研究的基礎之上，教師先集體備課，然后逐個試講，循環進行，最后集體準備一份教案并報告學習的體驗，在反復打磨中發展TPACK，這種做法如教師準備常規的公開課、競講課。教師發展實驗法通過課堂觀察、深度訪談和問卷調查等方式收集課堂教學中的質性數據和量化數據，試圖刻畫教師TPACK發展的動態過程，供教師自我對比、參考。

背景化、實踐性的方法是提高教師TPACK的有效行動研究方法。?zgün-Koca等[18]探討了在方法課和實習課中職前教師TPACK是如何發展的。研究認為，職前教師TPACK的發展關聯到他們從數學學習者到數學教師身份的變化。職前教師對于技術在數學課堂教學中的作用，還存在著很大的不足，這源自PCK和TK結合的缺失。職前教師的優勢更多地表現在技術上，對數學的理解、對學生心理的理解、對教學的理解還有待提高。Hardy[19]運用X-Tech項目提高了職前初中數學教師的TPACK，同時也提高了他們對這種知識的理解。實踐取向的方法，能滿足職前教師技術上的需要，也是推動這種學習富有成效的必要條件之一。運用多種方法探究與學生數學水平相適合的問題，規劃融合技術的課堂，審視技術資源將有助于提高教師的TPACK。Polly[20]通過一個學期的技術在數學中的整合發展項目，關注運用基于技術的教法(如豐富的數學任務和問題策略)去教數學。運用課堂觀察、觀察專業發展進程及錄相帶分析工具考察了三個問題：審視教師如何整合技術與課程，檢測教師實施中的TPACK及考查專業發展支持的和教師實施的TPACK之間的關系。研究認為，需要進一步設計以學習者為中心的專業發展模式，更有效地推動教師TPACK的發展，實施TPACK需要高層次的思考技能，需要審視以學習者為中心的專業發展模式、TPACK及學生學習之間的關系。

基于以上TPACK發展機制研究和TPACK行動研究法，Niess等給出了數學教師TPACK的發展模型主要主題的指標描述。數學教師TPACK發展模型主要圍繞技術使用、課程和評價、學習、教學展開。以技術為抓手，關注技術對課程、教學、學生學習心理的能動作用，是數學教師TPACK發展模型的重要特征。這是數學教師TPACK模型的動態展開。后來，Niess又用TPACK的水平層次(識別、接受、調整、探究和推進)擴展了相關的描述。TPACK的發展有五種水平[21]：(1)識別：教師會用技術，并認識到技術和數學內容可以相結合，但還不能整合技術到數學教學中；(2)接受：教師在觀念上或贊成或不贊成在教學中使用適當的技術；(3)調整：教師因參與了一些活動，由此開始選擇或者拒絕在教學中使用合適的技術；(4)探究：教師積極地在數學教學中整合合適的技術；(5)推進：教師評價數學教學內容與合適的技術整合的效果。擴展了的數學教師TPACK發展模型，提供了詳細的行動方案，教師在教學中調整技術，促進學生學習的同時，也會積極主動地投入到這些活動中。當結合具體教學主題，描述和評價教師TPACK水平時，這個模型非常有用，教師通過比對，然后規劃自己數學教學在技術支持下的專業發展。如對“使用”這個主題，在識別水平，學生若用計算器處理問題中的數據，有的教師認為合適，有的認為不合適，這往往會引起爭論；在接受水平，教師支持學生使用計算器探究函數和模型；在調整、適應水平，教師支持學生使用動態幾何軟件探究函數間的關系并形成有機的網絡聯接；在探究水平，教師支持學生使用圖形、圖表、符號和數據，解決真實情境中的方程組并給出解釋；在推進、提升水平，教師支持學生使用網絡或從其它途徑發現有趣的數學問題，并探究技術在解決這些問題中所發揮的作用。

數學教師TPACK發展模型建立了一種過程性的結構和語言，幫助研究者在一個更大的背景中，梳理各種研究成果之間的關系，理清TPACK主題的發展脈絡。作為培養教師有效地在課堂教學中運用技術的結構化模型，數學教師TPACK發展模型提供了培訓項目的關注點，幫助在教師培訓項目中如何把內容、學習心理、教學法和技術統籌起來考慮，這對數字化教師的培養具有深遠的意義。

四、數字化教師培養的著力點

具有數學學科特點的TPACK研究目前還很少，顯然不符合TPACK研究強調技術要與具體學科內容整合的特點。我們需要克服這一局限性，深入到學科之中研究數學教育中的TPACK，培養卓越數字化教師。

首先需要有恰當的、有數學學科特點的學科工具平臺。數學研究中的數學活動是為了探索未知的事實和規律，要的是創新。工程技術中的數學活動是為了得到實用的數據和方案，要的是結果。教學中的數學活動既不是為了獲取新的數學結果，也不是為了解決實用問題，它是為了說明思想概念、闡述道理方法、指導操作訓練[22]。基于此，信息技術與學科課程整合的突破口在于有適當的、深入學科的、能表現學科活動特點的信息技術工具。如動態幾何軟件系列中的超級畫板、幾何畫板、法國的Carbi3D、美國的GeoGebra 等都是面向學科、深入學科的信息技術平臺。然而像3DMAX是集造型、渲染和動畫制作于一身的三維制作軟件，功能強大，但卻不一定適合立體幾何的教學，教師若是基于此發展立體幾何教學的TPACK就走上了歧途。對其他學科，也需要深入學科的信息技術工具。Cubase是全功能數字音樂、音頻工作軟件，Sibelius世界上功能最強的寫樂譜的音樂軟件之一，這些都是深入音樂學科的信息技術工具。這些學科工具平臺都可以在電子雙板環境中運行，為教師發展TPACK提供了平臺建設上的保障。在數學教育中，自從有了超級畫板等學科工具平臺后，一線教師很少用PPT、Flash等普適軟件做課件了。一線教師充分利用這個平臺，在其中實施變易理論等學習理論[23]，切合了數學研究變化中的不變量和不變性的學科特點，抓住了數學最本質的東西，讓學生看到了數學活的靈魂，獲取數學基本活動[24]。數學教師的TPACK中的技術成份，指的就是深入學科的信息技術。

妥善處理好技術與內容、學習心理和教學法之間的關系，分階段漸次發展TPACK。在用技術支持教學時，教師經常遭遇到的問題是不會用技術實現要表達的效果。究其原因，不是教師不熟悉技術的基本操作，而是教師不會充分挖掘技術的功能，不會讓技術“聽人的話”，實現人的意圖。可以采取的措施是，把設計學習法和類型活動法融合起來，讓教師在解決真實問題的過程中，發展教師用技術提供的語言解析現象、建模現象的能力；發展教師對內容的深刻理解，從而迸發課件制作的創意。根據課件制作的實踐過程，不會制作課件，不是不會基本操作，而是教師不會用技術提供的語言解析現象、對現象進行建模。當教師的課件制作水平達到一定程度、運用自如之后，發展了技術與內容相互作用的知識，技術變成了手中的武器，運用技術的觀念也會隨之發生變化，在教學時也有能力和時間關注一些與學生有關的管理問題、心理問題。這與在常規環境中，教師的專業成長路徑有相似之處：教師若連內容都吃不透，心中自然沒有底氣，不能揮灑自如，更不會關注教學的藝術性了。

要關注技術與學習心理之間的關系。技術之所以要用到課堂上，不是為了“炫”技術，而是以技術為云梯，縮小數學家的思維方式與學生思維方式之間的間距，時時要考慮學生的認知心理，“預測”學生的認知困難所在，考慮如何用技術較之傳統手段更有效地克服這種困難，還要能“診斷”學生的認知錯誤的根源。技術的優勢在于動態化、可視化，于形象中能把道理說清楚，用技術手段營造虛擬環境或制作動態作品從根本上根治學生的認知錯誤。基于學習理論，把技術更好地與課程融合是一個值得研究的方向。

故而，要“先實后虛”，再讓教師通過微格教學法、課例研究法、發展實驗法等多種方式發展TPACK中的教學法成份。教師在技術的支持下，能更有激情，更有表演的藝術情懷完成每一個主題的教學任務，技術成了教師手中的“法寶”。

綜上所述，數學教師TPACK結構模型是很科學的，可以聚類成兩大類：技術的觀念和運用，內容的深度和寬度；基于技術的數學教學，基于技術的課堂管理。前者實，后者虛；前者體現的是科學，后者體現的是藝術；教學既是科學，也是藝術，需要教師有多方面的才能，數學教師的TPACK結構模型指引了數學教師的TPACK發展之路，指引了卓越數字化教師的發展取向。

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徐章韜：副教授，博士后，研究方向為教師知識(xuzhangtaoyuanyuan@126.com)。

2014年12月20日

責任編輯：宋靈青

TPACK in Mathematics Education

Xu Zhangtao1, Xuan De2
(1.College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan Hubei 430079; 2.College of Science of Computer, Central China Normal University, Wuhan Hubei 430079)

The study of TPACK should go into specific disciplines. The TPACK structure model of mathematics can be clustered into four categories: the depth and width of content, conception & use of technology, technology-based mathematics instruction,technology-based classroom management. According to this model, the development of TPACK can gradually be built up. Through of integration of learning by design and using learning activity types, teachers can deeply disclose the relation between technology and content. Based on this, teachers can develop TPACK by the way of microteaching, lesson study and teacher development experiment. TPACK structure model in mathematics guides a way to develop mathematics teacher TPACK. All of this can benefit the development excellent digital teachers.

TPACK; Structural Model; Development Strategy

G434

A

1006—9860(2015)05—0105—06

* 本文系中國博士后科學面上基金“深入學科的信息技術支持下的數學學科教學知識”(項目編號：2011M501213)、中國博士后科學基金特別資助“信息技術推動數學歷史文化走進數學課堂之研究”(項目編號：2012T50656)研究成果。